高中数学2020年月月考-三角函数与导数交汇压轴题.docx
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- 高中数学 2020 年月 月考 三角函数 导数 交汇 压轴
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1、试卷第 1 页,总 70 页 外 装 订 线 学校:_姓名:_班级:_考号:_ 内 装 订 线 绝密启用前绝密启用前 高中数学高中数学 2020 年年 06 月月考月月考 试卷副标题试卷副标题 考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 注意事项: 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 第第 I I 卷(选择题卷(选择题) ) 请点击修改第 I 卷的文字说明 第第 IIII 卷(非选择题卷(非选择题) ) 请点击修改第 II 卷的文字说明 一、解答题一、解答题 1 ( (2019 安徽省高三月考(文) )安徽省高三月考(文) )已知函数已知函数
2、 sin ( )ln x f xx x (1)证明:函数)证明:函数 fx在在0,上有唯一零点;上有唯一零点; (2) 若) 若0,2x时, 不等式时, 不等式 sin2 ( )ln 2 xa f xx xx 恒成立, 求实数恒成立, 求实数 a的取值范围的取值范围 【答案】【答案】 (1)证明见解析; (2) 3 3 , 4 【解析】【解析】 【分析】 (1)对函数求导得 2 (cos1)sin ( ) xxx fx x ,由(0, )x可得 0fx ,从而得 到函数的单调性,再根据区间端点的函数值,即可得答案; (2)等式 sin2 ( )ln 2 xa f xx xx ,可化为不等式 1
3、 sinsin2 2 xxa,令 1 ( )sinsin2 ,(0,2 ) 2 g xxx x利用导数求得( )g x的最大值,即可得答案. 【详解】 (1)证明:由 sin ( )ln x f xx x 得 22 cossin1(cos1)sin ( ) xxxxxx fx xxx 当(0, )x时,cos10 x ,sin0 x, 则 0fx ,函数 fx在0,上单调递减, 又 3 ()ln0 66 f ,( )ln0f 试卷第 2 页,总 70 页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 所以函数 fx在0,上有唯一零点,得证 (2)由题知不等式 sin2 ( )ln 2
4、xa f xx xx ,可化为不等式 1 sinsin2 2 xxa, 则由题有 1 sinsin2 2 xxa对0,2x 恒成立, 令 1 ( )sinsin2 ,(0,2 ) 2 g xxx x 则有 2 coscos22coscos1gxxxxx cos12cos1xx, 其中cos10 x , 由2cos10 x 得 3 x 或 5 3 x 则当0 3 x 或 5 2 3 x 时,( )0g x , 当 5 33 x 时, 0gx , 当且仅当x 时, 0gx , 所以函数 g x在(0,) 3 5 ,2 3 上单调递增,在 5 , 33 上单调递减, 又 3 3 34 g ,(2 )
5、0g, 3 3 0 4 , 所以 max 3 3 ( ) 4 g x ,则 3 3 4 a , 即得实数a的取值范围是 3 3 , 4 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的零点、不等式恒成立求参数范围,考查函数与方程思想、 转化与化归思想、分类讨论思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意函数 构造法的应用. 2 ( (2020 广东省高三期末(理) )广东省高三期末(理) )已知函数已知函数 2 1sinf xxax ,0,x,aR, fx是函数是函数 fx的导函数的导函数. (1)当)当1a 时,证明:函数时,证明:函数 fx在区间在区间0,没有零点;没有零点; (2)若)若 sin
6、0fxaxa 在在0,x上恒成立,求上恒成立,求a的取值范围的取值范围. 试卷第 3 页,总 70 页 外 装 订 线 学校:_姓名:_班级:_考号:_ 内 装 订 线 【答案】【答案】 (1)证明见解析(2)a 【解析】【解析】 【分析】 (1)当1a 时, 2 1sinf xxx ,由0,x可得 2 11x ,0sin1x 且 01f, 2 24 f , 2 1f,即可得0, 22 x 时,1sin0 x ,即 可得到 2 1sin0 xx 恒成立,进而证明; (2) 2cosfxxax,则2cossin0 xaxaxa 在0,x上恒成立,设 2cossinxaxagaxx,0,x,则 0
7、00g, 220ga,可得 a ,对 g x求导,由导函数的单调性进而判断 g x的单调性,从而求解即可 【详解】 (1)证明:若1a ,则 2 1sinf xxx ,0,x, 又 2 11x ,0sin1x,故0 sin1x ,所以 2 1 sin0 xx , 又 01f, 2 24 f , 2 1f, 当 0, 22 x 时,1sin0 x , 所以 2 1sin0 xx 恒成立, 所以当1a 时,函数 fx在区间0,没有零点. (2)解: 2cosfxxax ,0,x, 故2cossin0 xaxaxa在0,x上恒成立, 设 2cossinxaxagaxx ,0,x, 所以 000g ,
8、 220ga ,即a , 因为 2sincos2sin2 4 gaxxaxax , 由a ,得0a , 所以在区间0, 4 上 gx单调递减,所以 2 022 4 aggxga ; 在区间, 4 上 gx单调递增, 222 4 aggxga , 试卷第 4 页,总 70 页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 又a ,所以 020ga , 220 4 ga , 20ga , 故 gx在区间, 4 上存在唯一零点区间 0 x,由 gx的单调性可知, 在区间 0 0,x上 0gx , g x单调递减; 在区间 0, x上 0gx , g x单调递增, 00 0 g xg g xg
9、 ,故a 【点睛】 本题考查函数的零点的分布问题,考查利用导函数研究函数的单调性,考查利用导函数处 理恒成立问题,考查运算能力 3 ( (2019 福建省厦门双十中学高三月考)福建省厦门双十中学高三月考)已知已知mR ,且,且01m,函数,函数 2 13 sin 22 f xxmxx (1) fx在在0,1x上的极值点个数;上的极值点个数; (2)研究函数)研究函数 yf x在在0,1x的零点个数的零点个数. 【答案】【答案】 (1)1 个; (2)无零点 【解析】【解析】 【分析】 (1)求得 cosfxxmx , 1 sin0fxx ,得出 fx 在0,1x上单 调递增, 由01m, 得到
10、 00 f , 10 f , 得到存在 0 0,1x , 使得 0 0fx, 进而得到函数 fx单调性,即可得到答案. (2)由(1)得出函数 2 000 min 13 sin 22 f xxmxx,且 00 cos0 xmx, 设 2 13 cossin 22 g xxxxx ,0,1x,转化为 sin0gxxxx 在 0,1恒成立,结合 g x的单调性,即可求解. 【详解】 (1)由题意,函数 2 13 sin 22 f xxmxx, 试卷第 5 页,总 70 页 外 装 订 线 学校:_姓名:_班级:_考号:_ 内 装 订 线 则 cosfxxmx , 1 sin0fxx , 所以 fx
11、 在0,1x上单调递增, 因为01m,所以 010fm , 11cos10fm , 所以存在 0 0,1x ,使得 0 0fx, 所以当 0 0,xx, 0fx,函数 fx在 0 0,x递减, 当 0,1 xx, 0fx,函数 fx在 0,1 x递增, 所以 fx在0,1x存在唯一的极小值点,没有极大值点,所以极值点有 1 个. (2)由(1)知 fx在 0 0,x递减,在 0,1 x递增,其图像如图所示, 可得 3 00 2 f , 13 1sin10 22 fm , 2 0000 min 13 sin 22 f xf xxmxx ,且 00 cos0 xmx, 又由 2 000000 13
12、 cossin 22 f xxxxxx ,即 2 00000 13 cossin 22 f xxxxx , 设 2 13 cossin 22 g xxxxx ,0,1x, 则 sin0gxxxx 在0,1x恒成立, 所以故 g x在0,1x单调递减, 所以 13 1cos1sin1 22 g xg 13 cos60sin600 22 , 所以 0f x 在0,1x恒成立,即 fx在0,1x无零点. 试卷第 6 页,总 70 页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 【点睛】 本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及恒成立问题的求解,着重考查了转化与化 归思想、逻辑推理能力与计算
13、能力,对于恒成立问题,通常要构造新函数,利用导数研 究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围; 也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题 4 ( (2019 山东省山东师范大学附中高三月考)山东省山东师范大学附中高三月考)设函数 设函数 sin x f xeaxb. . ()当)当1a ,0,x时,时, 0f x 恒成立,求恒成立,求b的范围;的范围; ()若)若 fx在在0 x 处的切线为处的切线为10 xy ,且方程,且方程 2mx f x x 恰有两解,恰有两解, 求实数求实数m的取值范围的取值范围. . 【答案】【答案】(I) 1b (
14、II) 1 0m e 【解析】【解析】 试题分析: (1)将参数值代入得到函数表达式,研究函数的单调性求得函数最值,使得 最小值大于等于 0即可; (2)根据切线得到0a ,2b ,方程 2 2 x mx e x 有两 解,可得22 x xexmx,所以 x xem有两解,令 x g xxe,研究这个函数的 单调性和图像,使得常函数 y=m,和 x g xxe有两个交点即可. 解析: 由 sin x f xeaxb, 当1a 时,得 cos x fxex. 当0,x时,1,cos1,1 x ex ,且当cos1x 时,2,xkkN,此 时1 x e . 所以 cos0 x fxex,即 f x
15、在0,+上单调递増, 所以 min 01f xfb , 试卷第 7 页,总 70 页 外 装 订 线 学校:_姓名:_班级:_考号:_ 内 装 订 线 由 0f x 恒成立,得10b,所以1b . (2)由 sin x f xeaxb得 cos x fxeax,且 01fb . 由题意得 0 01fea,所以0a . 又0,1 b在切线10 xy 上. 所以0 110b .所以2b . 所以 2 x f xe. 即方程 2 2 x mx e x 有两解,可得 22 x xexmx,所以 x xem. 令 x g xxe,则 1 x gxex, 当, 1x 时, 0gx ,所以 g x在, 1
16、上是减函数. 当1,x 时, 0gx ,所以 g x在1, 上是减函数. 所以 min 1 1g xg e . 又当x 时, 0g x ;且有 10ge. 数形结合易知: 1 0m e . 点睛:本题中涉及根据函数零点求参数取值,是高考经常涉及的重点问题, (1)利用零 点存在的判定定理构建不等式求解; (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求 解,如果涉及由几个零点时,还需考虑函数的图象与参数的交点个数; (3)转化为两熟 悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解. 5 ( (2019 四川省成都七中高三期中(理) )四川省成都七中高三期中(理) )已知函数已知函数 sin11
17、 22 6 x x f xg xaxx e ,其中,其中a为实数,为实数,e为自然对数的底为自然对数的底 数数. (1)求函数)求函数 fx的单调区间;的单调区间; (2)是否存在实数)是否存在实数a,使得对任意给定的,使得对任意给定的 0 22x ,在区间,在区间22,上总存在上总存在 三个不同的三个不同的12 3 i x i , ,使得,使得 1230 f xf xf xg x成立?若存在,求出成立?若存在,求出 实数实数a的取值范围;若不存在,请说明理由的取值范围;若不存在,请说明理由. 试卷第 8 页,总 70 页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 【答案】【答案】
18、 (1)单调递增区间为0 2 ,与 3 2 2 ,单调递减区间为2 2 ,与 3 0 2 ,(2)存在, 22 1111 212122 a ee 【解析】【解析】 【分析】 (1)先对函数求导,然后结合导数与单调性的关系即可求解, (2)结合(1)的讨论,对a进行分类讨论,即可求解 【详解】 解: (1) sin1, 22 x x f xx e , 2 cossin1cossin1 22 xx x x exxexx fxx e e , . 当 0fx ,即cossin10 xx 时, 32 sin 42 x . 4 22 4 33 4 kkxkZ , 22 2 kxkkZ ,. 当0k 时,0
19、 2 x ;当1k 时, 3 2 2 x . 当 0fx ,即cossin10 xx 时, 32 sin 42 x . 53 44 22 4 kxkkZ , 222 2 kxkkZ ,. 当0k 时,2 2 x ;当1k 时, 3 0 2 x . 函数 fx的单调递增区间为 0 2 ,与 3 2 2 , 单调递减区间为2 2 ,与 3 0 2 ,. (2) 由 (1) 可知, 函数 fx在22x ,有两个极小值, 3 0 22 ff , 存在一个极大值 01f,另外 2 2 1 22fef e ,. 试卷第 9 页,总 70 页 外 装 订 线 学校:_姓名:_班级:_考号:_ 内 装 订 线
20、 对于函数 1 22 6 g xaxx ,. 假设存在满足题意的实数a. 当0a 时, 2 11 1 6 g x e ,满足题意. 当0a 时, 11 22 66 g xaa ,. 由题意 2 11 2 6 1 21 6 a e a ,解得 2 11 0 122 a e . 当0a 时, 11 22 66 g xaa ,. 由题意 2 11 2 6 1 21 6 a e a ,解得 2 11 0 212 a e . 综上,实数a的取值范围是 22 1111 212122 a ee . 【点睛】 本题综合考查了导数的应用及逻辑推理与运算的能力,属于难题 6 ( (2020 海南省海南中学高二期末
21、)海南省海南中学高二期末)已知已知 443 1 sincos30 443 xx f xx xf . (1)求)求 0 f ; (2)设)设 2 1 sin 22 x g xx,求证:,求证: g x在在,0内有且只有一个零点;内有且只有一个零点; (3)求证:当)求证:当0 x 时,时,( )1f x . 【答案】【答案】 (1) 00 f ; (2)证明见解析; (3)证明见解析. 【解析】【解析】 【分析】 (1) 利用平方差公式和二倍角余弦公式可得出 3 1 cos30 23 x f xx xf , 求导, 将0 x 代入导函数的解析式,可得出关于 0 f 的方程,即可解出 0 f 的值
22、; (2)利用导数分析函数 yg x在区间,0上的单调性,结合零点存在定理可证 明出结论成立; 试卷第 10 页,总 70 页 外 装 订 线 请不要在装订线内答题 内 装 订 线 (3) 分析出函数 yf x在区间0,上为增函数, 由 0f xf可证明出不等 式成立. 【详解】 (1) 222233 11 sincossincos3030cos 4444332 xxxxx f xxxfxxf , 2 1 30sin 22 x fxxf, 030ff ,解得 00 f ; (2) 2 1 sin 22 x g xx,xR, 1 cos2 42 x gxx,xR, 1 2sin0 82 x gx
23、,xR,函数 ygx 在R上单调递增. 1 00 4 g , 11 1cos20 42 g , 所以, 0 1,0 x 使得 0 0gx,列表如下: x 0 ,x 0 x 0, x gx 0 g x 极小值 0 00g xg, 11 11sin0 22 g , 10 1,xx 使 1 0g x, 当 0,0 xx时,函数 yg x单调递增,此时, 00g xg. 因此,函数 yg x在,0内有且只有一个零点; (3)由于函数 ygx 在R上单调递增,则当0 x 时, 1 00 4 gxg, 所以,函数 2 1 sin 22 x fxxg x在0,单调递增. 00fxg xg ,函数 yf x在
24、0,上单调递增, 当0 x 时, 01f xf . 【点睛】 本题考查导数值的计算,同时也考查了利用导数研究函数的零点问题以及证明不等式, 试卷第 11 页,总 70 页 外 装 订 线 学校:_姓名:_班级:_考号:_ 内 装 订 线 解题时要结合导数分析函数的单调性,在求解零点问题时,可以结合零点存在定理来分 析,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题. 7 ( (2019 湖南省雅礼中学高三月考(理) )湖南省雅礼中学高三月考(理) )已知函数已知函数 sin1f xxx. (1)求曲线)求曲线 yf x在点在点, 22 f 处的切线方程;处的切线方程; (2)判断)判断 fx在在0,
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