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高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 1 页页 共共 15 页页 高等数学公式 导数公式：导数公式： 基本积分表：基本积分表： 三角函数的有理式积分：三角函数的有理式积分： 22 2 2 1 2 21 1 cos 1 2 sin u du dx x tgu u u x u u x       ， ， ， ax x aaa ctgxxx tgxxx xctgx xtgx a xx ln 1 )(log ln)( csc)(csc sec)(sec csc)( sec)( 2 2       2 2 2 2 1 1 )( 1 1 )( 1 1 )(arccos 1 1 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x                          Caxx ax dx Cshxchxdx Cchxshxdx C a a dxa Cxctgxdxx Cxdxtgxx Cctgxxdx x dx Ctgxxdx x dx x x )ln( ln csccsc secsec csc sin sec cos 22 22 2 2 2 2 C a x xa dx C xa xa axa dx C ax ax aax dx C a x arctg axa dx Cctgxxxdx Ctgxxxdx Cxctgxdx Cxtgxdx                           arcsin ln 2 1 ln 2 1 1 csclncsc seclnsec sinln cosln 22 22 22 22           C a xa xa x dxxa Caxx a ax x dxax Caxx a ax x dxax I n n xdxxdxI n nn n arcsin 22 ln 22 )ln( 22 1 cossin 2 2222 22 2 2222 22 2 2222 2 2 0 2 0  高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 2 页页 共共 15 页页 一些初等函数：一些初等函数： 两个重要极限：两个重要极限： 三角函数公式：三角函数公式： ·诱导公式：·诱导公式： 函数 角 A sin cos tg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90° -α cosα sinα ctgα tgα 90° +α cosα -sinα -ctgα -tgα 180° -α sinα -cosα -tgα -ctgα 180° +α -sinα -cosα tgα ctgα 270° -α -cosα -sinα ctgα tgα 270° +α -cosα sinα -ctgα -tgα 360° -α -sinα cosα -tgα -ctgα 360° +α sinα cosα tgα ctgα ·和差角公式：·和差角公式： ·和差化积公式：·和差化积公式： 2 sin 2 sin2coscos 2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 sin2sinsin                         ctgctg ctgctg ctg tgtg tgtg tg         1 )( 1 )( sinsincoscos)cos( sincoscossin)sin(    x x arthx xxarchx xxarshx ee ee chx shx thx ee chx ee shx xx xx xx xx                 1 1 ln 2 1 )1ln( 1ln( : 2 : 2 : 2 2 ） 双曲正切 双曲余弦 双曲正弦 .590457182818284. 2) 1 1 (lim 1 sin lim 0     e x x x x x x 高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 3 页页 共共 15 页页 ·倍角公式：·倍角公式： ·半角公式：·半角公式：              cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2 2 cos1 2 cos 2 cos1 2 sin                   ctgtg ·正弦定理：·正弦定理：R C c B b A a 2 sinsinsin  ·余弦定理：·余弦定理：Cabbaccos2 222  ·反三角函数性质：·反三角函数性质：arcctgxarctgxxx 2 arccos 2 arcsin  高阶导数公式高阶导数公式————莱布尼兹（莱布尼兹（LeibnizLeibniz）公式：）公式： )()()()2()1()( 0 )()()( ! ) 1() 1( ! 2 ) 1( )( nkknnnn n k kknk n n uvvu k knnn vu nn vnuvu vuCuv               中值定理与导数应用：中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当 柯西中值定理： 拉格朗日中值定理： xx F f aFbF afbf abfafbf        )(F )( )( )()( )()( ))(()()(    曲率：曲率：      2 3 3 3 31 3 3 cos3cos43cos sin4sin33sin tg tgtg tg              2 2 2222 1 2 2 2 1 2 sincossin211cos22cos cossin22sin tg tg tg ctg ctg ctg       高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 4 页页 共共 15 页页 . 1 ; 0 . )1 ( limM sMM:. ,1 320 2 a Ka K y y ds d s K MM s K tgydxyds s                的圆：半径为 直线： 点的曲率： 弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率： 其中弧微分公式：     定积分的近似计算：定积分的近似计算：                b a nnn b a nn b a n yyyyyyyy n ab xf yyyy n ab xf yyy n ab xf )](4)(2)[( 3 )( ])( 2 1 [)( )()( 1312420 110 110    抛物线法： 梯形法： 矩形法： 定积分应用相关公式：定积分应用相关公式：         b a b a dttf ab dxxf ab y k r mm kF ApF sFW )( 1 )( 1 , 2 2 21 均方根： 函数的平均值： 为引力系数引力： 水压力： 功： 空间解析几何和向量代数：空间解析几何和向量代数： 高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 5 页页 共共 15 页页 。代表平行六面体的体积 为锐角时，向量的混合积： 例：线速度： 两向量之间的夹角： 是一个数量 轴的夹角。与是向量在轴上的投影： 点的距离：空间      ,cos)(][ sin, cos ,,cos PrPr)(Pr ,cosPr )()()(2 222222 2121 2 12 2 12 2 1221 cba ccc bbb aaa cbacba rwvbac bbb aaa kji bac bbbaaa bababa bababababa a ja jaaj uABABABj zzyyxxMMd zyx zyx zyx zyx zyx zyxzyx zzyyxx zzyyxx u u                           （马鞍面）双叶双曲面： 单叶双曲面： 、双曲面： 同号）（、抛物面： 、椭球面： 二次曲面： 参数方程：其中空间直线的方程： 面的距离：平面外任意一点到该平 、截距世方程： 、一般方程： ，其中、点法式： 平面的方程： 1 1 3 ,, 22 2 11 };,,{, 13 02 ),,(},,,{0)()()(1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 0 0 0 000 222 000 0000000                         c z b y a x c z b y a x qpz q y p x c z b y a x ptzz ntyy mtxx pnmst p zz n yy m xx CBA DCzByAx d c z b y a x DCzByAx zyxMCBAnzzCyyBxxA   多元函数微分法及应用多元函数微分法及应用 高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 6 页页 共共 15 页页 z y z x y x y x y x yx F F y z F F x z zyxF dx dy F F yF F xdx yd F F dx dy yxF dy y v dx x v dvdy y u dx x u du yxvvyxuu x v v z x u u z x z yxvyxufz t v v z t u u z dt dz tvtufz yyxfxyxfdzz dz z u dy y u dx x u dudy y z dx x z dz                                                                       ， ， 隐函数 ＋， ， 隐函数 隐函数的求导公式： 时，，当 ：多元复合函数的求导法 全微分的近似计算： 全微分： 0),,( )()(0),( ),(),( )],(),,([ )](),([ ),(),( 2 2 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),( 0),,,( 0),,,( yu GF Jy v vy GF Jy u xu GF Jx v vx GF Jx u GG FF v G u G v F u F vu GF J vuyxG vuyxF vu vu                                       隐函数方程组： 微分法在几何上的应用：微分法在几何上的应用： ),,(),,(),,( 3 0))(,,())(,,())(,,(2 )},,(),,,(),,,({1 ),,(0),,( },,{, 0),,( 0),,( 0))(())(())(( )()()( ),,( )( )( )( 000 0 000 0 000 0 000000000000 000000000 000 000000 0 0 0 0 0 0 000 zyxF zz zyxF yy zyxF xx zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyxFzyxFzyxFn zyxMzyxF GG FF GG FF GG FF T zyxG zyxF zztyytxxtM t zz t yy t xx zyxM tz ty tx zyx zyx zyx yx yx xz xz zy zy                                  、过此点的法线方程： ：、过此点的切平面方程 、过此点的法向量： ，则：上一点曲面 则切向量若空间曲线方程为： 处的法平面方程：在点 处的切线方程：在点空间曲线        方向导数与梯度：方向导数与梯度： 高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 7 页页 共共 15 页页 上的投影。在是 单位向量。 方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是 的梯度：在一点函数 的转角。轴到方向为其中 的方向导数为：沿任一方向在一点函数 lyxf l f ljieeyxf l f j y f i x f yxfyxpyxfz lx y f x f l f lyxpyxfz ),(grad sincos),(grad ),(grad),(),( sincos),(),(                            多元函数的极值及其求法：多元函数的极值及其求法：                   不确定时 值时， 无极 为极小值 为极大值 时， 则： ，令：设 ,0 0 ),( , 0 ),( , 0 0 ),(,),(,),(0),(),( 2 2 00 002 0000000000 BAC BAC yxA yxA BAC CyxfByxfAyxfyxfyxf yyxyxxyx 重积分及其应用：重积分及其应用：                                       D z D y D x zyx D y D x D D y D x D DD ayx xdyx faF ayx ydyx fF ayx xdyx fF FFFFaaMzxoy dyxxIydyxyIx dyx dyxy M M y dyx dyxx M M x dxdy y z x z Ayxfz rdrdrrfdxdyyxf 2 3 222 2 3 222 2 3 222 22 D 2 2 )( ),( )( ),( )( ),( },,{)0(),, 0 , 0( ),(,),( ),( ),( , ),( ),( 1),( )sin,cos(),(        ， ， ，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于 轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量： 平面薄片的重心： 的面积曲面 柱面坐标和球面坐标：柱面坐标和球面坐标： 高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 8 页页 共共 15 页页                               dvyxIdvzxIdvzyI dvxMdvz M zdvy M ydvx M x drrrFddddrdrrFdxdydzzyxf ddrdrdrdrrddv rz ry rx zrrfzrF dzrdrdzrFdxdydzzyxf zz ry rx zyx r            )()()( 1 , 1 , 1 sin),,(sin),,(),,( sinsin cos sinsin cossin ),sin,cos(),,( ,),,(),,(,sin cos 222222 2 00 ),( 0 22 2 ， ， 转动惯量： ， 其中 重心： ， 球面坐标： 其中： 柱面坐标： 曲线积分：曲线积分：              )( )()()()](),([),( ),(, )( )( ),( 22 ty tx dtttttfdsyxf t ty tx LLyxf L        特殊情况： 则： 的参数方程为：上连续，在设 长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧 高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 9 页页 共共 15 页页 。，通常设 的全微分，其中：才是二元函数时，＝在 ：二元函数的全微分求积 注意方向相反！减去对此奇点的积分， ，应。注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、 是一个单连通区域；、 无关的条件：平面上曲线积分与路径 的面积：时，得到，即：当 格林公式：格林公式： 的方向角。上积分起止点处切向量 分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关 ，则：的参数方程为设 标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐 0),(),(),( ),( · )0 , 0(),(),(2 1 · 2 1 2, )()( )coscos( )}()](),([)()](),([{),(),( )( )( 00 ),( ),( 00                                          yxdyyxQdxyxPyxu yxuQdyPdx y P x Q y P x Q GyxQyxP G ydxxdydxdyAD y P x Q xQyP QdyPdxdxdy y P x Q QdyPdxdxdy y P x Q L dsQPQdyPdx dttttQtttPdyyxQdxyxP ty tx L yx yx DL DLDL LL L       曲面积分：曲面积分：                   dsRQPRdxdyQdzdxPdydz dzdxzxzyxQdzdxzyxQ dydzzyzyxPdydzzyxP dxdyyxzyxRdxdyzyxR dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP dxdyyxzyxzyxzyxfdszyxf zx yz xy xy D D D D yx )coscoscos( ]),,(,[),,( ],),,([),,( )],(,,[),,( ),,(),,(),,( ),(),(1)],(,,[),,( 22 系：两类曲面积分之间的关 号。，取曲面的右侧时取正 号；，取曲面的前侧时取正 号；，取曲面的上侧时取正 ，其中：对坐标的曲面积分： 对面积的曲面积分： 高斯公式：高斯公式： 高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 10 页页 共共 15 页页                            dsAdvA dsRQPdsAdsnA z R y Q x P dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdv z R y Q x P n n     div )coscoscos( ., 0div,div )coscoscos()( 成：因此，高斯公式又可写 ，通量： 则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度： —通量与散度：—高斯公式的物理意义    斯托克斯公式斯托克斯公式————曲线积分与曲面积分的关系：曲线积分与曲面积分的关系：                                                             dstARdzQdyPdxA RQP zyx A y P x Q x R z P z Q y R RQP zyx RQP zyx dxdydzdxdydz RdzQdyPdxdxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R    的环流量：沿有向闭曲线向量场 旋度： ， ， 关的条件：空间曲线积分与路径无 上式左端又可写成： kji rot coscoscos )()()(  常数项级数：常数项级数： 是发散的调和级数： 等差数列： 等比数列： n nn n q q qqq n n 1 3 1 2 1 1 2 ) 1( 321 1 1 1 12           级数审敛法：级数审敛法： 高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 11 页页 共共 15 页页 散。存在，则收敛；否则发 、定义法： 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 ，则设： 、比值审敛法： 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 ，则设： 别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法 n n nn n n n n n n suuus U U u                        lim; 3 1 1 1 lim 2 1 1 1 lim 1 21 1          。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足 —莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数 11 1 3214321 , 0lim )0,(             nnn n n nn n urrus u uu uuuuuuuu 绝对收敛与条件收敛：绝对收敛与条件收敛：         时收敛 １时发散ｐ 级数： 收敛； 级数： 收敛；发散，而调和级数： 为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果 收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果 为任意实数；，其中 1 1 1 ) 1(1 ) 1 () 1 ()2( ) 1 ()2( )2( ) 1 ( 2 321 21 pn p n nn uuuu uuuu p n n nn   幂级数：幂级数： 高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 12 页页 共共 15 页页 0 0 1 0 )3(lim )3( 1 1 1 1 1 1 1 2 210 32                R R R aa a a R Rx Rx Rx R xaxaxaa x x x xxxx nn n n n n n n 时， 时， 时， 的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设 称为收敛半径。，其中 时不定 时发散 时收敛 ，使在数轴上都收敛，则必存 收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点 对于级数 时，发散 时，收敛于        函数展开成幂级数：函数展开成幂级数：                 n n n n n n n n n x n f x f xffxfx Rxfxx n f R xx n xf xx xf xxxfxf ! )0( ! 2 )0( )0()0()(0 0lim)(,)( )!1( )( )( ! )( )( ! 2 )( ))(()( )( 2 0 1 0 )1( 0 0 )( 2 0 0 00 时即为麦克劳林公式： 充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项： 函数展开成泰勒级数：  一些函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数： )( )!12( ) 1( ! 5! 3 sin ) 11( ! ) 1() 1( ! 2 ) 1( 1)1 ( 12 1 53 2           x n xxx xx xx n nmmm x mm mxx n n nm     欧拉公式：欧拉公式：               2 sin 2 cos sincos ixix ixix ix ee x ee x xixe 或 三角级数：三角级数： 。上的积分＝ 在任意两个不同项的乘积正交性： 。，，，其中， 0 ],[cos,sin2cos,2sin,cos,sin, 1 cossin )sincos( 2 )sin()( 00 1 0 1 0            nxnxxxxx xtAbAaaAa nxbnxa a tnAAtf nnnnnn n nn n nn 傅立叶级数：傅立叶级数： 高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 13 页页 共共 15 页页 是偶函数 ，余弦级数： 是奇函数 ，正弦级数： （相减） （相加） 其中 ，周期                          nxa a xfnnxdxxfab nxbxfnxdxxfba nnxdxxfb nnxdxxfa nxbnxa a xf nnn nnn n n n nn cos 2 )(2 , 1 , 0cos)( 2 0 sin)(3 , 2 , 1nsin)( 2 0 124 1 3 1 2 1 1 64 1 3 1 2 1 1 246 1 4 1 2 1 85 1 3 1 1 )3 , 2 , 1(sin)( 1 )2 , 1 , 0(cos)( 1 2)sincos( 2 )( 0 0 0 2 222 2 222 2 222 2 22 1 0                        周期为周期为l 2的周期函数的傅立叶级数：的周期函数的傅立叶级数： 高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 14 页页 共共 15 页页                  l l n l l n n nn ndx l xn xf l b ndx l xn xf l a l l xn b l xn a a xf )3 , 2 , 1(sin)( 1 )2 , 1 , 0(cos)( 1 2)sincos( 2 )( 1 0   其中 ，周期    微分方程的相关概念：微分方程的相关概念： 即得齐次方程通解。 ，代替分离变量，积分后将，，，则设 的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方 称为隐式通解。 得： 的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程 或 一阶微分方程： u x y uu du x dx u dx du u dx du xu dx dy x y u x y yxyxf dx dy CxFyGdxxfdyyg dxxfdyyg dyyxQdxyxPyxfy        )( )( ),(),( )()()()( )()( 0),(),(),(    一阶线性微分方程：一阶线性微分方程： ) 1 , 0()()(2 ))((0)( ,0)( )()(1 )()( )(            nyxQyxP dx dy eCdxexQyxQ CeyxQ xQyxP dx dy n dxxPdxxP dxxP ，、贝努力方程： 时，为非齐次方程，当 为齐次方程，时当 、一阶线性微分方程： 全微分方程：全微分方程： 通解。应该是该全微分方程的 ，，其中： 分方程，即：中左端是某函数的全微如果 Cyxu yxQ y u yxP x u dyyxQdxyxPyxdu dyyxQdxyxP          ),( ),(),(0),(),(),( 0),(),( 二阶微分方程：二阶微分方程： 时为非齐次 时为齐次 ， 0)( 0)( )()()( 2 2    xf xf xfyxQ dx dy xP dx yd 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 21 22 ,)(2 ,,(*)0)(1 ,0(*) rr yyyrrqprr qpqyypy 式的两个根、求出 的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程： 求解步骤： 为常数；，其中      高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 15 页页 共共 15 页页 式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),3 21 rr 的形式， 21 rr (*)式的通解 两个不相等实根)04( 2  qp xrxr ececy 21 21  两个相等实根)04( 2  qp xr exccy 1 )( 21  一对共轭复根)04( 2  qp 2 4 2 2 21 pqp irir      ， ， )sincos( 21 xcxcey x    二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程 型 为常数；型， 为常数， ]sin)(cos)([)( )()( ,)( xxPxxPexf xPexf qpxfqyypy nl x m x        