衡水中学2021届高三四调数学试题.pdf

1、答案详解答案详解 1.已知集合 2 log1Axx，集合 2By yx，则AB （） A0,B 0,2C0,2D0, 10D 解： 2 log1Axx02xx， 2By yx0y y，0,)AB ，故选：D 2.已知圆 22 :240C xyxy关于直线32110 xay对称， 则圆C中以, 22 aa 为中点的弦长为 （） A1B2C3D4 2.依题意可知直线过圆心(1, 2)，即34110a，2a 故,1, 1 22 aa 圆方程配方得 22 (1)(2)5xy，(1, 1)与圆心距离为 1，故弦长为2 5 14 故选 D本题考查直线与 圆的位置关系，利用中点弦三角形解弦长，属于基础题。

2、3若双曲线 22 1mxny(0m )的离心率为5，则 m n （） A 1 4 B 1 4 C4D4 因为 22 1mxny(0m )可化为 22 1 11 xy mn (0m )， 所以 2 2 15 b e a ，则 2 2 1 4 1 b n a m ，即4 m n .故选：D. 4B 由于正四棱锥：底面是正方形，侧面为 4 个全等的等腰三角形，设正四棱锥的底边为a， 底面积为 2 a，所以，该正四棱锥的侧面积为 2 3a，设该四棱锥的侧面的等腰三角形的高为h，则有 2 23aha ， 所以， 3 2 ha，设内切球的半径为r，则如图， OGP与PHF相似，有 OGPO HFPF ，所

3、以， 2 2 2 2 a hr r a h ，由于 3 2 ha， 化简得， 2 4 a r ，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为 2 4 r a 故选：B 【点睛】 关键点睛：解题关键在于利用三角形的相似关系，求出内切球的半径与底面正方形的边长关系，属于中档题 5C 由题意可得：72ACB ，且 1 51 2 cos 4 BC ACB AC ， 所以 2 2 5151 cos1442cos 72121 44 ， 所以 51 sin234sin 14490cos144 4 ， 故选：C 【点睛】 本题考查了二倍角的余弦公式和诱导公式，属于基础题. 6已知定义在R上的函数( )2 x f x

4、x， 3 (log5)af， 3 1 (log) 2 bf ，(ln3)cf，则a，b，c的大 小关系为（） AcbaBbca CabcDcab 【详解】 当0 x 时， ( )22( )2ln2 20 xxxx f xxxfxx，函数 ( )f x在 0 x 时，是增函数.因为 ()22( ) xx fxxxf x ，所以函数 ( )f x是奇函数，所以有 333 11 (log)( log)(log 2) 22 bfff ，因为 33 log5loln31g 20 ，函数 ( )f x在 0 x 时，是增 函数，所以cab，故本题选 D. 7C 【分析】 构造新函数 ( ) ( ) x f

5、 x g x e ，求导后易证得( )g x在R上单调递减，从而有(1)(0)gg，(2020)(0)gg， (1)( 1)gg，故而得解 【详解】 设 ( ) ( ) x f x g x e ，则 ( )( ) ( ) x fxf x g x e ， ( )( )fxf x ， ( )0g x ，即( )g x在R上单调递减， (1)(0)gg，即 0 (1)(0)ff ee ， 即(1)e(0)ff，故选项 A 不正确；(2020)(0)gg， 即 20200 (2020)(0)ff ee ，即 2020 (2020)(0)fef，故选项 D 不正确； (1)( 1)gg，即 1 (1)(

6、 1)ff ee ，即 2 (1)( 1)fe f 故选项 B 不正确；故选：C 【点睛】 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，构造新函数是解题的关键，考查学生的分析能力、逻辑推理能力和运 算能力，属于中档题 8A 设椭圆方程为 22 22 1(0) xy ab ab ， 双曲线方程为 22 22 1(0,0) xy mn mn ， 左右焦点分别为 12 (,0),( ,0)FcF c 22222 cabmn 不妨设P在第一象限， 12 12 2 2 PFPFa PFPFm ，得 1 2 PFam PFam ， 在 12 PFF中， 222 12121212 |2| | cosFFPFPFP

7、FPFFPF， 即 22 222 22 3 43,4 am cam cc ， 设椭圆和双曲线的离心率分别为 12 22 12 13 ,4e e ee ， 设 12 1133 2cos1,cos,2sin3,0sin 22ee ， 取 0 3 ， 12 1124 2cossinsin() 333ee ， 当 6 时， 12 11 ee 取得最大值为 4 3 3 .故选:A. 本题考查椭圆与双曲线的定义和性质，利用余弦定理和三角换元是解题的关键，属于较难题. 9. 由椭圆方程 22 1 48 xy 可得焦点在y轴上，且2 2,2,2abc， 椭圆的焦点坐标为 0, 2 , 0, 2，故 A 错误；

8、 椭圆 C 的长轴长为2 4 2a ，故 B 错误； 可知直线l的斜率存在，设斜率为k， 1122 ,A x yB x y， 则 22 11 22 22 1 48 1 48 xy xy ，两式相减得 12121212 0 48 xxxxyyyy ， 1212 24 0 48 xxyy ，解得 12 12 1 yy k xx ， 则直线l的方程为21yx ，即30 xy，故 C 正确； 联立直线与椭圆 22 30 1 48 xy xy ，整理得 2 3610 xx ， 1212 1 2, 3 xxx x， 2 2 14 3 1124 33 AB ,故 D 正确. 故选：CD. 【点睛】 易错点睛

9、：已知椭圆方程，在求解当中，一定要注意焦点的位置，本题的焦点在y轴上，在做题时容易忽略焦点 位置，判断错误. 10因为0a ，0b ，且24ab， A 1111112121 233232 2 4444 baba ab abababab ，当且仅当 24 2 ab ba ab ，即 4 2442 2ab, 时，取等号，故错误； B. 21211414 22 4 1 442 44 baba ab aababbab ，当且仅当 24 4 ab ba ab ，即 2,1ab时，取等号，故正确； C. 121121221229 2552 4444 baba ab abababab ，当且仅当 24 22

10、 ab ba ab ， 即 44 , 33 ab时，取等号，故正确； D. 11111111 11111111 bababa abababab ， 1111151613 121 1171171717 baba ab ababab ， 516132 303 21 7171777 ba ab ，故正确； 故选：BCD 【点睛】 方法点睛： （1）利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘积为定值，主要有两种思路：对条件 使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值 （2）有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等

11、手段使之能运 用基本不等式常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等 11BCD 【分析】 去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，在化为分段函数时应求出每一段的定义域，由三角函数的性质 求之 【详解】 解：由题意可得： 3 2cos(2,2) 2cossincos 44 ( )sincossincos 2sinsincos5 2sin2,2 44 xxkk xxx f xxxxx xxx xxkk ， 函数图象如下所示 故对称轴为 4 xk ，kZ，故 A 正确； 显然函数在,0 4 上单调递增，0, 4 上单调递减，故 B 错误； 当 5 2 4 xk

12、 ，kZ时函数取得最小值 min2f x ，故 D 错误； 要使 12 ()()4f xf x，则 12 ( )()2f xf x，则 11 2 xk=或 11 2 2 xk ， 22 2xk12AC 【详解】 对于 A 选项，以点D为坐标原点，DA、DC、 1 DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz， 则点2,0,0A、2,2,0B、设点0,2,02Maa， AM 平面，则AM 为平面的一个法向量，且2,2,AMa ，0,2,0AB ， 22 4232 cos, 32 288 AB AM AB AM ABAMaa ， 所以，直线AB与平面所成角的正弦值范围为 32 , 32

13、 ，A 选项正确； 对于 B 选项，当M与 1 CC重合时，连接 1 AD、BD、 1 AB、AC， 在正方体 1111 ABCDABC D中， 1 CC 平面ABCD，BD Q平面ABCD， 1 BDCC， 四边形ABCD是正方形，则BD AC， 1 CCACC， BD平面 1 ACC， 1 AC Q平面 1 ACC， 1 ACBD，同理可证 11 ACAD， 1 ADBDD， 1 AC平面 1 ABD， 易知 1 ABD是边长为2 2的等边三角形，其面积为 1 2 3 2 22 3 4 A BD S ，周长为2 2 36 2 . 设E、F、Q、N、G、H分别为棱 11 AD、 11 AB、

14、 1 BB、BC、CD、 1 DD的中点， 易知六边形EFQNGH是边长为 2的正六边形，且平面 /EFQNGH平面 1 ABD， 正六边形EFQNGH的周长为6 2，面积为 2 3 623 3 4 ， 则 1 ABD的面积小于正六边形EFQNGH的面积，它们的周长相等，B 选项错误； 对于 C 选项，设平面交棱 11 AD于点,0,2E b，点0,2,1M，2,2,1AM ， AM 平面，DE 平面，AMDE，即220AM DEb ，得1b ，1,0,2E， 所以，点E为棱 11 AD的中点，同理可知，点F为棱 11 AB的中点，则2,1,2F，1,1,0EF ， 而2,2,0DB ， 1

15、2 EFDB ，/EF DB且EFDB， 由空间中两点间的距离公式可得 222 2015DE ， 222 221 2205BF ， DEBF， 所以，四边形BDEF为等腰梯形，C 选项正确； 对于 D 选项，将矩形 11 ACC A与矩形 11 CC D D延展为一个平面，如下图所示： 若AMMN最短，则A、M、N三点共线， 11 /CCDD， 2 2 22 2 22 MCAC DNAD ， 1 1 22 2 MCCC，所以，点M不是棱 1 CC的中点，D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】 本题考查线面角正弦值的取值范围，同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题，考查空 间

16、想象能力与计算能力，属于难题. 13.因为1,1abab ，所以 22 21aa bb ，所以2 1a b ，所以 1 2 a b ， 又因为 222 1 441 43 2 224aaababbb ， 故答案为： 3. 【点睛】 方法点睛：已知, ,a ba b ，求解xayb 的方法： （1）先将xayb 平方然后开根号，得到 22 22 2xaybx axya by b ， （2）代入 , ,a ba b 的值，即可计算出 xayb 14.【分析】 利用换底公式可得 4 log (3),km mZ，求出 43 m k ，结合1,2020可得25m，再利用等比数列的 前n项和即可求解. 【详

17、解】 当1k 时， 1 1a 为幸福数，符合题意； 当2k 时， 1234524 log 5 log 6log(3)log (3) kk a a aakk 令 4 log (3),km mZ，则34 ,43 mm kk . 由2432020542023,25 mm km . 故“幸福数”的和为 2345 1 (43)(43)(43)(43) 2345 (43)(43)(43)(43)(43) 5 4 1 4 15 1 4 5 4(41) 151349 4 1 故答案为：1349. 15 2 1,1e e 【分析】 分离参数，构造函数 2 ln1 ( ),(0, x f xxe xx ，利用导数

18、讨论( )f x的单调性，再结合关于x的方程 ln 10 x kx x 在0,e上有两个不相等的实根等价于( )yf x与yk有两个交点，即可求出k的取值范围. 【详解】 ln 10 x kx x ， 2 ln1x k xx ， 设 2 ln1 ( ),(0, x f xxe xx ， 3 12ln ( ) xx fx x ， 设( )12ln,(0, g xxx xe ， 2 ( )10g x x ， 即( )g x在0,e是减函数，又(1)0g， 当01x时，( )0g x，即( )0fx， 当1xe时，( )0g x，即( )0fx ， ( )f x在0,1为增函数，在1,e为减函数，

19、当0 x 时，( )f x ， 2 1 ( )(1)1, e eff e ， 关于x的方程 ln 10 x kx x 在0,e上有两个不相等的实根等价于( )yf x与yk有两个交点， 由上可知 2 1 1 e k e ， 实数k的取值范围为 2 1,1e e . 故答案为： 2 1,1e e . 【点睛】 本题考查利用导数解决方程根的问题，属于较难题. 16 22 16xy3 5 【分析】 延长 1 FQ与 2 PF的延长线交于点M，计算 12 1 4 2 OQPFPF得到轨迹方程，取点2,0C， 1 2 AMBMMCBMBC，解得答案. 【详解】 如图所示：延长 1 FQ与 2 PF的延长

20、线交于点M， 则 2212 111 4 222 OQMFPMPFPFPFa， 故轨迹方程为 22 16xy. 取点2,0C，则 1 2 OCOM OMOA ，MOCMOA，故 1 2 MCPA， 1 3 5 2 AMBMMCBMBC，当BMC共线时等号成立. 故答案为： 22 16xy；3 5 17 【答案【答案】 （1） 2 2 n n a ； （2）是；答案见解析； （3） 21 n n T n . 【分析】 （1）由 1nnn aSS 可得数列 n a是等比数列，即可求出通项公式； （2）可得出2 n bn，利用定义可证明； （3）可得 21 21 1111 () 2 2321 nn b

21、bnn ，利用裂项相消法可求. 【详解】 (1)1n 时，得 11 +4aS ，则 1 2a ， 2n 时，由4 nn aS得 11 4 nn aS ，两式相减得 1 20 nn aa ，即 1 1 2 n n a a ， 所以数列 n a是等比数列, 2 1 1 22 2 n n n a ； (2) 2 g2lo nn ban， 1 (2)(3)1 nn bbnn ， 所以数列 n b是首项为 1，公差为 1的等差数列； (3) 22121 log2,32 ,1 2 nnnn banbn bn ， 21 21 111111 () (32 )(1 2 )(23)(21)2 2321 nn bb

22、nnnnnn ， 1111 111 11111 ()()()() 2112 132 352 2321 n T nn 11 ( 1) 22121 n nn . 【点睛】 方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于 nn a b结构，其中 n a是等差数列， n b是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于+ nn ab结构，利用分组求和法； （4）对于 1 1 nn a a 结构，其中 n a是等差数列，公差为d，则 11 1111 nnnn a adaa ，利用裂项相消法求和. 18. 【详解】 选sinsin4 sinsinbAaBcAB， 因

23、为sinsin4 sinsinbAaBcAB， 所以由正弦定理得sinsinsinsin4sinsinsinBAABCAB， 即2sinsin4sinsinsinBACAB，所以 1 sin 2 C ， 因为0,C，所以 6 C 或 5 6 C . 若 5 6 C ，由 1+ 3 sinsin 4 AB ， 而 6 A， 6 B ，从而 1 sinsin 4 AB ，矛盾，舍去. 故 6 C ， 接下来求ABC的面积S. 法一：设ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理得 2 24 sin sin 6 c R C ， 2 sin4sinaRAA ，2 sin4sinbRBB， 16sinsin4(

24、13)abAB， 111 sin4(13)13 222 ABC SabC . 法二：由（1）得 3 cos 2 C ，即 3 coscossinsin 2 ABAB ， 1+ 3 sinsin 4 AB ， 13 coscos 4 AB ， 1 cos()coscossinsin 2 ABABAB， 5 5 (,) 66 AB ， 3 AB或 3 BA， 当 3 AB时，又 5 6 AB， 7 12 A， 4 B ， 由正弦定理得 2sin sin 4 2 2 sin sin 6 cB b C ， 1172123 sin2 22sin2 2()13 22122222 ABC SbcA ， 当

25、3 BA时，同理可得13 ABC S ， 故ABC的面积为1 3 . 选 2 cos22 3sin32 2 C C， 因为 2 cos22 3sin32 2 C C， 所以 2 2cos13(1 cos)320CC ，即 2 2cos3cos30CC ， (2cos3)(cos3)0CC，所以 3 cos 2 C 或cos 3C （舍） ， 因为0,C，所以 6 C .以下同解法同， 选(3 )sinsinsinabAbBcC， 由(3 )sinsinsinabAbBcC及正弦定理得 22 3ab abc， 即 222 3abcab ，由余弦定理得 222 3 cos 22 abc C ab

26、， 0C， 6 C，以下解法同. 【点睛】 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角恒等变换，考查了运算能力，属于中档题. 19 解： （1）取PA中点N，连结QN，BN. Q，N是PD，PA的中点， / /QNAD，且 1 2 QNAD. PAPD，60PAD， 1 2 PAAD， 1 2 BCAD， QNBC，又/ /ADBC， / /QNBC， BCQN为平行四边形， / /BNBC. 又BN 平面PAB，且CQ平面PAB， /CQ平面PAB； （2）取AD中点M，连接BM，取AM的中点O，连接BO，PO.设2PA ， 由（1）得2PAAMPM， APM为等边三角形， P

27、OAM，同理BOAM， 平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO 平面PAD， PO 平面ABCD. 以O为坐标原点，分别以OB ，OD uuu r ，OP 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz， 则0, 1,0A，3,2,0C，0,0, 3P， 33 0, 22 Q ，3,3,0AC ， 53 0, 22 AQ ， 设平面ACQ的法向量, ,mx y z ，则 0 0 m AC m AQ ， 330 53 0 22 xy yz ， 取3y ，得3,3,5m ， 又平面PAQ的法向量1,0,0n r ， 3 37 cos, 37 m n m n mn ， 由图

28、得二面角PAQC的平面角为钝角， 所以，二面角PAQC的余弦值为 3 37 37 . 【点睛】 本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识， 考查运算求解能力，是中档题 20【答案【答案】 （1） 2 2 1 4 x y； （2）过定点（2，-1）. 【分析】 （1）设点 00 (,)M x y，根据 MA，BM 的斜率之积为 1 4 ，可得 00 00 1 4 yy xaxa ，又 M 在椭圆上，所以 22 00 22 1 xy ab ，联立方程，可解得2ab，又根据题意3c ，即可求得椭圆方程. （2）设(1)ykxm m， 1122

29、 ( ,),(,)E x yF xy，联立直线方程和椭圆方程，根据韦达定理可得 1212 ,xx x x的 表达式，根据题意 12 1kk ，代入求解可得21mk ，代入直线，即可求得定点坐标. 【详解】 （1）由题意知 3c ，设点 00 (,)M x y，则 00 00 1 4 yy xaxa ， 又点 M 在椭圆上，所以 22 00 22 1 xy ab ， 联立可得 2 2 1 4 b a ，即2ab， 又 222 abc 及 3c ，解得：2,1ab 所以椭圆方程为： 2 2 1 4 x y. （2）直线l过定点（2，-1） ，证明如下： 设直线l：(1)ykxm m， 1122 (

30、 ,),(,)E x yF xy， 联立方程 2 2 1 4 ykxm x y ，整理得： 222 (1 4)8440kxkmxm， 222 (8)4(1 4)(44)0kmkm ， 2 1212 22 844 , 1414 kmm xxx x kk ， 所以 1212 12 1212 1111yykxmkxm kk xxxx = 12 12 (1)() 2 mxx k x x ， 代入 1212 ,xx x x得： 2 (1)( 8) 21(1) 44 mkm km m ， 化简得21mk ，此时=-64k，所以存在 k 使得0 成立， 所以直线 l 的方程为：-2 -1ykxk，即( -2

31、)(1)0k xy， 所以直线 l 恒过定点（2，-1） 【点睛】 本题考查椭圆的几何性质与方程，解题的关键是联立直线与曲线方程，根据韦达定理可得 1212 ,xx x x的表达式， 再结合题意 12 1kk ，代入求解即可，计算量偏大，考查计算化简，分析理解的能力，属中档题. 21已知抛物线已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点的焦点F到准线的距离为到准线的距离为 2，且过点，且过点F的直线的直线l被抛物线被抛物线C所截得的弦长所截得的弦长 MN为为 8 （1）求直线）求直线l的方程；的方程； （2）当直线）当直线l的斜率大于零时，求过点的斜率大于零时，求过点,M N且与抛物线且与抛

32、物线C的准线相切的圆的方程的准线相切的圆的方程 【答案【答案】 （1）1yx或1yx ； （2） 22 (3)(2)16xy或 22 (11)(6)144xy 【分析】 （1）由题意得2,p (1,0)F， 2 4yx，当直线 l 的斜率不存在时，不合题意；当直线 l 的斜率存在时，设方程 为 (1)(0)yk xk ，与抛物线方程联立，利用韦达定理和抛物线的定义求出弦长，结合已知弦长可求得结果； （2） 设所求圆的圆心坐标为 00 (,)xy， 根据几何方法求出圆的半径， 根据直线与圆相切列式解得圆心坐标和半径， 可得圆的方程. 【详解】 （1）由题意得2,p (1,0)F， 2 4yx 当

33、直线 l 的斜率不存在时，其方程为1x ，此时248MNp，不满足，舍去； 当直线 l 的斜率存在时，设方程为 (1)(0)yk xk 由 2 (1) 4 yk x yx 得 2222 (24)0k xkxk 设 1122 (,),(,)M x yN xy，则 2 16160k ，且 2 12 2 24k xx k 由抛物线定义得 1 22 22 212 2444 | | (1)(1)22x kk MNMFNFxxx kk 即 2 2 44 8 k k ，解得 1k 因此 l 的方程为1yx或1yx . （2）由（1）取1,k 直线l的方程为1yx，所以线段MN的中点坐标为(3，2)， 所以M

34、N的垂直平分线方程为2(3)yx ，即5yx 设所求圆的圆心坐标为 00 (,)xy，该圆的圆心到直线l的距离为d，则 00 |1| 2 xy d ，则该圆的半径为 2 22 | 16 2 MN dd 2 00 1 16 2 xy ， 因为该圆与准线1x 相切，所以 00 2 2 00 0 5 1 116 2 yx yx x ， 解得 0 0 3 2 x y 或 0 0 11 6 x y , 当圆心为(3,2)时，半径为4，当圆心为(11, 6)时，半径为12， 因此所求圆的方程为 22 (3)(2)16xy或 22 (11)(6)144xy 22 （1）在定义域0,上单调递增； （2） 1

35、, e 【分析】 （1）先求得 l 1 ,n0, x xfxaex x ，利用导数可得 1 ln1x x 恒成立，故可得 f x的单调区间. （2） 0h x 对任意的0,1x恒成立等价于 l n n l x x ae aex x 对任意0,1x恒成立，就1 x ae 和1 x ae 结 合 ln H x x x 的单调性分类讨论可得 x aex 对任意0,1x恒成立，参变分离后再次利用导数可求a的取值 范围. 【详解】 解： （1）因为( )ln x f xaex，所以 l 1 ,n0, x xfxaex x . 令 ln 1 k xx x ，则 2 1x kx x ， 当0,1x时， 0k

36、x ，函数 k x单调递减； 当1,x时， 0kx ，函数 k x单调递增 所以 110k xk ，又因为0a ，0 x e ， 所以 0fx ， f x在定义域0,上单调递增. （2）由 0h x 得 0g xf x，即 2 lnln x aexxxa ， 所以 lnln ln x xx ae x xae xa ae ，即 l n n l x x ae aex x 对任意0,1x恒成立， 设 ln H x x x ，则 2 1 ln x Hx x 所以，当0,1x时， 0Hx ，函数 H x单调递增， 且当1,x时， 0H x ，当0,1x时， 0H x ， 若1 x aex ，则 0 x H aeH x， 若01 x ae ，因为 x H aeH x，且 H x在0,1上单调递增，所以 x aex ， 综上可知， x aex 对任意0,1x恒成立，即 x x a e 对任意0,1x恒成立. 设 x x G x e ，0,1x，则 1 0 x x Gx e ，所以 G x在0,1单调递增， 所以 1 1aG xG e ，即 a 的取值范围为 1 , e 【点睛】 本题考查函数的单调性以及含参数的不等式的恒成立，前者利用导数的符号来讨论，后者需等价变形把原不等式 转化简单不等式的恒成立，再根据不等式的结构特征构建新函数来讨论，本题为较难题.