江苏省扬州市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题及答案.pdf

1、20192020 学年度第一学期期末检测试题学年度第一学期期末检测试题 高高 二二 数数 学学 20201 （全卷满分（全卷满分 150150 分，考试时间分，考试时间 120120 分钟）分钟） 参考公式： 棱锥的体积 1 3 VSh=，其中S为底面积，h为高 一、选择题（本题共一、选择题（本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的）合题目要求的） 1.抛物线 2 8yx=的准线方程是 （ ） A2x = B4x = C2y = D4y = 2.如果0,0ab， 则

2、下列不等式中正确的是 （ ） A 22 ab B 22 aba b Cab 3.已知命题:p双曲线C的方程为 2 2 1 4 y x =，命题:q双曲线C的渐近线方程为2yx= ， 则p是q的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 4. 已知23a =+，23b =， 则a b,的等比中项为 （ ） A. 2 B. 1 C. 1 D. 1 5.不等式 1 0 2 x x + 的解集为 （ ） A(2,1 B2,1 C().21, + D(), 21, + 6.已知等差数列 n a的公差为 2， 若 134 ,a a a成等比数列， 则 1 a等于 (

3、) A4 B6 C8 D10 7.空间向量(1,0, 1)AB = uuu r ， 平面的一个法向量(0,1,1)n = r ， 则直线AB与平面所成角为 （ ） A 6 B 3 C 6 或 5 6 D 3 或 2 3 8.如果关于x的不等式 2 0axbxc+的解集为( 1,2),则关于x的不等式 2 0bxaxc的 解集为 （ ） A( 1,2) B. (, 1)(2,) + C. (, 2)(1,) + D. ( 2,1) 9.已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 若 37 44aa= =， 则 （ ） A 46 SS B 45 SS= C 65 SS，0y ，228+=xyxy，

4、则2 +xy的最小值是 （ ） A3 B2 C 3 2 2 D4 12. 已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab =的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，以 12 FF为直径的圆与一条 渐近线交于点P（P在第一象限） ， 1 PF交双曲线左支于Q，若 1 2QFPQ = uuu ruuu r ，则双曲线的离心率 为 （ ） A 101 2 + B10 C 51 2 + D 5 二、填空题（本题共二、填空题（本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13.命题“xR ，2x”的否定是 14.已知数列 n a满足 * +1 11 1() n

5、n nN aa = , 1=1 a,记 +1nnn ba a=，则数列 n b的前 10 项和 为 15.已知P点是椭圆 2 2 1 4 x y+=上的动点，Q点是圆 22 (2)1xy+=上的动点，则线段PQ长度 的最大值为 16.若关于x的不等式 2 (2)(410)4120axaxa+的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范 围是 三、解答题三、解答题（本大题共本大题共 6 小题，计小题，计 70 分分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 10 分） 已知命题p：对任意(0,)x+，不等式 1 ax x +都成立，

6、命题q：方程 22 1 2 xy amam += 表示焦点在x轴上的双曲线. （1）若命题p是真命题，求实数a的取值范围； （2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 18.（本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S，且 * 1+1 =1,21() nn aaSnN=+，等差数列 n b满足 3 9b =， 15 272bb+= （1）求数列, nn ab的通项公式； （2）设数列 n c的前n项和为 n T，且 nnn cab=，求 n T 19.（本小题满分 12 分） 在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱） 1111 ABCDABC D中， 11 ABAB

7、O=I， 111 2,AAABABABBC= （1）求直线 1 BB与平面 1 ABC所成的角； （2）若 1 2,1ACBC=，求三棱锥 11 CABC的体积 20.（本小题满分 12 分） 如图， 直三棱柱 111 ABCABC中， 1 2ABBCCAAA=， 点O为AB中点， 点D为 1 AA中点 （1）求平面ABC与平面 1 BCD所成锐二面角的大小； （2） 已知点E满足(01)AEAC= uuu ruuu r ， 当异面直线DE与 1 CB所成角最小时，求实数的值 21.（本小题满分 12 分） 已知抛物线C的方程为 2 2(0)ypx p=，直线 1: lykxm=+与抛物线C相

8、切于点(6,6) （1）求p、k、m的值； （2）已知动直线 21 ll，且 2 l与抛物线C交于两个不同点,A B，问抛物线上是否存在定点P（异 于,A B） ，使得直线,PA PB的倾斜角互补，若存在，求出P点坐标，若不存在，说明理由 22.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab +=的离心率为 3 2 ，两条准线之间的距离为 8 3 3 ， 过(1,0)M的直线l交椭圆于,A B两点 （1）求椭圆C的方程； （2）若OAOB，且直线l与x轴不垂直，求直线l的斜率； （3）设N为直线4x =上任意一点，记直线,AN MN BN的斜率分别为 123 ,

9、k k k， 判断 123 ,k k k是 否成等差数列，并给出理由 高二数学参考答案第 1 页（共 4 页） 20192020 学年度第一学期期末检测试题学年度第一学期期末检测试题 高二数学高二数学 参考答案参考答案 20201 1、A 2、B 3、A 4、D 5、C 6、C 7、A 8、C 9、B 10、C 11、B 12、A 13、xR , 14、 10 11 15、 2 21 +1 3 16. 4 1 3 （， 17、解：因为对任意(0,)x，不等式 1 ax x 成立，所以 min 1 ax x 2 分 因为(0,)x，所以 11 22xx xx ，当且仅当1x 时取等号， 4 分

10、所以2a ； 5 分 因为方程 22 1 2 xy amam 表示焦点在x轴上的双曲线， 所以 0 20 am am ，即2mam， 7 分 因为p是q的必要不充分条件， 所以(2)2m m ,，且(2)2m m ,， 9 分 所以22m，即0m。 10 分 18、解：因为 +1 21 nn aS ，所以当2n时， 1 21 nn aS 由得 +1 2 nnn aaa，即 +1 3(2) nn aa n， 2 分 又当1n 时， 21 213aa ，所以 21 3aa， 因为 1 0a ,所以 +1 3,(1) n n a n a ,所以数列 n a是等比数列, 所以 11 1 33 nn n

11、 aa 5 分 注： 1 3n n a 结果对，但是没有验证 21 3aa的扣 2 分 由题意得 1 11 29 272(4 ) bd bbd ，解得 1 3 3 b d ，所以3 n bn； 8 分 1 333 nn nnn cabnn 1231 1 32 33 3(1) 33 nn n Tnn 2341 31 32 33 3(1) 33 nn n Tnn 得： 1231 21 31 31 31 33 nn n Tn 1 11 3 (1 3 )33 133 1 32 nn nn nn 2x 高二数学参考答案第 2 页（共 4 页） 所以 1 321 3 44 n n n T 12 分 19、

12、解：在平行六面体 1111 ABCDABC D中，四边形 11 A ABB是平行四边形， 又 1 AAAB，所以四边形 11 A ABB是菱形，所以 11 ABAB， 又因为, 1 ABBCB,平面 1 ABC,BC 平面 1 ABC 所以平面 1 ABC， 3 分 所以BO是 1 BB在平面 1 ABC上的射影， 4 分 所以 1 B BO即为所求角（或直线 1 BB与平面 1 ABC所成的角） 5 分 在菱形 11 A ABB中，则 1 3AOBO， 在 1 Rt B BO中， 1 1 1 3 sin 2 BO B BO BB ， 所以直线 1 BB与平面 1 ABC所成的角为60. 7

13、分 在 1 ABC中， 11 2,1,2ACBCAB，可求得 1 15 4 A BC S 9 分 在平行六面体 1111 ABCDABC D中，四边形 11 BCC B是平行四边形，所以 11/ BCBC， 所以 1 C到平面 1 ABC的距离即为 1 B到平面 1 ABC的距离，即高为 1 3BO 11 分 所以 11111 1 11155 3 3344 CA BCBA BCA BC VVSBO . 12 分 20.解：在直三棱柱 111 ABCABC中，ABBCCA， 取 11 AB中点 1 O，连 1 OO，则 11 /,OOAA ABOC， 又直三棱柱 111 ABCABC中， 1 A

14、A 平面ABC， 而,AB OC 平面ABC，所以 11 ,AAOC AAAB， 所以 11 ,OOOC OOAB。 以 1 ,OA OO OC为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz， 1 分 则 11 (1,0,0), ( 1,0,0), (0,0, 3),(1,2,0),( 1,2,0),(1,1,0)ABCABD 所以 1 (1,1,3),( 1,2,3)( 1,0, 3)CDCBAC ， 因为 1 AA 平面ABC，所以 1 (0,2,0)n 是平面ABC的一个法向量， 2 分 设 2 ( , , )nx y z是平面 1 BCD的法向量，则 1 30 230 n CDxyz

15、n CBxyz ，得2, 32xyyz， 不妨取2y ,则1,3xz,所以 2 (1,2, 3)n 是平面 1 BCD的一个法向量 4 分 1 ABBC 1 AB 1 AB 11 2AAABAB 1 A 1 B 1 C 高二数学参考答案第 3 页（共 4 页） 所以 12 12 12 42 cos, 2|28 n n n n nn ， 5 分 所以平面ABC与平面 1 BCD所成锐二面角的大小为 4 . 6 分 因为(,0, 3 ),(01)AEAC ,所以(, 1, 3 )DEDAAE ， 则 1 1 2 1 (1) cos, | 2 41 DE CB DE CB DE CB ， 8 分 设

16、异面直线DE与 1 CB所成角为，则 1 2 1 coscos, 2 41 DE CB ， 令1 1,2t ，则 2 2 1 cos 11 2 4(1)1 2 5( )8( )4 t t tt 10 分 当 14 5t 时，cos取得最大值， 因为cosy在(0,) 2 上递减，所以取得最小值，所以此时 1 4 . 12 分 21、解： （1）因为点(6,6)在抛物线上，所以3612p，解得3p ， 2 分 所以抛物线 C 的方程为 2 6yx，又点(6,6)在直线ykxm上，所以66km， 由 2 6 66 yx ykxk 得 2 636360kyyk， 因为直线与抛物线 C 相切，所以0

17、，解得 1 ,3 2 km 所以， 1 3,3 2 pkm 6 分 （2）方法 1：设 222 12 12 (,), (,), (, ) 666 yyn AyByPn，则 “,PA PB倾斜角互补”“0 PAPB kk” ， 即 12 2222 12 0 6666 ynyn yynn ，即 12 66 0 ynyn ，即 12 2yyn 9 分 又由2 AB k 得 12 22 12 2 66 yy yy ，即 12 6 2 yy ，即 12 3yy 所以23n ，即 3 2 n ，所以存在定点 3 3 ( , ) 8 2 P满足要求 12 分 高二数学参考答案第 4 页（共 4 页） 方法

18、2：设 2: 2lyxt ，设 222 12 12 (,), (,), (, ) 666 yyn AyByPn，则 “,PA PB倾斜角互补”“0 PAPB kk” ， 即 12 2222 12 0 6666 ynyn yynn ，即 12 66 0 ynyn ，即 12 2yyn 9 分 由 2 6 2 yx yxt 得 2+3 30yyt，所以 12 3yy 所以23n ，即 3 2 n ，所以存在定点 3 3 ( , ) 8 2 P满足要求 12 分 22、 （1）解：由题意得 2 3 2 4 3 3 c a a c ，解得 2 3 a c ，又 222 abc，所以1b 所以，椭圆的方

19、程为 2 2 1 4 x y； 3 分 （2）显然直线l的斜率存在,设(1)l yk x:,代入 2 2 1 4 x y得 2222 (41)8440kxk xk 设 1221 ( ,), (,)AyxyxB，则 2 1 2 21 2 2 2 844 , 4141 xxx kk k x k .5 分 因为OAOB，所以 =0OA OB ，即 1212 0 x xy y，即 22 1 2 212 (1)()0 xkkxxkx， 即 22 222 22 448 (1)0 4141 kk kkk kk ，解得2k 7 分 （3） 123 ,k k k成等差数列. 理由如下：设(4, )Nn， 当直线l与 x 轴垂直时，易得 132 2kkk； 8 分 当直线l与 x 轴不垂直时， 1212 13 1212 (1)(1) 4444 ynynk xnk xn kk xxxx 12 121212 +811 2 +(3)()2(3) 444(+) 16 xx kknkkn xxx xxx 10 分 22 2(3)() 33 n kkn 而 2 2 2 3 n k ，所以 132 2kkk，所以 123 ,k k k成等差数列. 综上得： 123 ,k k k成等差数列. 12 分