湖北省黄冈市部分普通高中2021届高三上学期12月联考数学试题.docx

1、湖北省黄冈市部分普通高中 2021 届高三上学期 12 月联考 数学试题 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求的） 1.已知集合ln(1)Mx yx， 2 20Nxxx，则MN=（ ） A.(0,) B.(2,) C.(0,1) D.(1,2) 2.复数 z 在复平面内对应点的点是( 1,1)，则复数 1 i z （i 是虚数单位）的虚部为（ ） A. 2 5 i B. 2 5 C. 1 5 D. 1 5 i 3.ABC中，“ 6 B ”是“ 1 sin 2 B ”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.

2、充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知 2 log 5a ， 1 3 2 log 1 2 b ， 3 log 6c ，则（ ） A.cba B.cab C.bca D.bac 5.公差不为 0 的等差数列 n a中，它的前 31 项的平均值是 12，现从中抽走 1 项，余下的 30 项的平均值仍然是 12，则抽走的项是（ ） A. 12 a B. 14 a C. 16 a D. 18 a 6.如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径 6cm，高 8cm（不含杯脚） ，已知水的高度 是 4cm，现往杯子中放入一种直径为 1cm 的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体 积不变.如果放完珍

3、珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（ ） A.98 颗 B.106 颗 C.120 颗 D.126 颗 7.已知函数 1 2 2,0 ( ) log (| 1),0 x a x f x xa x ()aR在 R 上没有零点， 则实数 a 的取值范围 是（ ） A.(1,)0 B.(0,) C.(,0 D.(,1 8.已知 F 是椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的一个焦点，若直线ykx与椭圆相交于 A，B 两 点，且120AFB，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. 3 ,1 2 B. 3 0, 2 C. 1 ,1 2 D. 1 0, 2 二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5

4、 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分） 9.如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，M，N 分别为棱 11 C D， 1 C C的中点，其中正确的 结论为（ ） A.直线AM与 1 C C是相交直线 B.直线AM与BN是平行直线 C.直线BN与 1 MB是异面直线 D.直线MN与AC所成的角为 60 10.已知 n S是公比 q 的正项等比数列 n a的前 n 项和，若 12 3aa， 24 16a a ，则下列 说法正确的是（ ） A.2q B.数列1 n S 是等比数列 C. 8 255S

5、 D.数列lg n a是公差为 2 的等差数列 11.已知函数( )(|sin|cos )(sincos )f xxxxx，xR，则（ ） A. f x在0, 3 上单调递减 B. f x是周期为2的函数 C. f x有对称轴 D.函数 f x在(0,2 )上有 3 个零点 12.已知函数( )aln x f xex，其中正确结论的是（ ） A.当1a 时， f x有最大值 B.对于任意的0a，函数 f x是(0,)上的增函数 C.对于任意的0a，函数 f x一定存在最小值 D.对于任意的0a，都有 0f x . 三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.已知向量a，

6、b的夹角为 60 ，| 2a ，| 1b ，则2ab_. 14.已知直线yxm与圆 22 4xy相交于 A、B 两点，O 为坐标原点，0OA OB且 AOB的面积为3，则实数 m=_. 15.综合实践课中，小明为了测量校园内一棵樟树的高度，如图，他选取了与樟树树根部 C 在同一水平面的 A、B 两点（B 在 A 的正西方向） ，在 A 点测得樟树根部 C 在西偏北 30 的 方向上，步行 40 米到 B 处，测得树根部 C 在西偏北 75 的方向上，树梢 D 的仰角为 30 ， 则这棵樟树的高度为_米. 16.四棱锥PABCD各顶点都在球心为 O 的球面上， 且PA 平面ABCD， 底面ABC

7、D为 矩形，2PAAB，4AD ，则球 O 的体积是_；设 E、F 分别是PB、BC中点， 则平面AEF被球 O 所截得的截面面积为_. 四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知 1 3sin, 2 2 x m ， 2 cos,12cos 22 xx n ，函数( )f xm n. （1）求函数( )f x的最小正周期； （2）将函数 yf x的图象上的各点_得到函数 yg x的图象，当, 6 4 x 时，方程 g xa有解，求实数 a 的取值范围. 在以下、中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果、都做，则按 给分. 向左平移

8、 3 2 个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半； 纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的一半，再向右平移 4 个单位. 18.已知等差数列 n a的前 n 项和为 2 n Spnnq，p，qR，n N，且 3 6a .数 列 n b满足 2 2log nn ab. （1）求 p、q 的值； （2）设数列 ( 1)n nn ab的前 2n 项和为 2n T，证明： 2 3 n T. 19.在ABC中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，且满足 2 2sincos21 2 BC A ， （1）求角 A 的大小； （2）若7a ，3BA AC，A的平分线交边BC于点 T，求AT的长.

9、 20.如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为菱形，60BAD，PAD为正三 角形，平面PAD 平面ABCD，且 E，F 分别为AD，PC的中点. （1）求证：/DF平面PEB； （2）求直线EF与平面PDC所成角的正弦值. 21.如图， 点C为某沿海城市的高速公路出入口， 直线BD为海岸线， 4 BAC ，BDAB， BC是以 A 为圆心，半径为 1km 的圆弧型小路.该市拟修建一条从 C 通往海岸的观光专线 CPPQ， 其中 P 为BC上异于 B， C 的一点，PQ与AB平行， 设0 4 PAB . （1）证明：观光专线CPPQ的总长度随的增大而减小； （2）已知新建道路PQ的单位成

10、本是翻新道路CP的单位成本的 2 倍.当取何值时，观光 专线CPPQ的修建总成本最低?请说明理由. 22.已知曲线( )(3)e(2ln) x f xxaxx（其中 e 为自然对数的底数） 在1x 处的切线 方程为(1e)yxb. （1）求 a，b 值； （2）证明：( )f x存在唯一的极大值点 0 x，且 0 6 2e5 5 fx . 参考答案 1.D(1,)M ，(0,2)N ，(1,2)MN 2.B1zi ， ( 2)12 12( 2)( 2)55 iiii i ziii ，虚部为 2 5 3.B ABC中， 1 sin 26 BB 或 5 6 B ，“ 6 B ”是“ 1 sin 2

11、 B ”的充分不必 要条件. 4.D 2 2log 53， 1 3 2 log 1 3 2 ， 3 1log 62.bac 5.C 131 3116 31 3131 12 2 aa Sa ， 16 12a，从中抽走 1 项，余下的 20 项的 平均值仍然是 12，则抽走的项 16 31 1230 1212a. 6.D 作出在轴截面图如图，由题意， 8OP， 1 4OP ，3OA，设 11 O Ax，则 4 83 x ，即 3 2 x . 则最大放入珍珠的体积 2 2 113 38421 332 V 一颗珍珠的体积是 3 41 326 .由 21 126 6 .最多可以放入珍珠 126 颗. 7

12、.A 设 1 2 2 ,0 ( ) log (1),0 x x g x xx ，图象如图， 已知问题可以转化为( )g x图象与函数ya图象没有交点， 数形结合可得1a 或0a 8.C 连接 A，B 与左右焦点 F， F 的连线，由120AFB， 由椭圆及直线的对称性可得四边形AFBF为平行四边形，60FAF， 在三角形AFF中， 2 222 2cos3FFAFAFAF AFFAFAFAFAF AF， 所以 2 2 2 33 2 AFAF AFAFFFAF AF ，即 2 2 1 4 AFAFFF 即 22 1 44 4 ac，可得 1 2 c e a ，所以椭圆的离心率 1 ,1 2 e 9

13、.CD 在 A 中，直线AM与 1 C C是异面直线，故 A 错误；在 B 中，直线AM与BN是 异面直线， 故 B 错误； 在 C 中， 直线BN与 1 MB是异面直线， 故 C 正确； 1 /MN CD， 1 ACD 是等边三角形，直线MN与AC所成的角为 60 ，D 正确 10.ABC 公比 q 为正数 3 4a， 2 1 4a q ，又 11 3aa q，解得 1 1a ，2q . 1 2n n a ， 1 1 2 21 1 2 n n n S .12n n S ，数列1 n S 是公比为 2 的等比数 列. 8 8 21255S .lg(1)lg2 n an，数列lg n a是公差为

14、lg2的等差数列. 11.BD 作出函数 cos2 ,22 ( ) 1 sin2 ,222 xkxk f x xkxk 的图象， 由图，函数( )f x在0, 3 上单调递增，故 A 错误；(2 )( )f xf x，所以函数( )f x的 周期为2，故 B 正确；无对称轴，C 错误，在(0,2 )上有 3 个零点，D 正确 12.BC 当1a 时，( )ln x f xex，易知函数( )f x在(0,)上单调递增，无最大值， 故 A错误， 对于任意的0a，函数( )f x是(0,)上的增函数，当0 x时，1 x e ，lnx， 故( )f x ，故 B 正确，D 错误，对于任意的0a，(

15、) x a fxe x ，易知( )fx在 (0,)单调递增， 当x 时，( )fx ，当0 x时，( )fx ，存在 0 0fx， 当 0 0 xx时，( )0fx，函数单调递减， 0 xx ，( )0fx，函数单调递增， min0 ( )f xf x，故 C 正确 13.2 222 |2 |44444 2 1 cos604ababa b ，|2 | 2ab. 14.2 1 2 2 sin3 2 AOB SAOB ， 3 sin 2 AOB，0OA OB， 120AOB， 圆心 O 到直线yxm的距离2sin301d ，即 | 1 2 m ，2m 15. 20 6 3 根据图形知，ABC中，

16、30BAC，753045ACB，40AB ， 由正弦定理得， 40 sin30sin45 BC ，解得 1 40 2 20 2 2 2 BC ， 在RtBCD中，30BDC，所以 320 6 tan3020 2 33 CDBC . 16.8 6n（第一空 2 分） ，14 3 （第二空 3 分） 由题设知球心 O 为PC中点，故球 O 的直径 222 22242 66RR，故 8 6V 球 ，设球心到平面AEF的距离为 d，截面圆的半径为 r，由题设球心 O 到平面 AEF的距离等于点 B 到平面AEF的距离， 在三棱锥BAEF中， 由等体积法得 2 3 3 d ， 222 414 6 33

17、rRd，故截面面积为14 3 17.解： （1） 2 1 ( )3sincoscos 2222 xxx f xm n 31 sincos1sin1 226 xxx 故函数的最小正周期为2. （2）将( )sin1 6 f xx 的图象按照变换：向左平移 3 2 个单位， 再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半， 可得 3 ( )sin 211 cos 2 266 yg xxx 的图象， 当, 6 4 x 时， 2 2, 663 x ， 1 cos 2,1 62 x ， 3 ( )0, 2 g x ， 若方程( )g xa有解，则 3 0, 2 a . 将( )sin1 6 f xx 的图象按

18、照变换：纵坐标保持不变， 横坐标缩小为原来的一半，再向右平移 4 个单位， 可得( )sin 21sin 21 263 yg xxx 的图象， 当, 6 4 x 时， 2 2, 336 x ， 1 sin 21, 32 x ， 3 ( )0, 2 g x ， 若方程( )g xa有解，则 3 0, 2 a . 18.解： （1） 11 1aSpq ， 221 42(1)31aSSpqpqp ， 332 51aSSp， 3 651ap，解得1p . 由 213 2aaa得2426q，解得0q . 1p，0q . （2）等差数列 n a的公差 21 422daa，22(1)2 n ann. 2 2

19、log nn ab， 2 22log n nb，解得2n n b . ( 1)( 1)2( 2) nnn nn abn . 数列 ( 1)n nn ab的前2n项和 2 2( 1 2)( 34)( 21 2 ) n Tnn 2 21 22 2 1 ( 2) 22 2( 2)( 2)22 1 ( 2)3 n n n nn 2n T关于 n 递增， 22 2243 n TT. 19.解： （1） 2 2sincos21 2 BC A ，即为cos2cos()0ABC， 可得 2 2coscos10AA ，解得 1 cos 2 A 或cos1A（舍去） ， 由0A，可得 3 A ； （2）3BA A

20、C，即为 2 cos3 3 cb ，可得6bc ， 由 2222 2cos()27abcbcAbcbcbc， 可得73 65bc ， 由 ABCABTACT SSS 得， 111 sin60sin30sin30 222 bcb ATc AT 3 6 sin606 3 2 1 ()sin305 5 2 bc AT bc （1）证明：取PB中点 G，因为 F 是PC中点，/FG BC，且 1 2 FGBC E 是AD的中点，则/DE BC，且 1 2 DEBC./FG DE，且FGDE. 四边形DEGF是平行四边形，/DF EG 又DF 平面PEB，EG 平面 PEB，/DF平面PEB. （2）解

21、：E是正三角形PAD边为AD的中点，PEAD. 平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PE 平面PAD， PE平面ABCD，四边形ABCD为菱形，60BAD， 正三角形BAD中，BEAD， 以 E 为原点，EA，EB，EP分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系. 不妨设菱形ABCD的边长为 2，则1AEED，2PA， 3PE ， 22 3BEABAE， 则点(0,0,0)E，( 1,0,0)D ，( 2, 3,0)C ， (0,0, 3)P， 33 1, 22 F ， ( 1, 3,0)DC ，(1,0, 3)DP ， 设平面PDC的法向量为( , , )nx y z， 则

22、0 0 n DC n DP ，即 30 30 xz xy ，解得 3 3 xy xz ， 不妨令1z ，得(3, 1,1)n ； 又 33 1, 22 EF ，设EF与平面PDC所成角为， 36 sin|cos,| 55 5 2 EF n EF与平面PDC所成角的正弦值为 6 5 . 21.（1）证明：由题意， 4 CAP ，所以 4 CP , 又cos1 cosPQABAP ， 观光专线的总长度 ( )1 coscos1 44 f ，0 4 ， 当0 4 时，( )1 sin0f ，( )f在0, 4 上单调递减， 即观光专线CPPQ的总长度随的增大而减小. （2）解：设翻新道路的单位成本为

23、(0)a a ，则总成本 ( )22cos2cos2 44 gaa ，0 4 ，.g（0） =a（ ( )( 12sin )ga ， 令( )0g，得 1 sin 2 ，因为0 4 ，所以 6 ， 当0 6 时，( )0g，( )g单调递减； 当 64 时，( )0g，( )g单调递增， 所以，当 6 时，( )g取得最小值， 故当 6 时，观光专线CPPQ的修建总成本最低. 22.解： （1）( )(3)(2ln) x f xxeaxx， 2 ( )(2)1 x fxxea x 故(1)1feae ，解得：1a ， 故( )(3)2ln x f xxexx，(1)21fe ， 故切线方程是：

24、(1)2ye xe ，故2be ； （2）证明： 1 ( )(2) x fxxe x ，(0)x ， 令 1 ( ) x h xe x ，显然( )h x在(0,)递增， 而 1 0 2 h ，(1)0h，故 0 1 ,1 2 x ，使得 0 0h x， 即 0 0 1 x e x ，则 00 ln xx ， 故 0 0,xx时， ( )0fx，( )f x递增， 0,2 xx时， ( )0fx，( )f x递减， (2,)x时， ( )0fx，( )f x递增，故 0 x是( )f x唯一的极大值点， 且 0 000000 00 33 32ln131 235 x f xxexxxx xx 令 3 ( )13g xx x ， 1 ,1 2 x ，则 2 2 3 1 ( )0 x g x x ， ( )g x在 1 ,1 2 递增，故 16 ( )6.52 25 g xge ， 综上，( )f x存在唯一的极大值点 0 x，且 0 6 25 5 ef x .