浙江省金丽衢十二校2020-2021学年上学期高三第一次联考数学试题（Word版含答案）.zip

2021 届金丽衢十二校第一次联考届金丽衢十二校第一次联考 一、选择题：每小题一、选择题：每小题 4 分，共分，共 40 分分 1.已知集合，则（ ）42Mxx 2 60Nx xxMN ABCD33xx32xx22xx23xx 2.若实数，满足约束条件，则的最小值为（ ）xy 20 270 30 xy xy y 2zyx ABCD1 1 3 79 3.函数的图象如下，最恰当的解析式为（ ） f x ABCDsin cosyxcos sinyxsin sinyxcos cosyx 4.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ） ABCD 1 3 2 3 23 3 22 3 主 主 主 主 主 主 主 主 主 2 1 1 1 11 5.已知条件，条件直线与圆相切，则 p 是 q 的（ ）:1p t :q1xty 22 1 2 xy A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 6.口袋中有 7 个红球、2 个蓝球和 1 个黑球从中任取两个球，记其中含红球的个数为随机变量，则 的数学期望是（ ） E ABCD 6 5 7 5 8 5 9 5 7.若，则下列结论正确的是（ ） 10 210 01210 2xaa xa xa xxR AB 0 1024a 1210 1aaa CD 10 01210 3aaaa 1239 23910aaaa 8.若数列的通项公式为，则这个数列中的最大项是（ ） n a 2 2020 n n an n A第 43 项B第 44 项C第 45 项D第 46 项 9.正方体的棱长为 1，且，x， 1111 ABCDABC D 11 3AMMD 1 3BNNB 11 APxACyBD ，则的最小值为（ ）yRMPNP ABCD2 23 2 6 24 33 10. 已知函数的图象与曲线恰有 4 个交点，则实数 a 的取值范 ln,0 1 ,0 xx f x x x 222 20 xyaya 围 是（ ） ABCD01a12a02a13a 二、填空题：单空题每题二、填空题：单空题每题 4 分，多空题每题分，多空题每题 6 分分 11. 设平面向量，若，则 ， 1,2a3,x babx b 12. 设复数（ 是虚数单位），若，则 ， izabi232izza b 13. 函数的最小正周期为 ，当时，的值域为 sin2cos2 26 f xxx 0, 4 x f x 14. 已知是定义在上的奇函数，当时，则 ，若 f xR0 x 2 e 1 x xa f x x a ，则实数 m 的取值范围是 12fmfm 15. 将 5 名同学安排到 3 个小区参加创建文明城市宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安 排 1 名同学，则不同的安排方法共有 种（用数字作答） 16. 设椭圆的右焦点为 F，P 是椭圆 C 上第一象限内的点，O 是原点若 22 22 :10 xy Cab ab ，则椭圆 C 离心率的取值范围是 2 FO FPPF 17. 设，若对于满足的三个不同实数， 32 1 1 3 f xxaxax aR 123 f xf xf x1,2,3 i x i 恒有，则实数 a 的最小值为 122313 4xxxxxx 三、解答题：三、解答题：5 小题，共小题，共 74 分分 18. 已知 a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边，且，ABCbac2cb 1 cossin 5 AA （1）求的值；sin A （2）若的面积为 20，求 a 的值ABC 19. 如图，三棱柱中， 111 ABCABC 1 22ACABACABAC 1 ACBC 1 120CBB （1）证明：平面平面；ABC 11 BBC C （2）求直线与平面所成角的正弦值 11 BC 1 ABC C1 A1 B1 B CA 20. 已知数列中， n a 1 1 2 a 1 21 2 2 nn n n aan （1）求数列的通项公式；2n n a （2）设数列的前 n 项和，求证： n a n n T2 n T 21. 如图，已知抛物线的焦点为 F，过点 F 的直线交 C 于 A，B 两点，以 AB 为直径 2 :20C ypx p 的圆交 x 轴于 M，N，且当轴时，AFx4MN （1）求抛物线 C 的方程； （2）若直线 AN，AM 分别交抛物线 C 于 G，H（不同于 A），直线 AB 交 GH 于点 P，且直线 AB 的 斜率大于 0，证明：存在唯一这样的直线 AB 使得 B，H，P，M 四点共圆 P N y x M H G F B A 22. 设函数 lnf xxx （1）求函数的最小值； f x （2）设存在两个不同零点，记，求证： g xf xkxb 1 x 2 x 12 2 xx M 12 2 xx N 1 ln0 2 g M N数学参考答案 第1页 （共 4 页） 2020 学年金丽衢十二校高三第一次联考 数学评分标准与参考答案 一、选择题（410=40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D D A B C C A B 二、填空题（912 题每题 6 分，1315 题每题 4 分，共 36 分） 11-6，3 5； 121，-2； 13 23 , 0, 24 + ； 14 1 1, 3 ; 15150； 16 3 ,1 2 ； 17-1. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18解： （1）cossin cossin 134 ,. 555 AAAAA= =由且 为锐角,求得 （2）根据面积公式 1 sin 2 SbcA=可求得 bc=50，所以 c=10，b=5， 又由余弦定理求得 2 3 1002525065,65. 5 aa=+=所以 19解： （）证：取 BC 中点 E，连接 AE 和 C1E 设 1 222ACABAC= ABAC，AB=AC=1 且 E 是 BC 中点 12 22 AEBCAEBC=且 又AC1BC AC1AE=A BC面 AEC1 BCC1E 又 E 是 BC 中点 所以 C1B=C1C 11 1 1 222 11 1 1 12060 6 2 CBBC CB C CB C E C EAEAC C EAE BCC E = = = += 又 是等边三角形 所以 又 即 数学参考答案 第2页 （共 4 页） 1 111 11 BCAEE C EABC C EBBC C ABCBBC C = 且 面 又面 平面平面 （）如图，以 E 为原点，射线 EA 为 x 轴，射线 EC 为 y 轴，建立空间直角坐标系， 1 11 111 1 1 11 222 (1,0,0), (0, 1,0),(0,1,0),(0,0, 3),(0, 2, 3) (0,2,0),(0,1, 3),(1,1,0) ( , , ) 0 ( 3,3,1) 0 sincos, ACABAC ABCCB BCBCBA ABCnx y z n BC n n BA n BC = = = = = = = 设 则 设面的一个法向量 则得 设所求角为 则 111 21 7 21. 7 BCABC = 故直线与平面所成角的正弦值为 20解： （1）由 ()1 1 121 * 22 nn n n aan + + + =+N知 () 1 1 * 2221 nn nn aann + + =+N 令2n nn ba=，则 1 1b =且 ()1 * 21 nn bbnn + =+N 由() ()()() 2 112211 213 1 nnnnn bbbbbbbbnn =+=+ + = （2）易知 () 12341 2 11234 222222 , 2 n nn n n nn aS n =+于是 所以 () 234511 111234 2222222 n nn nn S + =+ 两式相减得 23451 111111 1 2222 1 2222 n nn n S + =+ , 即 2 n S 得证. 21解： （）当 轴时， ( 2 ,),( 2 ,) 故圆的方程为( 2) 2 + 2= 2 即| = | = 2 = 4,得 = 2 故抛物线C的方程为2= 4; （）设点(1,1),(2,2),(3,0),(4,0) 直线： = + 1 联立 2= 4 = + 1 数学参考答案 第3页 （共 4 页） 得：2 4 4 = 0 = 16(2+ 1) 1+ 2= 4,1 2= 4 1= 4+42+1 2 = 2 + 22+ 1 1+ 2= (1+ 2) + 2 = 42+ 2 故圆心（22+ 1，2） 半径 r=1 2 | = 1 2 2+ 116(2 +1) 1 = 2(2+ 1) 即圆的方程为( 22 1)2+ ( 2)2= 4(2+ 1)2 令 = 0，则( 22 1)2+ 42= 4(2+ 1)2 化简得：2 (42+ 2) 3 = 0 3+ 4= 42+ 2,3 4= 3 若,四点共圆,则 = = 90 即,四点共圆等价于 下证：存在唯一直线满足 设(5,5),(6,6 ) 直线： 1= 1( 1)和直线： 1= 2( 1) 联立 2= 4 1= 1( 1) 得：2 41 + 411 41= 0 1+ 5= 41 5= 41 1 同理， 1+ 6= 42 6= 42 1 = 65 65 = 65 6 252 4 = 4 6+5 = 4 4(1+2)21 又1= 13 1 , 2= 14 1 = 4 42134 1 21 = 1 3+4 = +2+1 22+1 又= 1 = = +2+1 22+1 23+ = + 2+ 1 23= 2+ 1 46 2 1 = 0 设() = 43 1, (0,+) () = 122 1 故()在（0， 3 6 ）单调减， （ 3 6 ，+ ）单调增 又(0) = 1 0， 3 ()0 6 f，且(1)20f=， 故存在唯一 (0，+ )满足() = 0 即存在唯一 (0,+),满足46 2 1 = 0 综上结论得证。 数学参考答案 第4页 （共 4 页） 22解： （1）() = 1 + ln, 所以()min= (1 e) = 1 e （2）() = (1 ) + ln, 所以()在(0,e1)递减， 在(e1,+)递增, 所以() ln2 | 12|， 不妨设0 1 21 2 ln2 即证 (1+ 2)ln(1+ 2) (1+ 2)ln2 1ln1 2ln2 (1 2)ln2 即证1ln 1+2 21 + 2ln 1+2 22 (1 2)ln2 又由于 (1+ 2)2 412, ln 1+2 21 ln 22 1+2, 所以只需证1ln 22 1+2 + 2ln 1+2 22 (1 2)ln2 即证明(1 2)ln 22 1+2 (1 2)ln2, 即证22 21+ 22, 该式显然成立, 于是原命题得证.