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1、 1 平面向量练习题平面向量练习题 1.已知已知 ABCD 的对角线的对角线 AC 和和 BD 相交于点相交于点 O，且，且OA a，OB b，则，则DC _， BC _.(用用 a，b 表示表示) 2.在四边形在四边形 ABCD 中，对角线中，对角线 AC 与与 BD 交于点交于点 O，若，若 2OA OC 2OD OB ，则四边，则四边 形形 ABCD 的形状为的形状为_. 3.对于非零向量对于非零向量 a，b，“a2b0”是是“ab”的的( ) A.充分不必要条件充分不必要条件 B.必要不充分条件必要不充分条件 C.充要条件充要条件 D.既不充分又不必要条件既不充分又不必要条件 4.设向

2、量设向量 a，b 不平行，向量不平行，向量 a1 4b 与 与ab 平行，则实数平行，则实数 _. 5.在在ABC 中，点中，点 E，F 满足满足AE 1 2AB ，CF 2FA ，若 ，若EF xAB yAC ，则，则 xy _. 6.给出下列命题：给出下列命题：若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若若 A，B，C，D 是不共线的四点，且是不共线的四点，且AB DC ，则，则 ABCD 为平行四边形；为平行四边形；ab 的充要条件是的充要条件是|a|b|且且 ab；已知已知 ， 为实数，若为实数，若 ab，则则 a 与与 b 共共 线线.其

3、中真命题的序号是其中真命题的序号是_. 7.判断下列四个命题：判断下列四个命题： 若若 ab，则，则 ab；若若|a|b|，则，则 ab；若若|a|b|，则，则 ab；若若 ab，则，则|a|b|.其中正确的个数是其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.设非零向量设非零向量 a，b 满足满足|ab|ab|，则，则( ) A.ab B.|a|b| C.ab D.|a|b| 9.在在ABC 中，中，AD 为为 BC 边上的中线，边上的中线，E 为为 AD 的中点，则的中点，则EB 等于等于( ) A.3 4AB 1 4AC B.1 4AB 3 4AC C.3 4AB 1 4AC

4、 D.1 4AB 3 4AC 10.在在ABC 中，中，BD DC ，AP 2PD ，BP AB AC ，则，则 等于等于( ) A.1 3 B. 1 3 C. 1 2 D. 1 2 11.如图所示，在正方形如图所示，在正方形 ABCD 中，中，E 为为 AB 的中点，的中点，F 为为 CE 的中点，则的中点，则AF 等于等于( ) A.3 4AB 1 4AD B.1 4AB 3 4AD C.1 2AB AD D.3 4AB 1 2AD 12.在平行四边形在平行四边形 ABCD 中，中，E，F 分别为边分别为边 BC，CD 的中点，若的中点，若AB xAE yAF (x，yR)，则，则 xy_

5、. 13.已知已知 O，A，B 是不共线的三点，且是不共线的三点，且OP mOA nOB (m，nR). (1)若若 mn1，求证：，求证：A，P，B 三点共线；三点共线； (2)若若 A，P，B 三点共线，求证：三点共线，求证：mn1. 14.设两个非零向量设两个非零向量 a 与与 b 不共线不共线.若若 kab 与与 akb 共线，共线，求求k的值的值. 15.如图所示，在如图所示，在ABC 中，点中，点 O 是是 BC 的中点，过点的中点，过点 O 的直线分别交的直线分别交 AB，AC 所在直线所在直线 于不同的两点于不同的两点 M，N，若，若AB mAM ，AC nAN ，求求 mn

6、的值的值. 2 参考答案参考答案 1.已知ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，且OA a，OB b，则DC ba，BC ab.(用 a，b 表示) 解析 如图，DC AB OB OA ba，BC OC OB OA OB ab. 2.在四边形ABCD中， 对角线 AC与 BD交于点 O， 若2OA OC 2OD OB ， 则四边形ABCD 的形状为梯形. 解析 2OA OC 2OD OB ，2(OA OD )OB OC ，即 2DA CB ，DA CB ，且|DA |1 2|CB |， 四边形 ABCD 是梯形. 3.对于非零向量 a，b，“a2b0”是“ab”的( A ) A.充

7、分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析 若 a2b0，则 a2b，所以 ab. 若 ab，则 a2b0 不一定成立， 故前者是后者的充分不必要条件. 4.设向量 a，b 不平行，向量 a1 4b 与ab 平行，则实数 -4 解析 a，b 不平行，ab0.又 a1 4b 与ab 平行. 存在实数 ，使 a1 4b(ab).根据平面向量基本定理得， 1， 1 4， 4. 5.在ABC 中，点 E，F 满足AE 1 2AB ，CF2FA，若EFxAByAC，则 xy _ 1 6_. 解析 依题意有EF EAAF1 2AB 1 3AC ，所以 x1 2，y 1

8、3，所以 xy 1 6. 6.给出下列命题： 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； 若 A，B，C，D 是不共线的四点，且AB DC ，则 ABCD 为平行四边形； ab 的充要条件是|a|b|且 ab； 已知 ， 为实数，若 ab，则 a 与 b 共线. 其中真命题的序号是_. 解析 错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点； 正确，因为AB DC ，所以|AB |DC |且AB DC ，又 A，B，C，D 是不共线的四点，所以四边形 ABCD 为平行四 边形； 错误，当 ab 且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到 ab，所以|a

9、|b|且 ab 不是 ab 的充要条件，而是 必要不充分条件； 错误，当 0 时，a 与 b 可以为任意向量，满足 ab，但 a 与 b 不一定共线.故填. 7.判断下列四个命题： 若 ab，则 ab；若|a|b|，则 ab；若|a|b|，则 ab；若 ab，则|a|b|.其中正确的个数是(A) 3 A.1 B.2 C.3 D.4 解析 只有正确. 8.设非零向量 a，b 满足|ab|ab|，则( A ) A.ab B.|a|b| C.ab D.|a|b| 解析 方法一 利用向量加法的平行四边形法则.在ABCD 中，设AB a，AD b， 由|ab|ab|知，|AC |DB |，从而四边形 A

10、BCD 为矩形，即 ABAD，故 ab. 方法二 |ab|ab|，|ab|2|ab|2.a2b22a ba2b22a b. a b0.ab. 9.在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则EB 等于( A ) A.3 4AB 1 4AC B.1 4AB 3 4AC C.3 4AB 1 4AC D.1 4AB 3 4AC 解析 作出示意图如图所示. EB ED DB 1 2AD 1 2CB 1 2 1 2(AB AC)1 2(AB AC)3 4AB 1 4AC . 10.在ABC 中，BD DC ，AP 2PD ，BP ABAC，则 等于( A ) A.1 3 B. 1

11、3 C. 1 2 D. 1 2 解析 因为BD DC ，AP 2PD ，所以AD 1 2AB 1 2AC 3 2AP ， 所以AP 1 3AB 1 3AC ，所以BPAPAB2 3AB 1 3AC ， 因为BP ABAC，所以 2 3， 1 3，所以 1 3.故选 A. 11.如图所示，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，F 为 CE 的中点，则AF 等于( D ) A.3 4AB 1 4AD B.1 4AB 3 4AD C.1 2AB AD D.3 4AB 1 2AD 解析 根据题意得，AF 1 2(AC AE)，又ACABAD ，AE 1 2AB ， 所以AF 1 2 AB AD

12、 1 2AB 3 4AB 1 2AD .故选 D. 12.在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别为边 BC，CD 的中点，若AB xAEyAF(x，yR)，则 xy2 解析 由题意得AE ABBEAB1 2AD ，AF AD DF AD 1 2AB ， 因为AB xAEyAF，所以AB xy 2 AB x 2y AD ，所以 xy 21， x 2y0， 解得 x4 3， y2 3， 所以 xy2. 13.已知 O，A，B 是不共线的三点，且OP mOA nOB (m，nR). (1)若 mn1，求证：A，P，B 三点共线； 4 (2)若 A，P，B 三点共线，求证：mn1. 证明 (1)若

13、mn1，则OP mOA (1m)OB OB m(OA OB )，OP OB m(OA OB )， 即BP mBA，BP与BA共线.又BP与BA有公共点 B，则 A，P，B 三点共线. (2)若 A，P，B 三点共线，则存在实数 ，使BP BA，OP OB (OA OB ).又OP mOA nOB . 故有 mOA (n1)OB OA OB ，即(m)OA (n1)OB 0.O，A，B 不共线，OA ，OB 不共线， m0， n10， mn1. 14.设两个非零向量 a 与 b 不共线.若 kab 与 akb 共线，则 k 1 解析 kab 与 akb 共线，则存在实数 ，使 kab(akb)，

14、 即(k)a(k1)b.又 a，b 是两个不共线的非零向量，kk10.消去 ，得 k210，k 1. 15.如图所示，在ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交 AB，AC 所在直线于不同的两点 M，N，若AB mAM ，AC nAN，则 mn 的值为( B ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 方法一 连接 AO，则AO 1 2(AB AC)m 2AM n 2AN ， 因为 M，O，N 三点共线，所以m 2 n 21，所以 mn2. 方法二 连接 AO(图略). 由于 O 为 BC 的中点，故AO 1 2(AB AC)，MO AO AM 1 2(AB AC)1 mAB 1 2 1 m AB 1 2 AC ， 同理，NO 1 2AB 1 2 1 n AC .由于向量MO ，NO 共线，故存在实数 使得MO NO ， 即 1 2 1 m AB 1 2AC 1 2AB 1 2 1 n AC .由于AB ，AC不共线，故得1 2 1 m 1 2 且 1 2 1 2 1 n ， 消掉 ，得(m2)(n2)mn，化简即得 mn2.