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高中数学常用公式及常用结论高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U xAxC A, U xC AxA. 2.德摩根公式 ();() UUUUUU CABC AC B CABC AC B. 3.包含关系 ABAABB UU ABC BC A U AC B  U C ABR 4.容斥原理 ()()card ABcardAcardBcard AB ()()card ABCcardAcardBcardCcard AB ()()()()card ABcard BCcard CAcard ABC. 5． 集合 12 { ,,,} n a aa的子集个数共有2n 个； 真子集有2n–1 个； 非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n–2 个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 2 ( )(0)f xaxbxc a; (2)顶点式 2 ( )()(0)f xa xhk a; (3)零点式 12 ( )()()(0)f xa xxxxa. 7.解连不等式( )Nf xM常有以下转化形式 ( )Nf xM[ ( )][ ( )]0f xMf xN |( )| 22 MNMN f x   ( ) 0 ( ) f xN Mf x     11 ( )f xNMN   . 8.方程0)(xf在),( 21 kk上有且只有一个实根,与0)()( 21 kfkf不等价,前者是后 者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(0 2 acbxax有且只有一个实根在 ),( 21 kk内,等价于0)()( 21 kfkf,或0)( 1 kf且 22 21 1 kk a b k  ,或0)( 2 kf且 2 21 22 k a bkk   . 9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数)0()( 2 acbxaxxf在闭区间qp,上的最值只能在 a b x 2 处及区 间的两端点处取得，具体如下： (1)当 a0 时， 若qp a b x, 2 ， 则 m i nm a xm a x ()() , ()( ) , () 2 b fxffxf p fq a ； qp a b x, 2 ， maxmax ( )( ),( )f xf pf q， minmin ( )( ),( )f xf pf q. (2) 当a0) （1）)()(axfxf，则)(xf的周期 T=a； （2）0)()(axfxf， 或)0)(( )( 1 )(xf xf axf， 或 1 () ( ) f xa f x  ( ( )0)f x , 或 2 1 ( )( )(),( ( )0,1 ) 2 f xfxf xaf x,则)(xf的周期 T=2a； (3))0)(( )( 1 1)(  xf axf xf，则)(xf的周期 T=3a； (4) )()(1 )()( )( 21 21 21 xfxf xfxf xxf   且 1212 ( )1( ()()1,0 || 2 )f af xf xxxa，则 )(xf的周期 T=4a； (5)( )()(2 ) (3 )(4 )f xf xaf xa f xaf xa ( ) () (2 ) (3 ) (4 )f x f xa f xa f xa f xa,则)(xf的周期 T=5a； (6))()()(axfxfaxf，则)(xf的周期 T=6a. 30.分数指数幂 (1) 1 m n nm a a （0,,am nN  ，且1n ）. (2) 1 m n m n a a  （0,,am nN  ，且1n ）. 31．根式的性质 （1）()n n aa. （2）当n为奇数时， nn aa； 当n为偶数时， ,0 || ,0 nn a a aa a a     . 32．有理指数幂的运算性质 (1) (0, ,) rsr s aaaar sQ  . (2) ()(0, ,) rsrs aaar sQ. (3)()(0,0,) rrr aba b abrQ. 注： 若 a＞0，p 是一个无理数，则 a p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性 质，对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式 log b aN baN(0,1,0)aaN. 34.对数的换底公式 log log log m a m N N a  (0a ,且1a ,0m ,且1m, 0N ). 推论 loglog m n a a n bb m (0a ,且1a ,,0m n ,且1m,1n , 0N ). 35．对数的四则运算法则 若 a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1)log ()loglog aaa MNMN; (2) logloglog aaa M MN N ; (3)loglog() n aa MnM nR. 36.设函数)0)((log)( 2 acbxaxxf m ,记acb4 2 .若)(xf的定义域为 R,则0a，且0;若)(xf的值域为R,则0a，且0.对于0a的情形,需要 单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广 若0a ,0b ,0x , 1 x a ,则函数log () ax ybx (1)当ab时,在 1 (0,) a 和 1 (,) a 上log () ax ybx为增函数. ， (2)当ab时,在 1 (0,) a 和 1 (,) a 上log () ax ybx为减函数. 推论:设 1nm ， 0p  ， 0a  ，且 1a  ，则 （1）log()log m pm npn  . （2） 2 logloglog 2 aaa mn mn  . 38. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有 (1)xyNp. 39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系 1 1 ,1 ,2 n nn sn a ssn      ( 数列{} n a的前 n 项的和为 12nn saaa). 40.等差数列的通项公式 * 11 (1)() n aanddnad nN； 其前 n 项和公式为 1 () 2 n n n aa s   1 (1) 2 n n nad   2 1 1 () 22 d nad n. 41.等比数列的通项公式 1* 1 1 () nn n a aa qqnN q  ； 其前 n 项的和公式为 1 1 (1) ,1 1 ,1 n n aq q sq na q         或 1 1 ,1 1 ,1 n n aa q q qs na q        . 42.等比差数列  n a: 11 ,(0) nn aqad ab q  的通项公式为 1 (1) ,1 () ,1 1 nn n bnd q a bqdb qd q q          ； 其前 n 项和公式为 (1) ,(1) 1 (),(1) 111 n n nbn nd q s dqd bn q qqq         . 43.分期付款(按揭贷款) 每次还款 (1) (1)1 n n abb x b    元(贷款a元,n次还清,每期利率为b). 44．常见三角不等式 （1）若(0,) 2 x  ，则sintanxxx. (2) 若(0,) 2 x  ，则1sincos2xx. (3) |sin||cos | 1xx. 45.同角三角函数的基本关系式 22 sincos1，tan=   cos sin ，tan1cot. 46.正弦、余弦的诱导公式 2 1 2 ( 1) sin , sin() 2 ( 1)s , n n n co             2 1 2 ( 1)s, s () 2 ( 1)s i n, n n co n co             47.和角与差角公式 sin()sincoscossin; cos()coscossinsin; tantan tan() 1tantan     . 22 sin()sin()sinsin(平方正弦公式); 22 cos()cos()cossin. sincosab= 22 sin()ab(辅助角所在象限由点( , )a b的象限决 定,tan b a  ). 48.二倍角公式 sin2sincos. 2222 cos2cossin2cos1 1 2sin  . 2 2tan tan2 1tan      . 49. 三倍角公式 3 sin33sin4sin4sinsin()sin() 33  . 3 cos34cos3cos4cos cos()cos() 33  . 3 2 3tantan tan3tantan()tan() 1 3tan33       . 50.三角函数的周期公式 函数sin()yx，x∈R 及函数cos()yx，x∈R(A,ω,为常数，且 A≠0， ω＞0)的周期 2 T   ；函数tan()yx，, 2 xkkZ  (A,ω,为常数，且 A ≠0，ω＞0)的周期T   . (n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数) 51.正弦定理 2 sinsinsin abc R ABC . 52.余弦定理 222 2cosabcbcA; 222 2cosbcacaB; 222 2coscababC. 53.面积定理 （1） 111 222 abc Sahbhch（ abc hhh、 、分别表示 a、b、c 边上的高）. （2） 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB. (3) 22 1 (|| ||)() 2 OAB SOAOBOA OB  . 54.三角形内角和定理 在△ABC 中，有()ABCCAB 222 CAB 222()CAB. 55. 简单的三角方程的通解 sin( 1) arcsin (,|| 1) k xaxka kZa . s2arccos (,|| 1)co xaxka kZ a. tanarctan (,)xaxka kZ aR. 特别地,有 sinsin( 1)() k kkZ . scos2()cokkZ. tantan()kkZ. 56.最简单的三角不等式及其解集 sin(|| 1)(2arcsin ,2arcsin ),xa axkaka kZ. sin(|| 1)(2arcsin ,2arcsin ),xa axkaka kZ. cos(|| 1)(2arccos ,2arccos ),xa axkaka kZ. cos(|| 1)(2arccos ,22arccos ),xa axkaka kZ. tan()(arctan ,), 2 xa aRxka kkZ  . tan()(,arctan ), 2 xa aRxkka kZ  . 57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么 (1) 结合律：λ(μa a)=(λμ)a a; (2)第一分配律：(λ+μ)a a=λa a+μa;a; (3)第二分配律：λ(a a+b b)=λa a+λb b. 58.向量的数量积的运算律： (1) a a·b= bb= b·a a （交换律）; (2)（a a）） ·b= b= （a a·b b））= =a a·b b= a a· （b b）; (3)（a a+ +b b）） ·c=c= a a ·c +bc +b·c.c. 59.平面向量基本定理 如果 e e1 1、e e 2 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且 只有一对实数λ1、λ2，使得 a=a=λ1e e1+ +λ2e e2．． 不共线的向量 e e1、e e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底基底． 60．向量平行的坐标表示 设 a a= 11 (,)x y,b b= 22 (,)xy，且 b b0 0，则 a a b(bb(b0)0) 1221 0x yx y. 53. a a与 b b 的数量积(或内积) a a·b b=|a a||b b|cosθ． 61. a·b 的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 62.平面向量的坐标运算 (1)设 a a= 11 (,)x y,b b= 22 (,)xy，则 a+b=a+b= 1212 (,)xxyy. (2)设 a a= 11 (,)x y,b b= 22 (,)xy，则 a a- -b=b= 1212 (,)xxyy. (3)设 A 11 (,)x y，B 22 (,)xy,则 2121 (,)ABOBOAxx yy. (4)设 a a=( , ),x yR，则a=a=(,)xy. . (5)设 a a= 11 (,)x y,b b= 22 (,)xy，则 a a·b=b= 1212 ()x xy y. 63.两向量的夹角公式公式 1212 2222 1122 cos x xy y xyxy     (a a= 11 (,)x y,b b= 22 (,)xy). 64.平面两点间的距离公式 ,A B d=||ABAB AB 22 2121 ()()xxyy(A 11 (,)x y，B 22 (,)xy). 65.向量的平行与垂直 设 a a= 11 (,)x y,b b= 22 (,)xy，且 b b0 0，则 A A||b bb b=λa a 1221 0x yx y. a ab(ab(a0)0)a a·b b= =0 1212 0x xy y. 66.线段的定比分公式 设 111 (,)P x y， 222 (,)P xy，( , )P x y是线段 12 PP的分点,是实数，且 12 PPPP，则 12 12 1 1 xx x yy y                12 1 OPOP OP       12 (1)OPtOPt OP（ 1 1 t    ）. 67.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为 11 A(x ,y )、 22 B(x ,y )、 33 C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐 标是 123123 (,) 33 xxxyyy G  . 68.点的平移公式 '' '' xxhxxh yykyyk       '' OPOPPP . 注:图形 F 上的任意一点 P(x，y)在平移后图形 ' F上的对应点为 ''' ( ,)P x y，且 ' PP的 坐标为( , )h k. 69.“按向量平移”的几个结论 （1）点( , )P x y按向量 a a=( , )h k平移后得到点 '( ,)P xh yk. (2) 函数( )yf x的图象C按向量 a a=( , )h k平移后得到图象 ' C,则 ' C的函数解析式 为()yf xhk. (3) 图象 ' C按向量 a a=( , )h k平移后得到图象C,若C的解析式( )yf x,则 ' C的函数 解析式为()yf xhk. (4)曲线C:( , )0f x y 按向量 a a=( , )h k平移后得到图象 ' C,则 ' C的方程为 (,)0f xh yk. (5) 向量 m m=( , )x y按向量 a a=( , )h k平移后得到的向量仍然为 m m=( , )x y. 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设O为ABC所在平面上一点，角, ,A B C所对边长分别为, ,a b c，则 （1）O为ABC的外心 222 OAOBOC. （2）O为ABC的重心0OAOBOC. （3）O为ABC的垂心OA OBOB OCOC OA. （4）O为ABC的内心0aOAbOBcOC. （5）O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC. 71.常用不等式： （1）, a bR 22 2abab(当且仅当 a＝b 时取“=”号)． （2）, a bR 2 ab ab  (当且仅当 a＝b 时取“=”号)． （3） 333 3(0,0,0).abcabc abc （4）柯西不等式 22222 ()()() , , , ,.abcdacbda b c dR （5）bababa. 72.极值定理 已知yx,都是正数，则有 （1）若积xy是定值p，则当yx 时和yx有最小值p2； （2）若和yx是定值s，则当yx 时积xy有最大值 2 4 1 s. 推广 已知Ryx,，则有xyyxyx2)()( 22  （1）若积xy是定值,则当||yx 最大时,||yx 最大； 当||yx 最小时,||yx 最小. （2）若和||yx 是定值,则当||yx 最大时, || xy最小； 当||yx 最小时, || xy最大. 73.一元二次不等式 2 0(0)axbxc或 2 (0,40)abac ，如果a与 2 axbxc同号，则其解集在两根之外；如果a与 2 axbxc异号，则其解集在两根之 间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. 121212 ()()0()xxxxxxxxx； 121212 ,()()0()xxxxxxxxxx或. 74.含有绝对值的不等式 当 a 0 时，有 2 2 xaxaaxa  . 22 xaxaxa或xa . 75.无理不等式 （1） ( )0 ( )( )( )0 ( )( ) f x f xg xg x f xg x        . （2） 2 ( )0 ( )0 ( )( )( )0 ( )0 ( )[ ( )] f x f x f xg xg x g x f xg x           或. （3） 2 ( )0 ( )( )( )0 ( )[ ( )] f x f xg xg x f xg x        . 76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a 时, ( )( ) ( )( ) f xg x aaf xg x; ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x        . (2)当01a时, ( )( ) ( )( ) f xg x aaf xg x; ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x        77.斜率公式 21 21 yy k xx    （ 111 (,)P x y、 222 (,)P xy）. 78.直线的五种方程 （1）点斜式 11 ()yyk xx (直线l过点 111 (,)P x y，且斜率为k)． （2）斜截式 ykxb(b 为直线l在 y 轴上的截距). （3）两点式 11 2121 yyxx yyxx    ( 12 yy)( 111 (,)P x y、 222 (,)P xy ( 12 xx)). (4)截距式 1 xy ab (ab、分别为直线的横、纵截距，0ab 、) （5）一般式 0AxByC(其中 A、B 不同时为 0). 79.两条直线的平行和垂直 (1)若 111 :lyk xb， 222 :lyk xb ① 121212 ||,llkk bb; ② 1212 1llk k . (2)若 1111 :0lAxB yC, 2222 :0lA xB yC,且 A1、A2、B1、B2都不为零, ① 111 12 222 || ABC ll ABC  ； ② 121212 0llA AB B ； 80.夹角公式 (1) 21 2 1 tan|| 1 kk k k     . ( 111 :lyk xb， 222 :lyk xb, 12 1k k   ) (2) 1221 1212 tan|| ABA B A AB B     . ( 1111 :0lAxB yC, 2222 :0lA xB yC, 1212 0A AB B ). 直线 12 ll时，直线 l1与 l2的夹角是 2  . 81. 1 l到 2 l的角公式 (1) 21 2 1 tan 1 kk k k     . ( 111 :lyk xb， 222 :lyk xb, 12 1k k   ) (2) 1221 1212 tan ABA B A AB B     . ( 1111 :0lAxB yC, 2222 :0lA xB yC, 1212 0A AB B ). 直线 12 ll时，直线 l1到 l2的角是 2  . 82．四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点 000 (,)P xy的直线系方程为 00 ()yyk xx(除直线 0 xx), 其 中k是 待 定 的 系 数 ; 经 过 定 点 000 (,)P xy的 直 线 系 方 程 为 00 ()()0A xxB yy,其中,A B是待定的系数． (2)共点直线系方程： 经过两直线 1111 :0lAxB yC, 2222 :0lA xB yC的交点 的直线系方程为 111222 ()()0AxB yCA xB yC(除 2 l)，其中λ是待定的系数． (3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线 系方程．与直线0AxByC平行的直线系方程是0AxBy(0)，λ是 参变量． (4)垂直直线系方程：与直线0AxByC (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是 0BxAy,λ是参变量． 83.点到直线的距离 00 22 ||AxByC d AB    (点 00 (,)P xy,直线l：0AxByC). 84. 0AxByC或0所表示的平面区域 设直线:0l AxByC，则0AxByC或0所表示的平面区域是： 若0B ， 当B与AxByC同号时， 表示直线l的上方的区域； 当B与AxByC 异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若0B ， 当A与AxByC同号时， 表示直线l的右方的区域； 当A与AxByC 异号时，表示直线l的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 85. 111222 ()()0AxB yCA xB yC或0所表示的平面区域 设曲线 111222 :()()0CAxB yCA xB yC（ 1212 0A A B B ） ，则 111222 ()()0AxB yCA xB yC或0所表示的平面区域是： 111222 ()()0AxB yCA xB yC所表示的平面区域上下两部分； 111222 ()()0AxB yCA xB yC所表示的平面区域上下两部分. 86. 圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222 ()()xaybr. （2）圆的一般方程 22 0xyDxEyF( 22 4DEF＞0). （3）圆的参数方程 cos sin xar ybr       . （4）圆的直径式方程 1212 ()()()()0xxxxyyyy(圆的直径的端点是 11 ( ,)A x y、 22 (,)B xy). 87. 圆系方程 (1)过点 11 ( ,)A x y, 22 (,)B xy的圆系方程是 1212112112 ()()()()[()()()()]0xxxxyyyyxxyyyyxx 1212 ()()()()()0xxxxyyyyaxbyc, 其 中0a xb yc是 直 线 AB的方程,λ是待定的系数． (2)过直线l:0AxByC与圆C: 22 0xyDxEyF的交点的圆系方程 是 22 ()0xyDxEyFAxByC,λ是待定的系数． (3) 过圆 1 C: 22 111 0xyD xE yF与圆 2 C: 22 222 0xyD xE yF的交 点的圆系方程是 2222 111222 ()0xyD xE yFxyD xE yF,λ是待定的 系数． 88.点与圆的位置关系 点 00 (,)P xy与圆 222 )()(rbyax的位置关系有三种 若 22 00 ()()daxby，则 dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内. 89.直线与圆的位置关系 直线0CByAx与圆 222 )()(rbyax的位置关系有三种: 0相离rd; 0相切rd; 0相交rd. 其中 22 BA CBbAa d   . 90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，dOO 21 条公切线外离4 21 rrd; 条公切线外切3 21 rrd; 条公切线相交2 2121 rrdrr; 条公切线内切1 21 rrd; 无公切线内含  21 0rrd. 91.圆的切线方程 (1)已知圆 22 0xyDxEyF． ①若已知切点 00 (,)xy在圆上，则切线只有一条，其方程是 00 00 ()() 0 22 D xxE yy x xy yF  . 当 00 (,)xy圆外时, 00 00 ()() 0 22 D xxE yy x xy yF  表示过两个切点 的切点弦方程． ②过圆外一点的切线方程可设为 00 ()yyk xx，再利用相切条件求 k，这时必 有两条切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线． ③斜率为 k 的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求 b，必有两条切线． (2)已知圆 222 xyr． ①过圆上的 000 (,)P xy点的切线方程为 2 00 x xy yr; ②斜率为k的圆的切线方程为 2 1ykxrk. 92.椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的参数方程是 cos sin xa yb       . 93.椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 焦半径公式 )( 2 1 c a xePF，)( 2 2 x c a ePF. 94．椭圆的的内外部 （1）点 00 (,)P xy在椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的内部 22 00 22 1 xy ab . （2）点 00 (,)P xy在椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的外部 22 00 22 1 xy ab . 95. 椭圆的切线方程 (1)椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上一点 00 (,)P xy处的切线方程是 00 22 1 x xy y ab . （2）过椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 外一点 00 (,)P xy所引两条切线的切点弦方程是 00 22 1 x xy y ab . （ 3 ） 椭 圆 22 22 1(0) xy ab ab 与 直 线0AxByC相 切 的 条 件 是 22222 A aB bc. 96.双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的焦半径公式 2 1 | ()| a PFe x c ， 2 2 | ()| a PFex c . 97.双曲线的内外部 (1)点 00 (,)P xy在双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的内部 22 00 22 1 xy ab . (2)点 00 (,)P xy在双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的外部 22 00 22 1 xy ab . 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为1 2 2 2 2  b y a x 渐近线方程： 22 22 0 xy ab x a b y. (2)若渐近线方程为x a b y0 b y a x 双曲线可设为 2 2 2 2 b y a x . (3)若双曲线与1 2 2 2 2  b y a x 有公共渐近线，可设为 2 2 2 2 b y a x （0，焦点在 x 轴上，0，焦点在 y 轴上）. 99. 双曲线的切线方程 (1)双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 上一点 00 (,)P xy处的切线方程是 00 22 1 x xy y ab . （2）过双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 外一点 00 (,)P xy所引两条切线的切点弦方程是 00 22 1 x xy y ab . （ 3 ） 双 曲 线 22 22 1(0,0) xy ab ab 与 直 线0A xB yC相 切 的 条 件 是 22222 A aB bc. 100. 抛物线pxy2 2 的焦半径公式 抛物线 2 2(0)ypx p焦半径 0 2 p CFx. 过焦点弦长pxx p x p xCD 2121 22 . 101.抛物线pxy2 2 上的动点可设为 P), 2 ( 2   y p y 或或)2 ,2( 2 ptptP P(,)x y，其中 2 2ypx. 102.二次函数 2 22 4 () 24 bacb yaxbxca x aa  (0)a 的图象是抛物线： （1）顶 点坐标为 2 4 (,) 24 bacb aa  ； （2）焦点的坐标为 2 41 (,) 24 bacb aa  ； （3）准线方程是 2 41 4 acb y a  . 103.抛物线的内外部 (1)点 00 (,)P xy在抛物线 2 2(0)ypx p的内部 2 2(0)ypx p. 点 00 (,)P xy在抛物线 2 2(0)ypx p的外部 2 2(0)ypx p. (2)点 00 (,)P xy在抛物线 2 2(0)ypx p 的内部 2 2(0)ypx p . 点 00 (,)P xy在抛物线 2 2(0)ypx p 的外部 2 2(0)ypx p . (3)点 00 (,)P xy在抛物线 2 2(0)xpy p的内部 2 2(0)xpy p. 点 00 (,)P xy在抛物线 2 2(0)xpy p的外部 2 2(0)xpy p. (4) 点 00 (,)P xy在抛物线 2 2(0)xpy p的内部 2 2(0)xpy p. 点 00 (,)P xy在抛物线 2 2(0)xpy p 的外部 2 2(0)xpy p . 104. 抛物线的切线方程 (1)抛物线pxy2 2 上一点 00 (,)P xy处的切线方程是 00 ()y yp xx. （2） 过抛物线pxy2 2 外一点 00 (,)P xy所引两条切线的切点弦方程是 00 ()y yp xx. （3）抛物线 2 2(0)ypx p与直线0AxByC相切的条件是 2 2pBAC. 105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 1( , ) 0f x y , 2( , ) 0fx y 的交点的曲线系方程是 12 ( , )( , )0f x yfx y(为参数). (2)共焦点的有心圆锥曲线系方程 22 22 1 xy akbk   ,其中 22 max{,}ka b.当 22 min{,}ka b时,表示椭圆; 当 2222 min{,}max{,}a bka b时,表示双曲线. 106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 22 1212 ()()ABxxyy或 2222 211212 (1)()|| 1tan|| 1tABkxxxxyyco（ 弦 端 点 A),(),,( 2211 yxByx， 由方程      0)y, x(F bkxy 消去 y 得到0 2 cbxax，0 ,为直线 AB的倾斜角，k为直线的斜率）. 107.圆锥曲线的两类对称问题 （1）曲线( , )0F x y 关于点 00 (,)P xy成中心对称的曲线是 00 (2- ,2)0Fx xyy. （2）曲线( , )0F x y 关于直线0AxByC成轴对称的曲线是 2222 2 ()2 () (,)0 A AxByCB AxByC F xy ABAB    . 108.“四线”一方程 对于一般的二次曲线 22 0AxBxyCyDxEyF， 用 0 x x代 2 x， 用 0 y y代 2 y， 用 00 2 x yxy 代xy，用 0 2 xx 代x，用 0 2 yy 代y即得方程 0000 00 0 222 x yxyxxyy Ax xBCy yDEF  ，曲线的切线，切点弦，中点 弦，弦中点方程均是此方程得到. 109．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行. 110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为