安徽省“皖豫名校联盟体”2021届高三上学期第二次联考数学（理）试题（Word版含答案）.docx

1、 “皖豫名校联盟体”“皖豫名校联盟体”2021 届高中毕业班第二次考试届高中毕业班第二次考试 理科数学理科数学 考生注意：考生注意： 1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上并将考生号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：一、选择题： 1已知集合 2 10Ax x ， 2 1Bx x ，则AB（ ） A0,1 B0,1 C1,1 D1,2 2已知复数z满足i2z

2、，则z的最小值为（ ） A1 B2 C3 D4 3已知向量,0ABm，2,2BC ， ABACBC，则m的值为（ ） A1 B2 C3 D4 4 某校高三学生小李每天早晨 7 点下课后， 从教室到学校餐吃早餐， 步行 4 分钟， 打饭所需时间Z（单位： 分钟）服从正态分布5,1N，吃饭需要 15 分钟，而后步行 4 分钟返回教室已知学校要求学生 7：30 开 始在教室内上自习，则小李上自习不迟到的概率约为（保留至小数点后四位小数） 参考数据：若随机变量 2 ,ZN ，则0.6827PZ ，22PZ 0.9545，330.9973PZ A0.1657 B0.8344 C0.9773 D0.998

3、7 5在平面四边形ABCD中，1CD，ACBD，CDB（为锐角） ，45ACB，3sin cos3，则BC （ ） A1 B 3 2 C 2 2 D 1 2 6过三点1,3A，4,2B，1, 7C的圆与圆 22 16xy的相交弦所在直线的方程为（ ） A220 xy B20 xy C20 xy D220 xy 7某日化用品厂家研发了一种新的牙膏产品，该产品的成本由生产成本和销售成本组成每批产品的销售 成本y（元）与生产该产品的数x（千件）满足指数函数模型3.47 10mxy ，已知每件产品的生产成本为 10 元， 生产 12 千件该产品时， 总成本为 123470 元 若销售成本增加1 倍，

4、则生产该产品的数量增加了 （ ） 千件 （lg20.3） A1.2 B1.1 C0.9 D0.3 8已知抛物线C： 2 8yx的焦点为F，点P在C上且P在准线上的投影为Q，直线QF交C于点D， 且2QDDF，则PFQ的面积为（ ） A4 B4 3 C8 3 D16 3 9已知函数2 coscos2yxx在0,a上单调递减，则实数a的最大值为（ ） A 4 B 3 C 2 D 10 已知双曲线 1 C： 22 22 10,0 xy ab ab ， 若存在斜率为 1 的直线与 1 C的左、 右两支分别交于点P， Q，且线段PQ的中点在圆 2 C： 2 2 4 2 5 xy上，则 1 C的离心率的最

5、小值为（ ） A2 B3 C2 D5 11某几何体的三视图如图所示，图中两个M点为直观图中的一个点M，两个点N也为直观图中的同一 个点N，且分别为所在棱的中点，则在此几何体表面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ） 正视图 侧视图 俯视图 A 73 2 B 72 3 2 C 13 2 D 3 1 2 12 已知函数 2 48 ,0,2 , 48,2, xx x g x xx 2f xkxg x在0 ，上有 3 个不同的零点， 则实 数k的取值范围是（ ） A 4 28, B 4 28,11, C 4 28,4 D 4 28,11,4 二、填空题二、填空题 13已知x，y满足约束条件 0,

6、 240, 40, xy xy xy 则52zxy的最大值为_ 14高二足球队教练分六个项目对本队全体队员进行了测试，小华同学将自己的成绩与全体队员的平均分 绘制成雷达图如图，若从中任选 3 个项目，则至少有两项小华的成绩高于该队平均分的选法有_种 15费马点是指到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于 120时，费马点在三角形 内，且费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点对三角形三边的张角相等，均为 120已知ABC的三个内角均小于 120，P为ABC的费马点，且3PAPBPC，则ABC 面积的最大值为_ 16把圆心角为 90 的扇形铁片围成一个侧面积为 2

7、16 m的圆锥（接缝处忽略不计） ，该圆锥竖直倒置后放 入一个球，该球恰好与圆锥的侧面上边缘相切，则球心到圆锥顶点的距离为_m 三、解答题三、解答题： 17已知数列 n a的前n项和1 2 nn Sa ，在等差数列 n b中， 1 20b ， 359 bbb （）求 n a的通项公式； （）求数列 n n b a 中项的最大值 18 如图所示， 在四棱锥SABCD中， 平面SAB底面ABCD90ABC，60ACD，ACAD， 2SA，3AB ，1BC 设平面SCD与平面SAB的交线为l，E为SD的中点 （）求证：/l平面ACE； （）当四棱锥SABCD的体积最大时，求平面ABCD与平面ACE所

8、成锐二面角的余弦值 19某网站的调查显示，健身操类、跑步类、拉伸运动类等健身项目在大众健康项目中是比较火热的，但 是大多数人的健身科学类知识相对缺乏，尤其是在健身指导方面从某健身房随机抽取 200 名会员，对其 平均每天健身时间进行调查，如下表，健身之前他们的体重情况如柱状图（1）所示，该健身房的教练为他 们制订了健身计划，四个月后他们的体重情况如柱状图（2）所示 平均每天健身时间（分钟） 30,40 40,50 50,60 60,70 70,80 80,90 人数 20 36 44 50 40 10 柱状图（1） 柱状图（2） （）若这 200 名会员的平均体重减少不低于5 kg，就认为该计

9、划有效，根据上述柱状图，试问：该计划 是否又效？（每组数据用该组区间的中点值作代表） （）请根据图中数椐填写下面的2 2列联表，试问：是否有 99%的把握认为平均每天健身时间与会员健 身前的体重有关？ 平均每天健身时间低 于 60 分钟 平均每天健身时间不 低于 60 分钟 合计 健身前体重低于100 kg 健身前体重不低于100 kg 80 合计 200 （）以这 200 名会员平均每天健身时间的频率，代替该健身房 1 名会员平均每天健身时间发生的概率， 若在该健身房随机调查 12 名会员，则其中平均每天的健身时间不低于 70 分钟的人数最有可能（即概率最 大）是多少? 参考公式： 2 2

10、n adbc K abcdacbd ，其中na b cd 参考数据： 2 0 P Kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，M为椭圆C上一点，且 12 60FMF， 12 FMF的面积为 3 3 ，过 2 F，且与长轴垂直的弦的长为2 （）求椭圆C的方程 （）在x轴上是否存在点,0P m，使得过点P的直线交椭圆C于G，H两点，且满足 22 GPHP 2 3 GPHP恒成立？若存在，求 2 m

11、的值；若不存在，说明理由 21设函数 2 2exF xx （）若 F x的图象的一条切线l在y轴上的截距为 1，求切线l的方程； （II）求函数 2 lnf xxF x的极值点个数 （二）选考题二）选考题： 22选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是 1 2cos , y1 sin x （为参数） ，以坐标原点O为极点，x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 cos2 4 （）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （）设曲线C的对称中心为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求PAB的面积 23选修 45：不等式选讲 已知实数a，b，c满足0a

12、，0b，0c （）若1abc，求证：abcabbcac； （）若1ab ，11ab的最小值为m，求不等式11xxm 的解集 “皖豫名校联盟体”“皖豫名校联盟体”2021 届高中毕业班第二次考试届高中毕业班第二次考试 理科数学答案理科数学答案 、选择题、选择题 1B 2A 3B 4C 5C 6A 7A 8D 9C 10B 11B 12D 二、填空题二、填空题 1314 1410 15 3 3 4 16 32 15 15 三、解答题三、解答题 17解析解析（）因为1 2 nn Sa ，所以0 n a 当2n时， 11 1 2 nn Sa ， 两式相减，得 11 1 21 222 nnnnn aaa

13、aa ， 即 1 22 nn aan ， 所以 n a是等比数列，公比2q ， 当1n 时， 111 1 2Saa ，即 1 1a ， 所以 1 2n n a （）设 n b的公差为d， 则 1 111 20, 248 , b bdbdbd 解之得2d ，所以222 n bn 所以 1 222 2 n n n bn a 设 1 222 2 n n n c ， 则 1 121 2221222262 222 nn nnn nnn cc 因为当13n 时， 1nn cc ，当13n 时， 1nn cc ，当13n时， 1nn cc ， 所以当12n或 13 时 n c最大，即 n n b a 最大，

14、最大值为 10 11 21024 18解析（）在RtABC中，因为1BC ，3AB ， 所以 13 tan 33 BAC，2AC ， 所以30BAC 在ABC中，因为ACAD，60ACD，所以ACD为等边三角形， 所以2CD，60CAD，所以90BAD， 又90ABC，所以/BC AD 如图，延长AB和DC交于点F，连接SF，因为FAB，AB 平面SAB，所以F 平面SAB 同理可得F 平面SCD 所以SF所在直线即为直线l 因为 1 2 BCFC ADFD ，所以C为DF的中点，所以在SDF中，/l CE 因为l不在平面ACE内，CE平面ACE，所以/l平面ACE （）过S向AB作垂线，垂足

15、为P，因为平面SAB底面ABCD，所以SP底面ABCD 因为梯形ABCD的面积和SA的长为定值，所以当点P与A重合，即SA底面ABCD时，四棱锥 SABCD的体积最大 当点P与A重合时，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐 标系，如图， 可得0,0,0A， 3,1,0C，0,0,2S，0,1,1E， 0,1,1AE ，3,1,0AC 设平面ACE的一个法向量为, ,nx y z， 由 0, 30, n AEyz n ACxy 取3z ，得 1,3, 3n ， 由题意，平面ABCD的一个法向量为0,0,2AS ， 则 2 321 cos, 772 n AS

16、n AS nAS 所以平面ABCD与平面ACE所成锐二面角的余弦值为 21 7 19解析解析（）柱状图（1）中的体重平均值为95 0.3 105 0.5 115 0.2104 kg 柱状图（2）中的体重平均值为85 0.1 95 0.4 105 0.599 kg 因为104 995，所以该计划有效 （）2 2列联表如下： 平均每天健身时间低 于 60 分钟 平均每天健身时间不 低于 60 分钟 合计 健身前体重低于100 kg 40 20 40 健身前体重不低于100 kg 60 80 140 合计 100 100 200 2 K的观测值为 2 200 40 8020 60 9.5246.63

17、5 100 100 60 140 k 所以有 99%的把握认为平均每天健身时间与会员健身前的体重有关 （）由题意可知，该健身房每名会员平均每天的健身时间不低于 70 分钟的概率为 501 2004 设抽取的 12 人中平均每天的健身时间不低于 70 分钟的人数为X，则 1 12, 4 XB ， 12 12 13 44 kk k P XkC ，0k ，1，2，12 得 1 1 P XkP Xk P XkP Xk ， ， 得 12111 1 1212 12113 1 1212 1313 4444 1313 4444 kkkk kk kkkk kk CC CC ， ， 化简得 913 44 k，又k

18、，所以3k ， 即 12 名会员中平均每天的健身时间不低于 70 分钟的人数最有可能是 3 人 20解析解析（）设 11 MFr， 22 MFr，则 12 2rra， 在 12 MFF中， 1 2 13 sin60 23 Srr ，即 1 2 4 3 rr ， 由余弦定理得 222 121 2 2cos604rrrrc ，即 2 2 121 2 34rrrrc， 将代入得 22 1ac，所以 2 1b 又 2 2 2 b a ，解得2a 所以椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y （）由条件可得 22 11 3 GPHP 恒成立 当直线GH的斜率为零时，点C，H为椭圆长轴的端点， 则 22 2

19、2222 2 22 1111 3 2 22 mm GPHP m mm ， 解得 2 2 3 m 或 2 4m 当直线GH不与x轴重合时，设直线GH的方程为xtym， 11 ,G x y， 22 ,H x y， 联立 2 2 , 1, 2 xtym x y 消去x得 222 2220tymtym， 由0 ，得 22 2mt， 由根与系数的关系得 12 2 2 2 mt yy t ， 2 12 2 2 2 m yy t 所以 2 22 1212 12 22 2222222222 121212 21111 1111 yyy yyy tytyty yty yGPHP 2 2 22 2 2 2 2 22

20、 2 22 3 2 1 2 mtm tt m t t 所以 222 22 32420mmm tt， 所以 2 2 3 m 综上可得存在满足条件的点P，且 2 2 3 m 21解析解析（）由题可知 2 2 exFx 设切点坐标为 0 2 00 ,2exxx ，则 0 2 0 2 exF x ， 则切线方程为 00 22 00 2e2e xx yxxx ， 故切线l在y轴上的截距为 0 2 0 e11 x x ，即 0 2 0 1 e 1 x x ， 在同一坐标系中画出 2 exy 和 1 1 y x 的图象，可得 0 2x ，所以切线l的方程为1yx （）由题可知 2 2 ln2exf xxx

21、， 则 2 2 lnexxxx fx x ，其中0 x 设 2 2 lnexg xxxx ，则 2 12exxx gx x ， 设 2 2exh xx ，则 2 1 exh xx ， 因为 0h x，所以 h x在0,上单调递减， 因为 020h， 20h， 所以当0,2x时， 0h x ，此时 0g x， g x在0,2上单调递增， 当2,x时， 0h x ，此时 0g x， g x在2,上单调递减， 所以 g x在0,上的最大值为 22ln220g 因为 1 2 e 111 21e0 eee g ， g x在0,2上单调递增， 20g， 所以 1 1 ,2 e x ，使得 1 0g x，

22、当 1 0,xx时， 0g x ，所以 0fx， f x在 1 0,x上单调递减， 当 1,2 xx时， 0g x ，所以 0fx， f x在 1,2 x上单调递增， 所以 f x在 1 xx处取得极小值 因为 22 42ln4 8 4e2 2 8 4 20g ， g x在2,上单调递减， 20g， 所以 2 2,4x，使得 2 0g x， 当 2 2,xx时， 0g x ，所以 0fx， f x在 2 2,x上单调递增， 当 2, xx时， 0g x ，所以 0fx， f x在 2, x 上单调递减， 所以 f x在 2 xx处取得极大值 故函数 2 lnf xxF x有两个极值点 22解析

23、解析（）曲线C的参数方程变形得 1 cos , 2 1sin, x y 平方后相加得普通方程为 2 2 1 11 4 x y cos2 4 ，即cossin2， 将cosx，siny代入即可得到直线l的直角坐标方程为2xy （）设 11 ,A x y， 22 ,B x y，联立 2 2 1 11, 4 2, x y xy 可得 2 526330 xx，解得 1 3x ， 2 11 5 x ， 所以 12 4 2 2 5 ABxx 又因为对称中心1,1P到直线l的距离为 2 2 2 d ， 所以PAB的面积为 114 24 2 2255 AB d 23解析解析（）由基本不等式可知 2 22abbcab cb， 2 22abaca bca， 2 22bcacabcc， 相加得abcabbcac，当且仅当abc时等号成立 （）因为12aa，12bb， 相乘得1144abab，当且仅当1ab时等号成立 故4m 若1x，则1124xxx ，所以12x； 若11x ，则1124xx 恒成立； 若1x，则1124xxx ，解得2x，所以21x 综上，不等式的解集为22xx