2019-2020学年北京交大附中高一下学期期末数学试题（解析版）.doc

1、第 1 页 共 15 页 2019-2020 学年北京交大附中高一下学期期末数学试题学年北京交大附中高一下学期期末数学试题 一、单选题一、单选题 1已知角已知角的终边经过点的终边经过点(3, 4) ，则，则cos的值为（的值为（ ） A 3 4 B 3 5 C 4 5 D 4 3 【答案】【答案】B 【解析】【解析】由条件利用任意角的三角函数的定义,求得cos的值 【详解】 解:角的终边经过点(3, 4), 3x , 4y ,=5r, 则 3 cos 5 x r ， 故选:B 【点睛】 本题考查已知终边上一点求三角函数值,属于基础题. 2已知向量已知向量,1at， 1,2b .若若a b，则实

2、数，则实数t的值为（的值为（ ） A2 B2 C 1 2 D 1 2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出t的值. 【详解】 解：向量1at ，1,2b ，若ab，则 20a bt ， 实数2t ， 故选：A. 【点睛】 本题考查向量垂直的求参，重在计算，属基础题. 3在在ABC中，若中，若 4 A ， 3 B ，2 3a ，则，则b（ ） A2 3 B3 2 C2 6 D3 3 【答案】【答案】B 第 2 页 共 15 页 【解析】【解析】直接利用正弦定理计算得到答案. 【详解】 根据正弦定理： sinsin ab AB ，故 2 3

3、sinsin 43 b ，解得 3 2b . 故选：B. 【点睛】 本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力. 4已知三条不同的直线已知三条不同的直线l，m，n和两个不同的平面 和两个不同的平面，下列四个命题中正确的，下列四个命题中正确的 为（为（ ） A若若/m，/n，则，则/m n B若若/l m，m ，则，则/l C若若/l，/ l，则 ，则/ D若若/l，l，则，则 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案. 【详解】 A. 若/m，/n，则/m n，或 ,m n相交，或,m n异面，A错误； B. 若/l m，m ，则/l或

4、l，B 错误； C. 若/l，/ l，则/ 或, 相交，C 错误； D. 若/l，l ，则，D 正确. 故选：D. 【点睛】 本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的推断能力和空间想象 能力. 5函数函数 ( )sin cosf xxx 的最小正周期为（的最小正周期为（ ） A1 B2 C D2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】化简得到 1 ( )sin2 2 f xx，利用周期公式得到答案. 【详解】 1 ( )sin cossin2 2 f xxxx，故周期 2 1 2 T . 第 3 页 共 15 页 故选：A. 【点睛】 本题考查了二倍角公式，三角函数周期，意在考

5、查学生对于三角函数知识的综合应用. 6已知已知 3 , 22 ，且，且tan 2 ，那么，那么sin（ ） A 3 3 B 6 3 C 6 3 D 3 3 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据 3 , 22 ，且tan 2 得 3 ( ,) 2 ，再根据同角三角函数关系 求解即可得答案. 【详解】 解：因为 3 (,) 22 ， sin tan20 cos ， 故 3 ( ,) 2 ， sin 2cos ， 又 22 sincos1， 解得： 6 sin 3 故选：B 【点睛】 本题考查同角三角函数关系求函数值，考查运算能力，是基础题. 7函数函数 1 ( )sincos 536 f xx

6、x 的最大值为（的最大值为（ ） A 6 5 B1 C 3 5 D 1 5 【答案】【答案】A 【解析】【解析】先利用诱导公式化简整理得 ( )f x 6 sin 53 x ，即得最大值. 【详解】 由诱导公式可得coscossin 6233 xxx ， 则 第 4 页 共 15 页 1 ( )sincos 536 f xxx 16 sinsinsin 53353 xxx ， 函数 ( )f x的最大值为 6 5 . 故选：A. 【点睛】 本题考查了诱导公式cossin 2 和三角函数最大值，属于基础题. 8已知直线已知直线a，b，平面，平面， ， b ，/a，a b rr ，那么，那么“a”

7、是是 “”的（的（ ） A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充分必要条件充分必要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据面面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理即可得到结论. 【详解】 若/a，则在平面内必定存在一条直线 a 有/a a ， 因为a b rr ，所以ab ，若a，则a ， 又a ，即可得，反之，若， 由b，ab ，a 可得a ，又/a a ，则有a. 所以“a”是“ ”的充分必要条件. 故选：C 【点睛】 本题主要考查面面垂直的判定和性质定理，以及线面平行的判定定理，属于中档题. 二、填空题二、填空题

8、 9已知向量已知向量(1,2)a ，(3,1)b ，则向量，则向量a， ，b夹角的大小为夹角的大小为_. . 【答案】【答案】 4 第 5 页 共 15 页 【解析】【解析】直接利用cos , a b a b a b ，即可能求出向量a与b的夹角大小. 【详解】 平面向量1,2a r ，3,1b r ， 322 cos , 2510 a b a b a b ， 又0, a b ，, 4 a b ， 向量a与b的夹角为 4 ，故答案为 4 【点睛】 本题考查两向量的夹角的求法，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则的合理 运用，是基础题 10已知向量已知向量a与与b的夹角为的夹角为 120

9、，且，且 4ab，那么，那么 3bab的值为的值为_. 【答案】【答案】8 【解析】【解析】先根据数量积的分配律将所求式子展开，再由平面向量数量积的运算法则即可 得解. 【详解】 解： 2 2 333 4 4 cos12048baba bb . 故答案为： -8. 【点睛】 本题考查数量积的计算，此类问题一般利用数量积的运算律和定义来处理，本题属于基 础题. 11已知已知 1 cos2 3 ，则则 22 cos2cos 2 的值为的值为_. 【答案】【答案】1 【解析】【解析】由 1 cos2 3 求得 2 cos的值，再化简并计算所求三角函数值. 【详解】 解：由 1 cos2 3 ，得 2

10、 1 2cos1 3 ，即 2 2 cos 3 ； 所以 2222 cos2cos ()sin2cos 2 第 6 页 共 15 页 2 1 3cos 2 1 3 3 =1. 故答案为：1. 【点睛】 本题考查了二倍角的余弦公式、诱导公式，需熟记公式，考查了基本运算求解能力，属 于基础题. 12已知函数已知函数 sin 2f x x.若若 2 63 ff ，则函数，则函数 f x的单调增区的单调增区 间为间为_. 【答案】【答案】 , 36 kk ，kZ 【解析】【解析】由已知函数关系式可得函数周期为，又由已知条件可得 6 f ， 3 f 取 到最大值和最小值，进而可求出，继续利用函数单调性求

11、出单调增区间. 【详解】 因为函数 sin 2f xx，所以函数周期为. 若 2 63 ff ，则 sin1 63 f ， 2 sin1 33 f ， 故 1 2 32 k， 1 kz， 且 2 2 2 32 k， 2 kz， 即 2 6 k，kz 故 sin 2 6 f xx ， 令 2 22 262 kxk，求得 36 kxk，kZ， 故答案为： , 36 kk ，kZ. 第 7 页 共 15 页 【点睛】 本题考查三角函数的应用，重在对基础函数性质的理解，考查分析能力，属基础题. 三、双空题三、双空题 13在平面直角坐标系中，角在平面直角坐标系中，角的终边的终边过点过点 (3, 4)A

12、，则，则tan_；将射线；将射线OA（O为为 坐标原点）按逆时针方向旋转坐标原点）按逆时针方向旋转 2 后得到角后得到角的终边，则的终边，则sin_. 【答案】【答案】 4 3 3 5 ； 【解析】【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式sincos 2 ，求得 tan、sin的值 【详解】 角的终边过点3, 4A，则 4 tan 3 ， 将射线OA（O为坐标原点）按逆时针方向旋转 2 后得到角的终边， 则 33 259 16 sinsincos ， 故答案为 4 3 ， 3 5 . 【点睛】 本题主要考查任意角的三角函数的定义， 设是一个任意角， 它的终边上异于原点的一 个点的坐标

13、为,P x y，那么 22 sin y xy ， 22 cos x xy ，tan y x ，诱 导公式sincos 2 ，属于基础题 14函数函数 2sinxf x 0 2 图象如图，则图象如图，则的的值为值为_，的值为的值为 _. 第 8 页 共 15 页 【答案】【答案】 4 21 11 【解析】【解析】根据图象过点0,1，结合的范围求得的值，再根据五点法作图求得， 可得函数的解析式. 【详解】 由函数图象过点0,1，可得2sin1，则 2 sin 2 ， 又 0 2 ， 4 ， 2sin 4 f xx . 再根据五点法作图可得，11 2 124 ， 21 11 . 故答案为： 4 ；

14、21 11 . 【点睛】 由图像确定表达式，要注意完整读出图像所给出的条件,准确求出参数值. 四、解答题四、解答题 15函数函数 2sin 2 6 f xx . （1）求函数）求函数 f x的单调递增区间和最小正周期；的单调递增区间和最小正周期； （2）请用）请用“五点法五点法”画出函数画出函数 f x在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的 表格中填上所需的数值，表格中填上所需的数值，再画图） ；再画图） ； x 2 6 x 0 y 第 9 页 共 15 页 （3）求函数）求函数 f x在在 2 , 12 3 上的最大值和最小值，并指出相应的上

15、的最大值和最小值，并指出相应的x的值的值. 【答案】【答案】 （1）单调递增区间是 ,k 63 k ，kZ；最小正周期； （2）填表 见解析； 作图见解析；（3） 最大值为 2， 最小值为1， 2 3 x 时 f x取得最小值， 3 x 时 f x取得最大值. 【解析】【解析】（1） 根据正弦函数的图象与性质求出函数 f x的单调递增区间和最小正周期； （2）列表，描点、连线，画出函数 f x在长度为一个周期的闭区间上的简图； （3）求出 2 , 123 x 时函数 f x的最大值和最小值，以及对应x的值. 【详解】 解： （1）函数 2sin 2 6 f xx ， 令 2 22 262 kx

16、k，kZ； 解得 2 2 22 33 kxk，kZ； 即 63 kxk，kZ； 所以函数 f x的单调递增区间是 ,k 63 k ，kZ； 最小正周期 2 2 T ； （2）填写表格如下； x 12 3 7 12 5 6 13 12 4 3 2 6 x 0 2 3 2 2 5 2 y 0 2 0 2 0 2 用“五点法”画出函数 f x在长度为一个周期的闭区间上的简图为； 第 10 页 共 15 页 （3） 2 , 123 x 时， 7 20. 66 x ， 1 sin 2,1 62 x ， 所以函数 2sin 2 6 f xx 在 2 , 12 3 上取得最大值为 2，最小值为1， 且 2

17、3 x 时 f x取得最小值， 3 x 时 f x取得最大值. 【点睛】 本题考查正弦型函数的性质以及“五点法”作图， 本题要掌握基础函数的性质以及整体 法的应用，同时熟悉“五点法”作图，考查分析能力以及作图能力，属中档题. 16如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中， 7AB ，3AD，5BD，8BC ，60DBC . （1）求）求ADB的大小；的大小； （2）求）求CD的长；的长； （3）求四边形）求四边形ABCD的面积的面积. 【答案】【答案】 （1）120ADB； （2）7CD； （3） 55 3 4 . 【解析】【解析】 （1）利用余弦定理求出 1 cos 2 ADB 即得解；

18、（2）利用余弦定理求出 2 49CD 即得解； （3）由三角形面积公式分别求得ABD和BCD的面积，即可得解. 【详解】 （1）在ABD中，7AB ，3AD，5BD， 由余弦定理可得 222 925491 cos 22 3 52 ADBDAB ADB AD BD ， 第 11 页 共 15 页 因为ADB为三角形内角，所以120ADB. （2）在BCD中，5BD，8BC ，60DBC， 由余弦定理可得 222 1 2cos25642 5 849 2 CDBDBCBD BCDBC ， 所以7CD. （3） 11315 3 sin3 5 2224 ABD SAD BDADB ， 113 sin8

19、510 3 222 BCD SBC BDDBC ， 所以四边形ABCD的面积为 55 3 4 ABDBCD SS . 【点睛】 本题主要考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算， 意在考查学生对这些知识的理解 掌握水平. 17如图，在三棱锥如图，在三棱锥ABCD中，中， 90ABDABCDCB，E，F，G分分 别是别是AC，AD，BC的中点，求证：的中点，求证： （1）AB 平面平面BCD； （2）/CD平面平面EFG； （3）平面）平面ACD平面平面ABC； （4）请在图中画出平面）请在图中画出平面EFG截三棱锥截三棱锥ABCD的截面，判断截面形状并说明你的理的截面，判断截面形状并说明你的理

20、由；由； （5）若）若4ABCD.求出第（求出第（4）问中的截面面积）问中的截面面积. 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）证明见解析； （4）作图见解析；截面 EFHG为矩形；答案见解析； （5）4. 【解析】【解析】 （1）由线面垂直的判定定理即可得证； （2）由三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证； （3）推得CD平面ABC，再由面面垂直的判定定理，即可得证； 第 12 页 共 15 页 （4）可取BD的中点H，连接GH，FH，可得截面EFHG，由三角形的中位线定 理，以及线面垂直的性质定理，可得截面为矩形； （5）判断截面为边长为 2的正方形，可

21、得截面的面积. 【详解】 解： （1）证明：由90ABDABC ，可得ABBD，ABBC， 又BDBCB，则AB 平面BCD； （2）证明：由EF为ACD的中位线，可得/EF CD， 且CD平面EFG，EF 平面EFG，则/CD平面EFG； （3）证明：由AB 平面BCD，CD 平面BCD， 得ABCD，又CDBC，BCCDC， 所以CD平面ABC，又CD 平面ACD， 所以平面ACD平面ABC； （4）可取BD的中点H，连接GH，FH，截面EFHG为所求截面. 由GH为BCD的中位线，可得/GH CD， 1 2 GHCD， 又/EF CD， 1 2 EFCD，所以EF GH，且/EF GH，

22、 可得四边形EFHG为平行四边形， 由ABCD，/EG AB，/EF CD，可得/EF EG， 则截面EFHG为矩形； （5）若4ABCD，可得截面EFHG为边长为 2的正方形，其面积为 4. 【点睛】 本题考查空间中线面平行、线面垂直、面面垂直的证明，三类问题的证明，都需要利用 位置关系的判断定理来考虑，后两者注意三种垂直关系的转化，本题属于中档题. 18如图，已知正方形如图，已知正方形ABCD所在平面和平行四边形所在平面和平行四边形ACEF所在平面互相垂直，平面 所在平面互相垂直，平面 ECB 平面平面ABCD， 2AB ，M是线段是线段EF上的一点且上的一点且/AM平面平面BDE . 第

23、 13 页 共 15 页 （1）求证：平面）求证：平面/ABF平面平面CDE； （2）求证：）求证：M是线段是线段EF的中点；的中点； （3）求证：）求证：EC 平面平面ABCD . 【答案】【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】【解析】 （1）易知/AF CE，/AB CD，由面面平行判定定理即可得证； （2） 设A C B D O， 连接OE， 由/AM平面BDE， 可推出/AM OE， 而O为AC 的中点，故得证； （3）由平面ABCD平面ACEF，BDAC，可推出BD 平面ACEF，故 BDEC；由平面ECB 平面ABCD，ABBC，可推出AB

24、平面ECB，故 ABEC；再由线面垂直的判定定理即可得证. 【详解】 证明： （1）平行四边形ACEF，/AF CE， CE 面CDE，AF 面CDE， /AF面CDE， ABCD为正方形，/AB CD， CD 面CDE，AB面CDE， /AB面CDE， 又AFABA， 平面/ABF平面CDE. （2）设ACBDO，连接OE，则O为AC的中点， /AM平面BDE，AM 平面ACEF， 平面ACEF平面BDEOE， /AM OE. 又O为AC的中点， M为线段EF的中点. 第 14 页 共 15 页 （3）平面ABCD 平面ACEF，平面ABCD平面ACEFAC，BDAC， BD 平面ACEF，

25、BDEC. 平面ECB 平面ABCD，平面ECB平面ABCDBC，ABBC， AB 平面ECB，ABEC. 又BDABB，BD、AB平面ABCD， EC 平面ABCD. 【点睛】 本题考查了线面平行的判定定理、线面平行的性质定理、面面垂直的性质定理以及线面 垂直的判定定理，考查了逻辑推理能力，属于基础题. 19利用周期知识解答下列问题：利用周期知识解答下列问题： （1）定义域为）定义域为R的函数的函数 f x同时满足以下三条性质：同时满足以下三条性质： 存在存在 0 x R，使得，使得 0 0f x； 对于任意对于任意xR，有，有 29f xf x； f x不是单调函数，但是它图象连续不断，不

26、是单调函数，但是它图象连续不断， 写出满足上述三个性质的一个函数写出满足上述三个性质的一个函数 f x，则，则 f x _（不必说明理由）（不必说明理由） （2）说明：请在（）说明：请在（i） 、 （） 、 （ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分）计分. （i）求）求 sin2cos3f xxx的最小正周期并说明理由的最小正周期并说明理由. （ii）求证：）求证： sincosg xxx不是周期函数不是周期函数. 【答案】【答案】 （1） 3 sin2 x f xx（答案不唯一） ； （2）答案不唯一，具体见解析. 【解析】【解析

27、】 （1）由已知条件可取 3 sin2 x f xx（答案不唯一） 第 15 页 共 15 页 （2）若选择（i）我们知道sin2yx与cos3yx的周期分别为：， 2 3 .让它们的 整数倍相等即可得出函数 f x的最小正周期. （ii）我们知道 sinyx 与 cosyx 的周期分别为：2，2.而2与 2的整数倍不可 能相等，即可证明结论. 【详解】 解： （1） 3 sin2 x f xx（答案不唯一）. 故答案为：3 sin2 x x. （2）若选择（i）我们知道sin2yx与cos3yx的周期分别为：， 2 3 . 取2T ，则 2fxf x，而 fxf x， 可得：2是函数sin2cos3yxx的最小正周期. （ii）证明：我们知道 sinyx 与 cosyx 的周期分别为：2，2. 而2与 2 的整数倍不可能相等，因此 sincosg xxx不是周期函数. 【点睛】 本题考查了三角函数的性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.