初中数学微专题讲义专题7.18 例谈构造位似圆法在解题中的运用.doc
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1、 专题专题 18 例谈构造位似圆法在解题中的运用例谈构造位似圆法在解题中的运用 【专题综述】 图形的动态变化类问题是中考复习需要重点突破的专题.我们知道,一种方法解几道题远比几种方法解一道 题来得高明,本专题所介绍的方法在双动点问题中具有广泛的应用.只要两个动点满足到一定点的距离之比 为一定值,且在运动过程中这两点与定点的连线的夹角保持不变即可,条件的识别也很容易,看似很难, 然而构造位似圆的方法不但非常巧妙地把它们解决了,而且也揭示了问题的本质,这样才能大大提高学生 的学习效率. 【方法解读】 例 1:如图,已知ABC为等腰三角形,90 ,2BACAC,以点C为圆心,1 为半径作圆,点P为
2、C上一动点,连结AP,并绕点A顺时针旋转 90 得到 AP ,连结 CP ,则 AP 的取值范围是 . 例 2:如图,在等腰Rt ABC中,2 2ACBC,点P在以斜边AB为直径的半圆O上,点M为PC 的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时,点M运动的路径长是( ) A.2 B. C.2 2 D.2 解析:由点M为PC的中点,可知 1 2 CM CP ,并且在点P的运动过程中该值保持不变,从而联想位似图形 的定义和性质构造半圆O的位似图形.分别取,AC BC的中点,D E,连结DE,以DE为直径作半圆N, 则半圆N是半圆O的以点C为位似中心、1 2 为位似比的位似图形.根据位似图形的定义和性质
3、可知, 当点P 运动时,CP与半圆N交点始终是CP的中点,即为点M,因此,点M的运动路径就是半圆N.易求得其 长度为,因此选择 B. 【解读】从例 1 可以看出,当两个动点与一定点的连线的夹角为一定值时,可以通过旋转主动点所在图形 得到从动点的运动轨迹.同样,从例 2 可以看出,当两个动点与一定点在同一条直线上(实为两个动点与一定 点的连线的夹角为 0 ),且它们到定点的距离之比为一定值时,可以通过构造主动点所在图形的位似图形得 到从动点的运动轨迹.很多题目中的主动点、从动点同时具备上述两个条件,那么,我们就可以同时运用位 似变换和旋转变换进行求解.学科*网 【举一反三】 如图,在平面直角坐标
4、系中,已知坐标原点O是正ABC的AB边的中点,且点A是M上的一个动点, 点M的坐标为(3,3) ,M的半径为 2,当点A在M上运动一周时,求点C的运动路径长. 【答案】4 3 则N的半径为 23.延长OA交N于点D,由位似图形的定义和性质可知,3ODOAOC,从而 可将点C看作是由点D绕点O逆时针旋转 90 而得.从集合观点看,点C的运动轨迹为N绕点O逆时针 旋转 90 而得,记为P,如图. 因此,当点A在M上旋转一周时,由位似性质可知点D在N上也旋转一周,由旋转变换可知,点C 在P上旋转一周,且P的半径为 23.因此,点C的运动路径长为P的周长,即4 3.学科%网 【强化训练】 1 (201
5、5 贵港)如图,已知 P 是O 外一点,Q 是O 上的动点,线段 PQ 的中点为 M,连接 OP,OM若 O 的半径为2,OP=4,则线段 OM 的最小值是( ) A0 B1 C2 D3 【来源】2015 中考真题分项汇编 第 1 期 专题 12 圆的问题 【答案】B 【解析】 考点:1点与圆的位置关系;2三角形中位线定理;3最值问题;4轨迹 2如图,AB 为O 的直径, 4AB ,点 C 为半圆 AB 上动点,以 BC 为边在O 外作正方形 BCDE, (点 D 在直线 AB 的上方)连接 OD,当点 C 运动时,则线段 OD 的长( ) A. 随点 C 的运动而变化,最大值为22 2 B.
6、 不变来源:学科网 C. 随点 C 的运动而变化,最小值为2 2 D. 随点 C 的运动而变化,但无最值 【来源】中学联盟湖北省武汉市梅苑学校 2016 届九年级 3 月月考数学试题 【答案】A 【解析】试题解析:通过旋转观察如图可知当 DOAB 时,DO 最长,设 DO 与O 交于点 M,连接 CM, 在EMD 和EMB 中, DEBC MEDMEB MEME , MEDMEB, DM=BM= 2222 = 22 =2 2OMOB, OD 的最大值=2+22 故选 A 3如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 AB 经过点 A(6,0)、B(0,6),O 的半径为 2(O 为坐标 原点),
7、点 P 是直线 AB 上的一动点,过点 P 作O 的一条切线 PQ,Q 为切点,则切线长 PQ 的最小值为 ( ) A. B. 3 C. 3 D. 【来源】2016 届江苏省苏州市吴中区九年级上学期期末数学试卷(带解析) 【答案】D 当 POAB 时,线段 PQ 最短; 又A(6,0)、B(0,6), OA=OB=6, AB=6 OP=AB=3, OQ=2, PQ=, 故选:D 考点:切线长定理 4如图,O 的直径为 10,弦 AB 长为 8,点 P 在 AB 上运动,则 OP 的最小值是_ 【来源】2016 届江苏省徐州市九年级下学期第一次质检数学试卷(带解析) 【答案】3 在 RtOAP中
8、,AP=4,OA=5, 则根据勾股定理知 OP=3,即 OP 的最小值为 3 考点:1垂径定理;2勾股定理 5如图,O 的半径为 2,点 O 到直线 l 的距离为 3,点 P 是直线 l 上的一个动点,PQ 切O 于点 Q,则 PQ 的最小值为 【来源】2016 届浙江省杭州市保俶塔实验学校九年级 12 月质量监测数学试卷(带解析) 【答案】2 2 【解析】 当 OP 最小时,PQ 最小, 点 O 到直线 l 的距离为 3,来源:学科网 OP 的最小值为 3,来源:Z xx k.Com PQ 的最小值为9 12 2 考点:切线的性质 6如图,RtAOB 中,O=90 ,OA=OB=32,O 的
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