百万联考2020-2021学年高三全国一卷1月联考文科数学试题(有答案).docx

1、高三数学试卷（文科）高三数学试卷（文科） （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合60Axx，35Bxx ，则AB（ ）

2、 A B56xx C35xx D356x xx 或 2若复数 2 1 2iz ，则1 z（ ） A20 B2 5 C32 D4 2 3某校高年级在某次数学测验中成绩不低于 80 分的所有考生的成绩统计表如下： 成绩 80,90 90,100 100,110 110,120 120,130 130,140 140,150 频数 30 40 15 12 10 5 2 则及格（不低于 90 分）的所有考生成绩的中位数（ ） A在90,100内 B在100,110内 C在110,120内 D在120,130内 4等差数列32n的前 4 项和等于该数列的（ ） A第 6 项 B第 7 项 C第 8 项

3、D第 9 项 5若正三棱锥PABC的高为 1，4 3AB ，则该正三棱锥的侧面积为（ ） A6 15 B18 2 C6 30 D6 51 6已知双曲线 22 :4640Cxy的两个焦点分别为 1 F， 2 F，O为坐标原点，若P为C上异干顶点的任 意一点，则 1 POF与 2 POF的周长之差为（ ） A8 B16 C8或 8 D16或 16 7 已知函数 sinf xx图象的两个对称中心为,0 6 ，,0 2 ， 则 f x的解析式可以为 （ ） A 2 sin 4 3 f xx B 1 sin 24 f xx C cos 6 2 f xx D sin 3 6 f xx 8已知a，b表示两条

4、不同的直线，、表示两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ） A若，/a，/b，则ab B若/ ，则b ，a，ab C若a，/ ，/b，则/a b D若/a，a，b，则a与b异面 9我国古代数学名著九章算术里有一道关于鸡啄粟的问题：“今有三鸡共啄粟一千一粒，雏啄一，母 啄二，翁啄四主责本粟问三鸡啄各偿各几何？”如图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法， 运行该程序框图，则输出的x（ ） A123 B133 C143 D153 10函数 243 1 log 12loglog 12 f xx的定义域为（ ） A 1 0, 9 B 1 , 9 C0,9 D9, 11正八边形在生活中是很常见的

5、对称图形，如图 1 中的正八边形的U盘，图 2 中的正八边形窗花在图 3 的正八边形 12345678 A A A A A A A A中， 647172 A AA AA A，则（ ） A 42 2 B2 C 22 2 D2 12已知函数 2 cos 2144f xxaxax只有一个零点，则a（ ） A2 B1 C2 D4 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题把答案填在答题卡的相应位置小题把答案填在答题卡的相应位置 13函数 3 22f xx的图象在点1,0处的切线的斜率为_ 14从集合 1,2, 5,3, 10,4,5中任意选取一个元素作为球O的半径，则球O的表面积不小于20的概

6、 率为_ 15已知等比数列 n a的前 3 项和为 3，且 3 4a ，则 n a的前n项和 n S _ 16 已知抛物线 2 :8C yx与圆 22 :128D xy交于A，B两点，F是C的焦点，ABF的重心为G 设 P是圆D上一动点，则PG的最大值为_ 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤小题解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题（一）必考题 17ABC的内角A

7、，B，C所对的边分别为a，b，c已知 3 15 sinsin 8 AB，2ba （1）求cos A （2）若D是AB边上一点，且ACD的面积为 2 15 28 b，证明：ADCD 18某工厂的工人生产一种内径为25.40mm的零件，为了了解零件的生产质量，从该厂的 1000 件零件中 抽出 50 件，测得其内径尺寸如下（单位：mm） ： 25.41 8 25.42 6 25.40 4 25.38 11 25.39 8 25.44 1 25.43 7 25.37 5 这里用x n表示有n件尺寸为mmx的零件 （1）求这 50 件零件内径尺寸的平均数x； （2） 设这50件零件内径尺寸的方差为 2

8、 s， 试估计该厂1000件零件中其内径尺寸在,xs xs内的件数 参考数据：取4.162.04 19已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，以C的长轴为直径的圆的方程为 22 4xy （1）求C的方程 （2）直线l与y轴平行，且与C交于P，Q两点，A，B分别为C的左、右顶点直线AP与BQ交于点 G，证明：点P与点G的横坐标的乘积为定值 20 如图， 在四棱柱 1111 ABCDABC D中， 平面 11 CDDC 底面ABCD，/AB CD， 1 ADCD且 1 3DD ， 24CDAB，5AC （1）证明：四边形ABCD为直角梯形 （2）若 1 , 3 2

9、CDD ，求四棱柱 1111 ABCDABC D体积的取值范围 21已知函数 ln ex xa f x a （1）若1a ，讨论 f x的单调性； （2）若0,1x ， ln x f x x ，求a的取值范围 （二）选考题：请考生从第（二）选考题：请考生从第 22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一个题目计分两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一个题目计分 22 【选修44：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 , 1 xt yt （t为参数） 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 2 12 3cos （1）求l的

10、普通方程和C的直角坐标方程； （2）若l与C交于M，N两点，1,0P，求 11 PMPN 的值 23 【选修45：不等式选讲】 已知函数 211f xxx （1）求 f x的值域； （2）若 f x的最小值为m，且 22 abm，求 22 12 21ab 的最小值 高三数学试卷参考答案（文科）高三数学试卷参考答案（文科） 1 【答案】C 【解析】本题考查集合的交集，考查运算求解能力 【解答】解：因为6Ax x，所以35ABxx 故选 C 2 【答案】D 【解析】本题考查复数的模，考查运算求解能力 【解答】解：因为3 4iz ，所以144iz，则 22 1444 2z 故选 D 3 【答案】B

11、【解析】本题考查统计中对中位数的估计，考查解读表格信息的能力与数据处理能力 【解答】解：由表可知，及格的考生共有40 15 12 10 5 284 人， 在90,100内有 40 人，在100,110内有 15 人， 故及格的所有考生成绩的中位数在100,110内 故选 B 4 【答案】C 【解析】本题考查等差数列，考查运算求解能力 【解答】解：等差数列32n的前 4 项和为1 47 1022 ， 由3222n，得8n 故选 C 5 【答案】A 【解析】本题考查棱锥的侧面积，考查空间想象能力与运算求解能力 【解答】解：如图，取AB的中点D， 设PO底面ABC，垂足为O，连接PD，CD， 则 1

12、13 4 32 332 ODCD 因为1PO，所以5PO ，故侧面积为 1 34 356 15 2 故选 A 6 【答案】D 【解析】本题考查双曲线定义的应用，考查数形结合的数学思想 【解答】解：C的方程可化为 22 1 6416 yx ，所以8a ， 易知 1 POF与 2 POF周长差的绝对值为216a ， 故 1 POF与 2 POF的周长之差为16或 16 故选 D 7 【答案】C 【解析】本题考查三角函数的图象及其对称性，考查推理论证能力 【解答】解：设 sinf xx的最小正周期为T， 则 262 kT k Z， 2 T ， 则3k kZ，排除 A，B 而 sin 3 6 f xx

13、 的图象不关于点,0 6 对称，排除 D 故选 C 8 【答案】B 【解析】本题考查点、线、面的位置关系，考查空间想象能力与推理论证能力 【解答】解：对于选项 A，当a，b都平行于与的交线时，/a b，所以 A 为假命题 对于选项 B，b ，a，ab，所以 B 为真命题 若a，/ ，则a，由/b，可得ab，所以 C 为假命题 若/a，a，b，则/a b，所以 D 为假命题 故选 B 9 【答案】C 【解析】本题考查程序框图，考查逻辑推理的核心素养 【解答】解：2yx，2zy，247sxxxx， 由算法的功能可知，输出的 1001 143 7 x 故选 C 10 【答案】B 【解析】本题考查函数

14、的定义域与对数运算，考查运算求解能力 【解答】解：由 243 log 12loglog 120 x， 得 2 421224 3 log 121 loglog 12 log 3log 3log log 129 x ，则 1 9 x 故选 B 11 【答案】D 【解析】本题考查平面向量的基本定理的应用，考查数形结合的数学思想与直观想象、推理论证的核心素 养 【解答】解：连接 63 A A， 14 A A， 72 A A且 6314 A AA AB， 在 14 A A上取一点C，使得 176 ACA A，则 716 A AAC 设 3 BAm，则 6372 222A AA Ammmm， 由图可知，

15、647164667272 2 222 22 mm A AA AA AA CA BA AA A m 故2故选 D 12 【答案】B 【解析】本题考查函数的零点问题，考查化归与转化的数学思想 【解答】解：令21xt ，则 f x有且只有一个零点 等价于 2 cos1g tta t只有一个零点， 因为 g t是偶函数，所以 g t的图象必过坐标原点， 所以 010ga ，故1a 故选 B 13 【答案】6 【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力 【解答】解：因为 2 6fxx，所以 16f 故答案为：6 14 【答案】 5 7 【解析】本题考查古典概型与球体的表面积，考查运算求解能力 【解

16、答】解：设球O的半径为0R R ， 由 2 420R，得5R ，故所求概率为 5 7 故答案为： 5 7 15 【答案】 12 3 n 【解析】本题考查等比数列的性质与前n项和，考查运算求解能力 【解答】解：设 n a的公比为q，则 3 2 44 43S qq ，解得2q ， 则 1 1a ， 12 3 n n S 故答案为： 12 3 n 16 【答案】68 2 【解析】本题考查圆与抛物线的综合，考查数形结合的数学思想与运算求解能力 【解答】解：由 22 2 128, 80, xy yx 得 2 812800 xxx， 解得8x 或16x（舍去） 不妨假设8,8A，则8, 8B 因为2,0F

17、，所以G的坐标为 882 880 , 33 ，即6,0 因为圆D的半径为8 2，所以PG的最大值为68 2 故答案为：68 2 17 【答案】 （1）解：2ba，sin2sinBA， 又 3 15 sinsin 8 AB， 15 sin 8 A 2ba，ab，AB，0, 2 A ， 故 2 7 cos1 sin 8 AA （2）证明： 2 11515 sin 21628 ACD Sb ADAb ADb ， 4 7 ADb 由余弦定理得 222 2cosCDACADAC ADA 22 2 4474 2 7787 bbbbb ， 4 7 CDb，故ADCD 【评分细则】 【1】第（1）问中，没有推

18、理得到0, 2 A ，而直接得到 7 cos 8 A ，扣 2 分若只得到AB，而未 写0, 2 A ，不扣分 【 2 】 第 （ 2 ） 问 中 ， 未 写 222 2cosCDACADAC ADA， 直 接 得 到 22 22 4474 2 7787 CDbbbbb ，不扣分 18 【答案】解： （1）25.4125.39825.40 425.4225.386x 25.4325.37525.4425.38 525.43 25025.40 （2）因为 22222 0.01160.02170.03120.041500.000416s ， 所以0.0004160.014.160.01 2.040

19、.0204s ， 25.40 0.020425.3796xs ，25.40 0.020425.4204xs ， 所以这 50 件零件内径尺寸在,xs xs内的件数为50 1 7 537 ， 故该厂 1000 件零件中其内径尺寸在,xs xs内的件数约为 37 1000740 50 【评分细则】 【1】第（1）问中，x的结果写为25.4不扣分 【2】第（2）问中，没有求xs与xs的值，而直接得出这 50 件零件内径尺寸在,xs xs内的件数 为 37，需扣 1 分 19 【答案】 （1）解：因为以C的长轴为直径的圆的方程为 22 4xy，所以 2 4a 因为 1 2 c e a ，所以 2 1c

20、 ， 222 3bac， 故C的方程为 22 1 43 xy （2）证明：设直线l的方程为0 xm m，,P m n， 则,Q mn，22m ，且0m， 直线AP的方程为2 2 n yx m ， 直线BQ的方程为2 2 n yx m ， 2 , 2 2 , 2 n yx m n yx m 将两式相除得 22 1 22 mx mx ， 解得 4 x m ，即 4 G x m ，故 4 4 PG xxm m 为定值 【评分细则】 【1】第（1）问中，根据圆的方程得到2a同样给 2 分 【2】第（2）问中，未写22m ，且0m，扣 1 分 20 【答案】 （1）证明：过 1 D作 1 D HCD，垂

21、足为H， 因为平面 11 CDDC 底面ABCDCD，平面 11 CDDC 底面ABCD， 所以 1 DH 底面ABCD 因为AD 平面ABCD，所以 1 D HAD 又 1 ADCD， 1 CDD HH，所以AD 平面 11 CDDC 因为CD平面 11 CDDC，所以ADCD 又/AB CD，ABCD，所以四边形ABCD为直角梯形 （2）解：由（1）知， 1 DH 底面ABCD， 则 1 D H为四棱柱 1111 ABCDABC D的高 因为 1 , 3 2 CDD ， 所以 1111 3 3 sin3sin,3 2 D HDDCDDCDD 因为ADCD，所以 22 3ADACCD， 所以

22、四边形ABCD的面积 1 2439 2 S ， 所以四棱柱 1111 ABCDABC D的体积 27 3 ,27 2 VS DH ， 故四棱柱 1111 ABCDABC D体积的取值范围是 27 3 ,27 2 【评分细则】 【1】第（1）问中，证明 1 DH 底面ABCD时，没有写平面 11 CDDC 底面ABCDCD，扣 1 分最 后一行写成2CDAB，不扣分，如果既没有写ABCD，又没有写2CDAB，就要扣 1 分 【2】第（2）问中，写到四棱柱 1111 ABCDABC D的体积 27 3 ,27 2 VS DH ，但没有下结论“四 棱柱 1111 ABCDABC D的体积的取值范围是

23、 27 3 ,27 2 ”，不扣分 21 【答案】解： f x的定义域为, ， 因为1a ，所以 1 ee xx xx fx 当1x时， 0fx， f x在,1上单调递增； 当1x 时， 0fx， f x在1,上单调递减 （2）由 lnln ex xax ax ，得 lnelnln e x x ax ax ， 即 lne ln e x x a x xa 对0,1x恒成立 令 ln x h x x ，则 2 1 ln x h x x ， 当0,ex时， 0h x， h x单调递增， 当1,x时， 0h x，当0,1x时， 0h x 由 lne ln e x x a x xa ，得 exh xh

24、a，所以exxa， 所以 ex x a 对0,1x恒成立设 ex x m x ，0,1x， 由（1）知 m x在0,1上单调递增， 所以 1 e a ，即a的取值范围为 1 , e 【评分细则】 【1】第（1）问中，未写定义域，直接得到 1 ex x fx 不扣分 【2】第（2）问中，写到 1 e a ，但未写a的取值范围为 1 , e ，不扣分 如果没有先说明 h x在0,1的单调性与 h x在1,上的正负情况，直接由 exh xh a得到 exxa，则要扣 2 分 22 【答案】解： （1）l的普通方程为10 xy 由 2 2 12 3cos ，得 222 3cos12，则 222 312

25、xyx， 即C的直角坐标方程为 22 1 34 xy （2）由题意，l的参数方程为 2 1, 2 2 2 xt yt （t参数） ， 代入 22 1 34 xy ，得 2 78 2160tt 设M，N对应的参数分别为 1 t， 2 t，则 12 8 2 7 tt， 1 2 16 7 t t ， 则 2 121 2 1212 1 21 21 2 27 4 113 7 16 2 7 ttt ttttt PMPNt tt tt t 【评分细则】 【1】第（1）问中，得到C的直角坐标方程为 22 4312xy，不扣分 【2】第（2）问得到 2 78 2160tt后，可以直接求出 1 t， 2 t，其步

26、骤如下： 设M，N对应的参数分别为 1 t， 212 ttt，则 1 4 212 7 t ， 2 4 212 7 t ， 则 12 1111777 243 1122124 2124 2PMPNtt 23 【答案】解： （1）当1x时， 33f xx； 当 1 1 2 x 时， 3 2,3 2 f xx ； 当 1 2 x 时， 3 3 2 f xx 综上， 3 2 f x 故 f x的值域为 3 , 2 （2）由（1）知， 3 2 m ， 22 3 2 ab，则 22 1 2 2 ab， 所以 22 2222 22 12111111 11 2122 22 ab abaa bb 2 2 2 2 1 11 2 2222 1 22 2 b a a b ， 当且仅当 2 2 2 2 1 2 1 2 b a a b ，即 2 1a ， 2 1 2 b 时，等号成立， 故 22 12 21ab 的最小值为 2 【评分细则】 【1】第（1）问中，未写“综上， 3 2 f x ”，直接得出“ f x的值域为 3 , 2 ”，不扣分 【2】第（2）问未写取等条件，直接得出“ 22 12 21ab 的最小值为 2”扣 1 分