广东省广州市(广附、广外、铁一)三校2021届高三上学期12月联考数学试题(含答案).docx

1、20202021 学年学年 12 月广东广州广附、广外、铁一三校联月广东广州广附、广外、铁一三校联 考高三上学期月考数学试卷考高三上学期月考数学试卷 1设集合 2 60Ax xx，2Bx x，则集合AB （ ） A2,3 B2,2 C0,3 D2,3 2已知复数 z 在复平面上对应的点为1,1，则（ ） A1z 是实数 B1z 是纯虚数 Czi是实数 Dzi是纯虚数 3 已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名 具体积分规则如表 1所示， 某代表队四名男生的模拟成绩如表 2 表 1 田径综合赛项目及积分规则 项目 积分规则 100 米跑 以 13 秒得 60 分为标准

2、，每少0.1秒加 5 分，每多0.1秒扣 5 分 跳高 以1.2米得 60 分为标准，每多0.02米加 2 分，每少0.02米扣 2 分 掷实心球 以11.5米得 60 分为标准，每多0.1米加 5 分，每少0.1米扣 5 分 表 2 某队模拟成绩明细 姓名 100 米跑（秒） 跳高（米） 掷实心球（米） 甲 13.3 1.24 11.8 乙 12.6 1.3 11.4 丙 12.9 1.26 11.7 丁 13.1 1.22 11.6 根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 4 易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排

3、列 结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中如图，白圈为阳数，黑点为 阴数，若从阴数和阳数中各取一数分别记为 a，b则满足2ab的概率为（ ） A 8 25 B 9 25 C 16 25 D 18 25 5已知向量( ,2)ax，( 2,1)b ，若 abb，则实数 x 的值为（ ） A 1 2 B 3 2 C 5 2 D 7 2 6函数 1 ( )e 1 x x f x x 的部分图象大致是（ ） A B C D 7已知三棱锥ABCD的三视图均为边长为 1 的正方形，如图所示，此三棱锥的所有顶点都在一个球面 上，则此球的表面积是（ ） A 3 B 2 3 C3 D 4

4、 8若 x，a，b 均为任意实数，且 22 (2)(3)1ab，则 22 ()(ln)xaxb的最小值为（ ） A3 2 B18 C3 21 D19 6 2 9已知函数 2 ( )2sin cos2sinf xxxx，给出下列四个选项，正确的有（ ） A函数 f x的最小正周期是 B函数 f x在区间 5 , 88 上是减函数 C函数 f x的图象关于点,0 8 对称 D函数 f x的图象可由函数2sin2yx的图象向右平移 8 个单位，再向下平移 1 个单位得到 10甲箱中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙箱中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球先从甲箱中随机 取出一球放入乙箱

5、中，分别以 1 A， 2 A， 3 A表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙 箱中随机取出一球，以 B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ） A 2 5 P B B 1 5 11 P B A C事件 B 与事件 1 A相互独立 D 1 A， 2 A， 3 A两两互斥 11如图， 在长方体 1111 ABCDABC D中， 1 4AAAB，2BC ，M，N 分别为棱 11 C D， 1 CC的中点， 则下列说法正确的是（ ） AA、M、N、B 四点共面 B平面ADM 平面 11 CDDC C直线 BN 与 BM 所成角为60 D/BN平面 ADM 12下列命题正

6、确的是（ ） A两条直线平行的充要条件是两条直线的斜率相等 B 5 (23 )xyz的展开式中 22 x y z项的系数是 360 C锐角ABC中，sinsinsincoscoscosABCABC D已知：集合 2 ( , ) xy Gx y xyu ，集合 22 ( , )2Hx yxy， “命题：( , )x yG”是“命 题( , )x yH”的必要不充分条件，则 u 的取值范围是2u 13已知双曲线 22 22 1 xy ab 的一条渐近线方程为 1 2 yx，则该双曲线的离心率为_ 14已知两个等差数列 n a和 n b的前 n 项和分别为 n S， n T，且 5 5 n n Sn

7、 Tn ，则 1011 813 aa bb _ 15 2019 年 7 月， 中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录， 标志着中华五千年文明史得到国际社会认可 良 渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史考古科学家在测定遗址年龄的过 程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律已知样本中碳 14 的质量 N 随时间 t（单位：年） 的衰变规律满足 5730 0 2 t NN （ 0 N表示碳 14 原有的质量） ，则经过 5730 年后，碳 14 的质量变为原 来的_；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳 14 的质量是原来的 1 2 至 3 5 ，据此推测良渚古 城存在的时期距

8、今约在_到 5730 年之间 （参考数据： 2 log 31.6， 2 log 52.3） 16如图，已知抛物线 2 4yx的焦点为 F，过点2,0P的直线交抛物线于 A，B 两点，直线 AF，BF 分 别与抛物线交于点 M、N，记直线 MN 的斜率为 1 k，直线 AB 的斜率为 2 k，则 1 2 k k _ 17已知ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，在()(sinsin)()sinabABcbC； sinsin 2 BC baB ； 2 2 3sinsin30 2 A A； 这三个条件中任选一个完成下列内容： （1）求 A 的大小； （2）已知ABC外接圆半径3R ，3

9、AC ，求ABC的周长 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18如图，直角三角形 ABD 所在的平面与半圆弧BD所在平面相交于 BD，2ABBD，E，F 分别为 AD，BD 的中点，C 是BD上异于 B，D 的点，2EC （1）证明：平面CEF 平面 BCD （2）若点 C 为半圆弧BD上的一个三等分点（靠近点 D） ，求二面角A CEB余弦值 19新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即 2019 新型冠状病毒2020 年 2 月 7 日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新 型冠状病毒肺炎” ，简称“新冠肺炎”患

10、者初始症状多为发热、乏力和干咳，并逐渐出现呼吸困难等 严重表现基于目前的流行病学调查，潜伏期为 114 天，潜伏期具有传染性，无症状感染者也可能 成为传染源某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机 抽取 10000 人，答题成绩统计如图所示 （1）由直方图可认为答题者的成绩 z 服从正态分布 2 ,N ，其中， 2 分别为答题者的平均成绩 x和成绩的方差 2 s，那么这 10000 名答题者成绩超过84.81分的人数估计有多少人?（同一组中 的数据用该组的区间中点值作代表） （2）如果成绩超过56.19分的民众我们认为是“防御知识合格者” ，用这 10000

11、 名答题者的成绩来估计 全市的民众，现从全市中随机抽取 4 人， “防御知识合格者”的人数为，求3P （精确到 0.001） 附： 2 204.75s ，204.7514.31； 2 ,zN ，则()0.6826Pz，(22 )0.9544Pz； 4 0.84130.501， 3 0.84130.595 20设公差不为 0 的等差数列 n a的首项为 1，且 2 a， 5 a， 14 a构成等比数列 （1）求数列 n a的通项公式，并求数列 1 2 n n a 的前 n 项和为 n T （2）令 12cos( 1) nnn caan ，若 2 12n ccctn对*nN恒成立，求实数 t 的取

12、值范围 21已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率是 2 2 ，原点到直线1 xy ab 的距离等于 2 3 3 ，又知点 0,3Q （1）求椭圆 C 的标准方程 （2）若椭圆 C 上总存在两个点 A、B 关于直线yxm对称，且328QA QB，求实数 m 的取值范 围 22已知函数 2 ( )ln2 ,f xxaxx aR （1）若函数 f x在0,内单调，求 a 的取值范围 （2）若函数 f x存在两个极值点 1 x， 2 x，求 12 12 f xf x xx 的取值范围 20202021 学年学年 12 月广东广州广附、广外、铁一三校联月广东广州广附、广外、铁一

13、三校联 考高三上学期月考数学试卷考高三上学期月考数学试卷（详解详解） 1 【答案】D 【解析】集合 2 6023Ax xxxx， 2Bx x ， 则集合 232,3ABxx 故选 D 2 【答案】B 【解析】复数 z 对应的点为1,1，则1zi ， A111zii ，为纯虚数，故 A 错误； B1zi ，为纯虚数，故 B 正确； C1 2zii ，为虚数，故 C 错误； D1 2zii ，不是纯虚数，故 D 错误 故选 B 3 【答案】B 【解析】甲的成绩为：60 3 5 602 2 60 3 5 184 乙的成绩为：604 5 60 5 2 60 5205 分 丙的成绩为：60 5 60 3

14、 2 602 5201 分 丁的成绩为：60 5 602 60 5 182 分 故选乙，即选 B 选项 4 【答案】C 【解析】由题意可得，阴数为 2、4、6、8、10，阳数为 1、3、5、7、9， 阴数和阳数共有5 525 种组合 其差的绝对值为 1 的组合有2,1，2,3，4,3，4,5，6,5，6,7，8,7，8,9， 10,9这 9 种， 故差的绝对值2ab的可能组合共有25 916 种 满足2ab的概率为 16 25 故选 C 项 5 【答案】D 【解析】,2ax，( 2,1)b ， (2,3)abx， abb， 0abb， (2) ( 2)3 10 x ， 243x， 7 2 x

15、故选 D 6 【答案】A 【解析】当x时，e0 x ， 12 11 11 x xx ， 所以( )0f x ，排除 C，D； 因为x 时，ex ， 12 11 11 x xx ， 所以 f x ，因此排除 B， 故选：A 7 【答案】C 【解析】 设三棱锥ABCD在边长为 1 的正方体中， 正方体外接球半径约为： 222 1113 22 r ， 球表面积为： 2 3 443 4 r 故选 C 8 【答案】D 【解析】方法一：由于 a，b 均为任意实数，且 22 (2)(3)1ab， 所以动点,P a b到定点2,3C 的距离为定值 1， 亦即动点,2P ab的轨迹是以2,3C 为圆心，半径1r

16、 的圆， 又 22 ()(ln)xaxb表示,P a b与动点,lnQ xx的距离， 而,lnQ xx的轨迹是曲线lnyx， 如图，1PQCQPCCQ，当且仅当 C，P，Q 共线， 且点 P 在线段 CQ 上时取等号，以 C 为圆心作半径为 r 的圆 与lnyx相切，切点是,lnQ xx，此时的公切线与半径垂直， ln3 1 1 2 x xx ，即ln(1)(3)xxx ， 结合函数lnyx与13yxx的图象可知1,0Q， 所以13 21PQCQPCCQ ， 故 22 ()(ln)xaxb的最小值为 2 3 21196 2 正确答案为 D 方法二： 22 (2)(3)1ab， 可得, a b在

17、2,3为圆心，1 为半径 r 的圆上， 22 ()(ln)xaxb表示点, a b与点,lnxx的距离的平方， 设过切点,lnmm的切线与过2,3的法线垂直， 可得 ln3 1 1 2 m mm ， 即有 2 ln23mmm， 由 2 ( )ln2f mmmm在0m递增，且 13f， 可得切点为1,0， 圆心与切点的距离为 22 (12)(03)3 2d ， 可得 22 ()(ln)xaxb的最小值为 2 3 21196 2 故选 D 9 【答案】AB 【解析】 2 ( )sin22sin1 1sin2cos21f xxxxx 2sin 21 4 x ， 对于 A：因为2，则 f x的最小正周

18、期T，结论正确 对于 B：当 5 , 88 x 时， 3 2, 422 x ， 则sinx在 5 , 88 上是减函数，结论正确 对于 C：因为1 8 f ，得到函数 f x图象的一个对称中心为, 1 8 ，结论不正确 对于 D：函数 f x的图象可由函数2sin2yx的图象向左平移 8 个单位再向下平移 1 个单 位得到，结论不正确 故正确结论有 A，B， 故选 AB 10 【答案】BD 【解析】因为事件 1 A， 2 A， 3 A任意两个都不能同时发生， 1 A， 2 A， 3 A是两两互斥的事件， 1 5 10 P A， 2 2 10 P A， 3 3 10 P A， 1 1 1 55

19、5 1011 5 11 10 P BA P B A P A ， 2 2 2 24 4 1011 2 11 10 P BA P B A P A ， 3 3 3 34 4 1011 3 11 10 P BA P B A P A ， 12233 ( )P BP B AP B A P AP B A P A 5524349 10111011101122 ， 1 5 22 P AB ， 1 599 ( ) 102244 P A P B ， 11 ( )P ABP A P B，于是事件 B 与事件 1 A不相互独立， 故选 BD 11 【答案】BC 【解析】A 选项：A、B、M 在平面 11 ABC D内，

20、N 在平面 11 ABC D外，故 A 错误； B 选项：在长方体 1111 ABCDABC D中，AD 平面 11 CDDC，AD 平面 ADM， 平面ADM 平面 11 CDDC，故 B 正确； C 选项： 取 CD 中点 E，连接 BE、NE， 1 / /BEBM，EBN为直线 BN 与 1 B M所成角， 由题意可得BEN为等边三角形，60EBN，故 C 正确； D 选项：若/BN平面 ADM，又/ /BC平面 ADM， 则平面 11/ / BCC B平面 ADM， 平面 11/ / BCC B平面 11 ADD A，矛盾，故 D 错误 故选 BC 12 【答案】BCD 【解析】A 选

21、项：当两条直线垂直于 x 轴，且不重合时，两直线平行，但斜率不存在，故 A 错误； B 选项： 22 x y z项的余数为： 2221 531 23痧? 5!3! 4 3 (52)!2!2!(32)! 10 3 4 3 360，故 B 正确； C 选项：锐角ABC中， 2 AB ， 0 22 AB ， sinsin 2 BA ， cossinBA， 同理可得：cossinAC， cossinCB， sinsinsincoscoscosABCABC，故 C 正确； D 选项：命题, x yG是命题, x yH的必要不充分条件， HG， 由图可知，当2u 时，2xy 与圆 22 2xy刚好相切，可

22、行域刚好包含 22 2xy这 个圆上的所有点，符合题意， 当2u时，同样符合题意， 故命题, x yG是命题, x yH的必要不充分条件， 此时，的取值范围为2u，故 D 正确 故选 BCD 13 【答案】 5 2 【解析】 22 22 1 xy ab 的渐近线方程为 1 2 yx， 1 2 b a ， 2222 222 1 1 4 bcac aaa ， 2 2 5 4 c a ， 5 2 c e a 14 【答案】4 【解析】等差数列 n a， n b中， 20 1011 2 20 S aa， 20 813 2 20 T bb， 101120 81320 5 20 4 205 aaS bbT

23、 15 【答案】 1 2 ；4011 【解析】根据题意， 5730 0 2 t NN ，5730t ， 1 0 1 2 2 N N ， 0 13 25 N N 即 5730 13 2 25 t ， 令 5730 3 2 5 t ， 2 3 log5730 5 t 35 22 5730loglog 5730 (1.62.3) 4011 16 【答案】2 【解析】 11 ,A x y， 22 ,B x y， 33 ,M x y， 44 ,N xy， 则 34112 23412 yykxx kxxyy 22 12 34 22 3412 44 44 yy yy yyyy 12 34 yy yy ， 设

24、直线 AM 的方程为1xny，将其代入 2 4yx， 消去 x，整理得 2 440yny， 13 4y y ，同理可得 24 4y y ， 有 1121212 234 12 44 4 kyyyyy y kyy yy ， 设直线 AB 的方程为2xmy，代入 2 4yx， 整理得 2 480ymy， 12 8y y ， 112 2 8 2 44 ky y k 17 【答案】 （1） 3 ； （2）3 3 【解析】 （1）选择：由正弦定理得()ababcb c， 222 abcbc， 由余弦定理得 1 cos 2 A 0A， 3 A 选，由正弦定理得sinsinsinsin 22 A BAB ，s

25、in0B， cossin 2 A A， 1 sin 22 A ， 0,A， 3 A 选： 2 2 3sinsin30 2 A A， 、 1 cos 2 3sin30 2 A A 即sin3cos0AA， tan3A， 又0A， 3 A （2）2 sin a R A ， 2 sin2 3sin3 3 aRA ， 3ACb， 由余弦定理得 222 2cosabcbcA， 2 360cc， 0c ，所以得2 3c ， 周长3 3 3abc 18 【答案】 （1）证明见解析 （2） 105 35 【解析】 （1）因为 C 半圆弧BD上的一点， 所以BCBD， 在ABD中，E，F 分别为 AD，BD 的

26、中点， 所以 1 1 2 EFAB，且/EFAB， 于是在EFC中， 222 1 12EFFCEC ， 所以EFC为直角三角形，且EFFC， 因为ABBD，/EFAB， 所以EFBD， 因为EFFC，EFBD，BDFCF， 所以EF 平面 BCD， 又EF 平面 CEF， 所以平面CEF 平面 BCD （2）由已知120BFC ，以 F 为坐标原点，分别以垂直于 BD， 向量FD，FE所在方向作为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz， 则 3 1 ,0 22 C ，(0,0,1)E，(0, 1,0)B，(0, 1,2)A， 31 ,1 22 CE ，(0,1

27、,1)BE ，(0,1, 1)AE ， 设平面 ACE 的一个法向量为 111 ,mx y z， 则 0 0 AE m CE m 即 11 111 0 31 0 22 yz xyz ， 取 1 1z ，得 3 ,1,1 3 m ， 设平面 BCE 的法向量 222 ,nx y z， 则 0 0 BE n CE n 即 22 222 0 31 0 22 yz xyz ， 取 2 1z ，得 3, 1,1n ， 所以 1105 cos, 3521 5 3 m n m n m n ， 又二面角A CEB为锐角，所以二面角A CEB的余弦值为 105 35 18 【答案】 （1）1587 人； （2）

28、0.499 【解析】 （1）由题意知： 45 0.1 55 0.15 65 0.2 75 0.3 85 0.15 95 0.170.5x ， 依题意 z 服从正态分布 2 ,N ， 其中70.5x， 2 ( )204.75D，14.31， z 服从正态分布 22 ,70.5,14.31NN ， 而()(56.1984.81)0.6826PzPz， 1 0.6826 (84.81)0.1587 2 P z 竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.1587 100001587人 （2）由（1）知，成绩超过56.19分的概率1 0.15870.8413， 而(4,0.8413)B， (3)1(4)P

29、P 44 4 1(0.8413)C 1 0.501 0.499 20 【答案】 （1） 1 5(25) 2 n n Tn （2）5t 【解析】 （1）公差 d 不为 0 的等差数列 n a的首项为 1，且 2 a， 5 a， 14 a构成等比数列， 可得 2 5214 aa a，即 2 (1 4 )(1)(1 13 )ddd， 解得2d ，21 n an， 1 21 22 n nn an ， 前 n 项和 23 1111 357(21) 2222 n n Tn ， 2341 11111 357(21) 22222 n n Tn ， 两式相加可得 231 131111 2(21) 222222

30、nn n Tn 1 1 11 1 3142 2(21) 1 22 1 2 n n n ， 化简可得 1 5(25) 2 n n Tn （2）(21)(23)cos(1) n cnnn， 当 n 为奇数时，cos(1)1n， 12n ccc 3 55 77 99 11(21)(23)nn 3 54 (7 1121)n 2 (28)(1) 154267 4 nn nn ， 2 12n ccctn对n N恒成立，即为 22 267nntn， 可得 2 2 76135 27 77 t nnn ， 则2t ； 当 n 为偶数时，cos(1)1n ， 12n ccc 3 55 77 99 11(21)(2

31、3)nn 2 4 (59 1321)26nnn ， 2 12n ccctn对n N恒成立， 即为 22 26nntn， 可得 6 2t n ，由 6 2 n 在 n 为偶数集递增， 可得2n取得最小值5， 则5t ， 综上所述，5t 21 【答案】 （1） 22 1 42 xy ； （2） 6 1 , 33 【解析】 （1）由 22 22 2 2 12 3 311 ab a ab ，得 2 4a ， 2 2b ， 所以圆 C 标准方程为 22 1 42 xy （2）根据题意可设直线 AB 的方程为yxn ， 联立 22 1 42 yxn xy ， 整理得 22 34220 xnxn， 由 22

32、 ( 4 )4 3 220nn ，得 2 6n ， 设 11 ,A xxn， 22 ,B xxn， 则 12 4 3 n xx， 2 12 22 3 n x x ， 又设 AB 的中点为 00 ,M xxn， 则 12 0 2 23 xxn x ， 0 3 n xn， 由于点 M 在直线yxm上， 所以 2 33 nn m， 得3nm， 代入 2 6n ，得 2 96m ， 所以 66 33 m， 因为 11 ,3QAxxn， 22 ,3QBxxn， 所以 2 1212 2(3)(3)QA QBx xnxxn 2 2 42 4 (3) (3) 33 n n n n 2 3619 3 nn ，

33、由328QA QB， 得 2 361928nn， 解得13n ，所以133m ， 即 1 1 3 m ， 又由得 61 33 m， 故实数 m 的取值范围为 6 1 , 33 22 【答案】 （1） 1 2 a ； （2）(, 32ln2) 【解析】 （1） 2 2 22 ( )22(0) axxa fxxx xx ， 由题意得 0fx恒成立，即 2 22axx恒成立， 而 2 2 111 222 222 xxx ， 1 2 a （2）由题意知 2 220 xxa在0,内有 2 个不等实根 1 x， 2 x 则 1 0 2 a，且 12 1xx， 12 2 a x x ， 不妨设 12 xx，

34、则 1 1 0 2 x， 12 12 f xf x xx 12 12 12 lnln 22 xx xaxa xx 12 12 lnln 3 xx a xx 12 12 12 lnln 32 xx x x xx 2112 2ln2ln3xxxx 1111 2 1ln213xxxx 令( )(1)lnln(1)g xxxxx， 1 0 2 x ， 则 1 ( )lnln(1) 1 xx g xxx xx 11 2 ln1 (1) x xxx ， 显然 1 11 x ，1 20 x，故( )0g x，( )g x递增， 而 11 lnln2 22 g ，0 x时， g x ， 故( )(, ln2)g x ， 12 12 (, 32ln2) f xf x xx