（新教材）高中数学人教A版选择性必修第三册练习：第七章　习题课-离散型随机变量的均值与方差的综合应用.docx

1、第七章随机变量及其分布 习题课离散型随机变量的均值与方差的综 合应用 课后篇巩固提升 基础达标练 1.已知随机变量 i满足 P(i=1)=pi,P(i=0)=1-pi,i=1,2.若 0p1p2 ,则( ) A.E(1)E(2),D(1)D(2) B.E(1)D(2) C.E(1)E(2),D(1)E(2),D(1)D(2) 解析由题意可知 i(i=1,2)服从两点分布, E(1)=p1,E(2)=p2,D(1)=p1(1-p1),D(2)=p2(1-p2), 又 0p1p2 ,E(1)E(2),把方差看作函数 y=x(1-x),函数在区间 0, 上单调递增, 故由题意可知,D(1)D(2).

2、故选 A. 答案 A 2.甲、乙两台自动车床生产同种标准的零件,X表示甲车床生产 1 000件产品中的次品数,Y 表示乙车 床生产 1 000件产品中的次品数,经过一段时间的考察,X,Y 的分布列分别为 X 0 1 2 3 P 0.7 0.1 0.1 0.1 Y 0 1 2 P 0.5 0.3 0.2 据此判定( ) A.甲生产的零件质量比乙生产的零件质量好 B.乙生产的零件质量比甲生产的零件质量好 C.甲生产的零件质量与乙生产的零件质量一样 D.无法判定 解析 E(X)=00.7+10.1+20.1+30.1=0.6,E(Y)=00.5+10.3+20.2=0.7. 显然 E(X)E(Y),

3、由均值的意义知,甲生产的零件质量比乙生产的零件质量好. 答案 A 3.已知随机变量 X的分布列为 P(X=k)= ,k=3,6,9,则 D(X)等于( ) A.6 B.9 C.3 D.4 解析 E(X)=3 +6 +9 =6. D(X)=(3-6)2 +(6-6) 2 +(9-6) 2 =6. 答案 A 4.若 XB(n,p),且 E(X)=6,D(X)=3,则 P(X=1)的值为( ) A.3 - B.2-4 C.32-10 D.2-8 解析由题意知 - 解得 故 P(X=1)= 1- 11= =3 - . 答案 C 5.小芳用人体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的

4、概率是 0.4,同学乙 猜对成语的概率是 0.5,且规定猜对得 1 分,猜不对得 0 分,则这两个同学各猜 1次,得分之和 X(单位:分) 的均值为( ) A.0.9 B.0.8 C.1.2 D.1.1 解析由题意得 X=0,1,2,则 P(X=0)=0.60.5=0.3,P(X=1)=0.40.5+0.60.5=0.5,P(X=2)=0.40.5=0.2, 故 E(X)=10.5+20.2=0.9. 答案 A 6.同时抛掷两枚质地均匀的骰子,至少有一个 3 点或 6 点出现时,就说这次试验成功,则在 9 次试验中, 成功次数 X的均值是 . 解析由已知,同时抛掷两枚骰子一次,至少有一个 3点

5、或 6点出现时的概率为 , 9 次试验相当于 9次独立重复试验,则成功次数 X服从二项分布,即 XB( ). 故 E(X)=9 =5. 答案 5 7.若随机事件 A在 1次试验中发生的概率为 p(0p1),用随机变量 X 表示 A 在 1 次试验中发生的次 数,则方差 D(X)的最大值为 . 解析随机变量 X的所有可能的取值是 0,1,并且 P(X=1)=p,P(X=0)=1-p. 从而 E(X)=0(1-p)+1p=p. D(X)=(0-p)2(1-p)+(1-p)2 p=p-p2=-( - ) . 因为 0p1,所以当 p= 时,D(X)取最大值,最大值是 . 答案 8.某陶瓷厂准备烧制甲

6、、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制 合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平,经过第一次烧制后, 甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为 0.5,0.6,0.4.经过第二次烧制后,甲、乙、丙三件产品合格的 概率依次为 0.6,0.5,0.75. (1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率; (2)经过前后两次烧制后,合格工艺品的个数为 ,求随机变量 的均值与方差. 解分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件 A1、A2、A3. (1)设 E 表示第一次烧制后恰好有一件合格,则 P(E)=P(A1 )+P( A2 )+P( A3) =0

7、.50.40.6+0.50.60.6+0.50.40.4=0.38. (2)因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 p=0.3,所以 B(3,0.3). 所以 E()=np=30.3=0.9,D()=np(1-p)=30.30.7=0.63. 能力提升练 1.某城市有甲、乙、丙 3个旅游景点,一位客人游览这三个景点的概率分别是 0.4,0.5,0.6,且此人是否 游览哪个景点互不影响,设 X 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对 值,则 E(X)等于( ) A.1.48 B.0.76 C.0.24 D.1 解析 X的分布列为 X 1 3 P 0.76 0.24 ,

8、E(X)=10.76+30.24=1.48. 答案 A 2.随机变量 X的分布列如下. X 1 2 3 P x y 若 E(X)= ,则 D(X)等于( ) A. B. C. D. 解析由 得 所以 D(X)= 1- 2 + 2- 2 + 3- 2 . 答案 D 3.已知离散型随机变量 的可能值为-1,0,1,且 E()=0.1,D()=0.89,则对应的概率 P1,P2,P3分别 为 、 、 . 解析 的分布列为: -1 0 1 P P1 P2 P3 E()=-P1+P3=0.1, D()=(-1-0.1)2P1+(0-0.1)2P2+(1-0.1)2P3=0.89. 即 1.21P1+0.

9、01P2+0.81P3=0.89, 即 121P1+P2+81P3=89. 又 P1+P2+P3=1, - 解得 答案 0.4 0.1 0.5 4.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2分的概率为 b,不得分的概率为 c(a,b,c(0,1),已 知他投篮一次得分的均值为 1(不计其他得分情况),则 ab 的最大值为 . 解析由已知可得 3a+2b+0c=1,即 3a+2b=1, 故 ab= 3a 2b ( ) ( ) . 当且仅当 3a=2b= 时取等号,即 ab 的最大值为 . 答案 5. 某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角

10、形的 顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量 Y(单位:kg)与它 的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示. X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1米. (1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率; (2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与均值. 解(1)所种作物总株数 N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为 3,边界上的作物株数为 12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有 =36(种),选取的

11、两株作物恰 好“相近”的不同结果有 3+3+2=8(种).故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们 恰好“相近”的概率为 . (2)先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量 Y 的分布列. 因为 P(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2),P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4), 所以只需求出 P(X=k)(k=1,2,3,4)即可. 记 nk为其“相近”作物恰有 k 株的作物株数(k=1,2,3,4), 则 n1=2,n2=4,n3=6,n4=3. 由 P(X=k)= 得 P(X=1)= , P(X=2)= ,P(X=3)= , P(X=4

12、)= . 故所求的分布列为 Y 51 48 45 42 P E(Y)=51 +48 +45 +42 =46. 6.一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示. 将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概 率; (2)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数,求随机变量 X 的分布列,均值及方差. 解(1)设 A1表示事件“日销售量不低于 100 个”, A2表示事件“日销售量低于 50 个”, B 表示事件

13、“在未来连续 3天里有连续 2天日销售量不低于 100 个且另一天销售量低于 50个”. 因此 P(A1)=(0.006+0.004+0.002)50=0.6, P(A2)=0.00350=0.15, P(B)=0.60.60.152=0.108. (2)X 可能取的值为 0,1,2,3,相应的概率为 P(X=0)= (1-0.6)3=0.064, P(X=1)= 0.6(1-0.6)2=0.288, P(X=2)= 0.62(1-0.6)=0.432, P(X=3)= 0.63=0.216. 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因为 X

14、B(3,0.6),所以 E(X)=30.6=1.8,D(X)=30.6(1-0.6)=0.72. 7.本着健康低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租 车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分,每小时收费 2 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算).有 甲、乙两人相互独立地来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别 为 ;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 ;两人租车时间都不会超过四小时. (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率; (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 X,求 X 的分布列及均值. 解(1

15、)由题意得,甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为 .记甲、乙两人所付的租 车费用相同为事件 A, 则 P(A)= . 故甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 . (2)X 的可能取值为 0,2,4,6,8. P(X=0)= , P(X=2)= , P(X=4)= , P(X=6)= , P(X=8)= . 甲、乙两人所付的租车费用之和 X的分布列为 X 0 2 4 6 8 P E(X)=0 +2 +4 +6 +8 . 素养培优练 低碳生活,从“衣食住行”开始.在国内一些网站中出现了“碳足迹”的应用,人们可以由此计算出自己每 天的碳排放量,如家居用电的二氧化碳排放量(千克)=耗电度数

16、0.785,家用天然气的二氧化碳排放量 (千克)=天然气使用立方数0.19等.某校开展“节能减排,保护环境,从我做起!”的活动,该校高一六班 同学利用假期在东城、西城两个小区进行了关于“生活习惯是否符合低碳排放标准”的调查.生活习 惯符合低碳观念的称为“低碳家庭”,否则称为“非低碳家庭”.经统计,这两类家庭占各自小区总户数的 比例 P的数据如下: 东城小 区 低碳家 庭 非低碳家 庭 比例 P 西城小 区 低碳家 庭 非低碳家 庭 比例 P (1)如果在东城、西城两个小区内各随机选择 2 个家庭,求这 4 个家庭中恰好有两个家庭是“低碳家庭” 的概率; (2)该班同学在东城经过大力宣传节能减排

17、的重要意义,每周“非低碳家庭”中有 20%的家庭能加入“低 碳家庭”的行列中,宣传两周后随机地从东城小区中任选 5个家庭,记 X 表示 5个家庭中“低碳家庭”的 个数,求 E(X)和 D(X). 解(1)设事件“4 个家庭中恰好有两个家庭是低碳家庭”为 A, 则有以下三种情况:“低碳家庭”均来自东城小区,“低碳家庭”分别来自东城、西城两个小区,“低 碳家庭”均来自西城小区. 故 P(A)= +4 . (2)因为东城小区每周“非低碳家庭”中有 20%的人加入“低碳家庭”行列,所以经过两周后,两类家 庭占东城小区总家庭数的比例如下: 东城小 区 低碳家 庭 非低碳家 庭 比例 P 由题意得,两周后东城小区 5 个家庭中的“低碳家庭”的个数 X服从二项分布,即 XB( ), 故 E(X)=5 ,D(X)=5 .