上海市黄浦区2021届高三一模数学卷及答案.doc

1、黄浦区黄浦区 20202020 学年度第一学期高三年级期终调研测试学年度第一学期高三年级期终调研测试 数学试卷数学试卷 (完卷时间：120 分钟 满分：150 分) 2021.1 考生注意： 1每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的 解答一律无效； 2答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚，并在规定的区域贴上条形码； 3本试卷共 21 道试题，满分 150 分；考试时间 120 分钟 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 1212 题，满分题，满分 5454 分）考生应在答题纸相应编号的空格内分）考生应在答题纸相应编号的空格内 直接填写

2、结果，每个空格填对前直接填写结果，每个空格填对前 6 6 题得题得 4 4 分、后分、后 6 6 题得题得 5 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分. . 1.已知集合 2 ,(R)Ax xx，若1A，则x 2.已知函数 1 ( )lg 1 x f x x ，则该函数的定义域是 3.已知 1 sin() 3 ，则cos()_ 2 4.已知幂函数( )yf x的图像过点( , ) 1 4 2 ，则( )_f x 5.已知x是2和8的等差中项， 2 y是32和8的等比中项，则 22 xy 6.已知直线l过点( 2,1)P ，直线l的一个方向向量是( 3,2)d ，则直线l的点方向式方 程是 7

3、.某圆锥体的底面圆的半径长为2，其侧面展开图是圆心角为 2 3 p的扇形，则该圆锥体的 体积是 8.已知 9 1 ()x x 的二项展开式中的常数项的值是a， 若3 i6 i 7 2 3 iza (其中i是虚 数单位)，则复数z的模|z (结果用数值表示) 9.若关于xy、的二元一次线性方程组 111 222 ,a xb yc a xb yc 的增广矩阵是 13 02 m n ，且 1, 1 x y 是该线性方程组的解，则三阶行列式 101 03 21 m n 中第 3 行第 2 列的元素的代数余子式的值 是 10.某高级中学欲从本校的 7 位古诗词爱好者(其中男生 2 人、女生 5 人)中随

4、机选取 3 名同 学作为学校诗词朗读比赛的主持人 若要求主持人中至少有一位是男同学， 则不同选取方法 的种数是 (结果用数值表示) 11.已知平面向量 a b、满足| 5,| 1,3aba b，向量(1)cab(R)，且 对任意R，总有| 2 5cka成立，则实数k的取值范围是 12.已知Rab、， 函数 22 ( )|(R)f xxaxbxaxbx ， 若函数( )f x的最小值 为 2 2b，则实数b的取值范围是 二、选择题（本大题满分二、选择题（本大题满分 2020 分）本大题共有分）本大题共有 4 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在题，每题有且只有一个正确答案，考生应在 答题卷

5、的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分 13.已知abl、 、是空间中的三条直线，其中直线ab、在平面上，则“la且lb ” 是“l 平面”的 答( ) (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)非充分非必要条件 14.为了得到函数sincos ()yxx x3R=-?的图像，可以将函数sin ()yx x2R=?的图 像 答( ). (A)向右平移 6 p 个单位 (B)向左平移 3 p 个单位 (C)向右平移 3 p 个单位 (D)向左平移 6 p 个单位 15.某

6、企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌， 铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形 OAD挖去扇形OBC后构成)已知10, (010)OAOBxx米米，线段BACD、线段、 弧BC、弧AD的长度之和为30米，圆心角为弧度，则关于 x的函数解析式是 答( ) (A) 210 10 x x (B) 10 210 x x (C) 10 10 x x (D) 10 210 x x 16.已知Rk，函数 22 ( ) |4|f xxxkx的定义域为R，若函数( )f x在区间(0,4)上 有两个不同的零点，则k的取值范围是 答( ) (A) 72k (B)7k 或2k (C)70k (D)20k 三、解答题

7、（本大题满分三、解答题（本大题满分 7676 分）本大题共有分）本大题共有 5 5 题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号 规定区域内写出必要的步骤规定区域内写出必要的步骤 1717. .（本题满分（本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分分 已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 4，点E是侧面 11 CDDC的中心. (1) 联结 1 AD，求三棱锥 11 ADED的体积 11 ADED V 的数值； (2) 求异面直线 1

8、 AE与AD所成角的大小(结果用反三角函数值表示). 1818. .（本题满分（本题满分 1 14 4 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分分 在ABC中 ， 内 角ABC、 、所 对 的 边 分 别 为abc、 、， 若A为 钝 角 ， 且 2 sin20aBb. (1) 求角A的大小； (2) 记Bx，求函数( )coscos() 3 f xxx 的值域. 1919. .（本题满分（本题满分 1414 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 6

9、6 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 8 8 分分 已知实数ab、是常数，函数 2 ( )( 11)( 1)f xxxaxb. (1) 求函数( )f x的定义域，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2) 若3,1ab ， 设11txx， 记t的取值组成的集合为D， 则函数( )f x 的值域与函数 32 1 ( )(3 ) 2 g ttt(tD)的值域相同. 试解决下列问题： (i)求集合D； (ii)研究函数 32 1 ( )(3 ) 2 g ttt在定义域D上是否具有单调性？若有， 请用函数单调性 定义加以证明；若没有，请说明理由.并利用你的研究结果进一步求出函数( )f x的最小值

10、. A B C 1 C 1 D 1 A E D 1 B 2020. .（本题（本题满分满分 1 16 6 分）本题共有分）本题共有 2 2 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 3 3 小题满分小题满分 6 6 分分 定义：已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab ，把圆 22 22 22 a b xy ab 称为该椭圆的协同圆. 设椭圆 22 :1 42 xy C的协同圆为圆O(O为坐标系原点)，试解决下列问题： (1) 写出协同圆圆O的方程； (2) 设直线l是圆O的任意一条切线，且交椭圆C于AB、两点

11、，求OA OB的值； (3) 设MN、是椭圆C上的两个动点，且OMON，过点O作OHMN，交直线 MN于H点，求证：点H总在某个定圆上，并写出该定圆的方程. 2121. .（本题满分（本题满分 1 18 8 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小题满分小题满分 6 6 分，第分，第 3 3 小题满分小题满分 8 8 分分 已知函数( )yf x的定义域为R，数列 * (N ) n an满足 21 aa， 1 () nn af a ， * 11 ()()()(2,N ) nnnn f akf at akann (实数kt

12、、是非零常数). (1) 若1k ，且数列 * (N ) n an是等差数列，求实数t的值； (2) 若 21 0aka ，数列 * (N ) n bn满足 * 1 (N ) nnn baka n ，求通项公式 n b； (3) 若11kt，数列 * (N ) n an是等比数列，且 1 (0,R)aa aa， 21 aa， 试证明：( )f at a . 黄浦区黄浦区 2020 学年度第一学期高三年级期终调研测试学年度第一学期高三年级期终调研测试 数学试卷数学试卷参考答案和评分标准参考答案和评分标准 2021.1 说明：说明： 1本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参

13、考解答中的 评分精神进行评分 2评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的 评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题 的内容和难度时， 可视影响程度决定后面部分的给分， 这时原则上不应超过后面部分应给分 数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分 一、一、填空题填空题. 11 2( 1,1) 3 1 3 4 1 2 x 55 6 (2)1 32 xy 7 8 3 85 94 1025 116k 或4k 1201k 二、选择题二、选择题 13( )B 14( )C 15( )A 16( )A 三、解答题三、解答题 17 （本题

14、满分 （本题满分 14 分）本题共有分）本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分 解 (1) 正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 4，点E是侧面 11 CDDC的中心， 11 AD 平面 11 DCC D， 111 1 4 4 DEDDCC D SS 正方形 . 111 11 1116 4 4 333 ADEDDED VSAD . (2) 1111 ABCDABC D是正方体， AD 11 AD， 11 AD 平面 11 DCC D. 11 EAD就是异面直线 1 AE与AD所成的角(或补角) ， 111 ADD E.

15、 22 11 11 442 2 22 D EDC. 1 11 11 2 tan 2 D E EAD AD ，即 11 2 arctan 2 EAD. 所以，所求异面直线AE 1 与AD所成的角的大小是 2 arctan 2 . 18 （本题满分 （本题满分 14 分）本题共有分）本题共有 2 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分 解 (1)ABC的内角ABC、 、所对的边分别为abc、 、，2 sin20aBb， 根据正弦定理：2 sinsinsin abc R ABC ， 2s i n20aBb可化为2 2 sinsin2 2 sin0

16、(0,sin0)RABRBBB 2 sin 2 A . A为钝角，即 2 A ， 3 4 A. (2)Bx，ABC， 3 44 Cxx ，且0 4 x . ( )c o sc o s () 3 fxxx 13 coscossin 22 xxx 3sin() 3 x . 又0 4 x ，可得 1263 x . 考察函数sinyx的图像，可知 3 sinsin() 1232 x . 因此， 3 3sin3sin() 1232 x . 所以函数( )f x的值域是 3 ( 3sin, ) 12 2 . (写成 62 3 (, ) 42 也可以) 19 （本题满分（本题满分 14 分）本题共有分）本题

17、共有 2 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分 (1)实数ab、是常数，函数 2 ( )( 11)( 1)f xxxaxb ， 由 2 10, 10, 10. x x x 解得11x . 函数的定义域是 1,1. 对于任意 1,1x ，有 1,1x ，且 2 ()(1()1() (1()fxxxaxb 2 ( 11)( 1)( )xxaxbf x ， 即()( )fxf x对 1,1x 都成立. (又( )f x不恒为零) 所以，函数( )f x是偶函数.(该函数是偶函数不是奇函数也可以) (2) 3,1ab ， 2 ( )( 113)(

18、 11)f xxxx . 设 11txx (11x )，则 22 22 1tx . 2 011x， 2 24(0)tt，即22t . 2 , 2 D. 于是， 32 1 ( )(3 ) 2 g ttt的定义域为 2,2D . 对于任意的 12 ttD、，且 12 tt，有 3232 121122 1 ( )( )3(3 ) 2 g tg ttttt 22 1211 221212 1 ()()3()() 2 tttt tttttt 22 1211221 211 22 111 ()(2 )(2 )()() 222 ttttttt ttt tt 1211221221 111 () (2)(2)(2)

19、(2) 222 ttt tt tt tt t. 又 1212 0,0,0tttt，且 12 20, 20tt(这里二者的等号不能同时成立)， 1211221221 111 () (2)(2)(2)(2)0 222 ttt tt tt tt t，即 1212 ( )()0,( )()g tg tg tg t. 函数( )g t在D上是减函数. 32 min 1 ( ( )(2)(23 2 )2 2 g tg . 又函数( )f x的值域与函数 32 1 ( )(3 ) 2 g ttt的值域相同， 函数( )f x的最小值为2. 20 （本题满分 （本题满分 16 分）本题共有分）本题共有 3 个

20、小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分分，第第 3 小题满分小题满分 6 分分 解 (1)由椭圆 22 :1 42 xy C，可知 22 4,2ab.根据协同圆的定义，可得该椭圆的协同 圆为圆 22 4 : 3 O xy. (2) 设点 1122 ( ,)(,)A x yB xy、，则 1212 OA OBx xy y.因为直线l为圆O的切线，故 分直线l的斜率存在和不存在两种情况加以讨论： 当直线l的斜率不存在时，直线 2 : 3 l x . 若 2 : 3 l x ，由 22 1, 42 2 . 3 xy x 可解得 2 , 3 2 . 3

21、 x y 此时， 1212 44 0 33 OA OBx xy y. 当 2 : 3 l x 时，同理可得：0OA OB. 当直线l的斜率存在时，设: l ykxt. 由 22 1, 42 . xy ykxt 得 222 (1 2)4240kxktxt. 于是， 12 2 2 12 2 4 , 12 24 . 12 kt xx k t x x k 进一步算得 1212 ()()y ykxt kxt 22 22 1212 2 4 () 1 2 tk k x xkt xxt k . 又由于直线l是圆O的切线，故 2 |00|2 3 1 kt k ，可算得 22 344tk. 所以， 22222 1

22、212 222 244344 0 1 21 21 2 ttktk x xy y kkk ，即0OA OB. 综上，总有0OA OB. 证明 (3)MN、是椭圆C上的两个动点，且OMON. 设 1122 ( ,)(,)M x yN xy、，则 1212 0 x xy y 下面分直线OMON、中有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况 加以讨论. 若直线ON的斜率不存在，即点N在y轴上，则点M在x轴上，有 22 12 4,2xy 由 11 | | | 22 OMN SOMONOHMN ，可解得 2 | 3 OH 若直线OMON、的斜率都存在，设 1 :OM yk x，则 1 1 :ON

23、yx k 由 22 1 1, 42 . xy yk x 得 2 1 2 2 2 1 1 2 4 , 12 4 . 12 x k k y k 可算得 2 1 2 1 1 | 2 1 2 k OM k 同理可得 2 1 2 1 1 | 2 2 k ON k 于是， 22 22 1 22 11 3(1) |2 (1 2)(2) k MNOMON kk 由 11 | | | 22 OMN SOMONOHMN ，可解得 2 | 3 OH 因此，总有 2 | 3 OH ，即点H在圆心为坐标系原点，半径为 2 3 的圆上 所以该定圆的方程为圆 22 4 3 xy. 21 （本题满分 （本题满分 18 分）本

24、题共有分）本题共有 3 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分分，第第 3 小题满分小题满分 8 分分 解 数列 * (N ) n an满足 21 aa， 1 () nn af a ， * 11 ()()()(2,N ) nnnn f akf at akann ， * 11 ()(2,N ) nnnn akat akann (1)数列 * (N ) n an是等差数列， 21 aa，1k ， 记公差为d，则公差0d 11 () nnnn aat aa ，即dtd. 1t (2) 21 0aka ，数列 * (N ) n bn满足 * 1 (N

25、 ) nnn baka n ， 121 0baka ， * 1( 2,N ) nn btbnn 数列 * (N ) n bn是首项为 1 b，公比为t的等比数列 1* 21 ()(N ) n n baka tn 证明(3)11kt， 21 aa， * 11 ()(2,N ) nnnn aat aann 根据(2)，可知当1k 时， 1* 21 ()(N ) n n baa tn 112211 ()()() nnnnn aaaaaaaa 1211nn bbba 1 1(1 ) 1 n bt a t (利用累加法也可以求出 n a) 1 1* 22 ()(1)() (N ) 111 n n n aataaaa aaatn ttt 数列 * (N ) n an是等比数列， 2 () 0 1 aa a t ，解得 2 ata(利用 2 213 aa a也可以) 又 21 ( )( )af af a， ( )f ata.