直线与圆的基本知识点总结.pdf

1、第 1 页 共 4 页 人教人教 A 版高中数学必修二第三、四章直线与圆部分版高中数学必修二第三、四章直线与圆部分基础知识基础知识 1. 两个基本量两个基本量 倾斜角倾斜角：当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准， x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角.特别地，当直线 l 与 x 轴平行或重合时， 规定 = 0. 易见直线倾斜角的取值范围是：0,) 斜率斜率：一条直线的倾斜角 (90)的正切值叫做这条直线的斜率。斜率常用小写字母 k 表示，也就是 k = tan = y1-y2 x1-x2 = - A B = f(x0). 特别的， （1）当直线 l

2、与 x 轴平行或重合时, =0, k = tan0=0； （2）当直线 l 与 x 轴垂直时, = 90, k 不存在. 2. 几个常见角及其取值范围：几个常见角及其取值范围： （1）直线的倾斜角的取值范围是0,)； （2）两条直线的夹角的取值范围是0, 2； （3）两个平面的夹角的取值范围是0, 2； （4）两个半平面所成角（二面角）的平面角的取值范围是0, （5）直线与平面所成的角的取值范围是0, 2 （6）两个向量的夹角的取值范围是0, （7）两异面直线所成角的取值范围是0, 2) 3. 直线的五种方程直线的五种方程 （1）点斜式： 11 ()yyk xx (直线l过点 111 ( ,)

3、P x y，且斜率为k)不能表示斜率不存在的直线. （2）斜截式： ykxb(b 为直线l在 y 轴上的截距).不能表示斜率不存在的直线. （3）两点式： 11 2121 yyxx yyxx (两定点坐标分别是： 111 ( ,)P x y、 222 (,)P xy (其中 12 xx且 12 yy). 不能表示平行于坐标轴的直线. （4）截距式： 1 xy ab (ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、)不能表示平行于坐标轴和过坐标 原点的直线. （5）一般式： 0AxByC(其中 A、B 不同时为 0). 4. 两条两条不同不同直线的平行和垂直直线的平行和垂直 (1)若 111 :lyk

4、xb， 222 :lyk xb，则 121212 |,llkk bb; 121 2 1llk k . (2)若 1111 :0lAxB yC, 2222 :0lA xB yC,且 A1、A2、B1、B2都不为零, 则： 111 12 222 | ABC ll ABC 或 A1B2-A2B1=0 且 A1C2A2C1； 121212 0llAABB ； 5. 夹角公式夹角公式（现已不做要求）（现已不做要求） (1) 21 2 1 tan| 1 kk k k .( 111 :lyk xb， 222 :lyk xb, 1 2 1k k ) 第 2 页 共 4 页 (2) 1221 1212 tan|

5、 ABA B A AB B .(其中 1111 :0lAxB yC, 2222 :0lA xB yC, 1212 0AABB ). 特别的，直线 12 ll时，直线 l1与 l2的夹角是 2 ，不适用以上公式. 6. 到角公式（现已不做要求）到角公式（现已不做要求） 若直线 1 l到直线 2 l的角（有方向性）为，则： (1) 21 2 1 tan 1 kk k k .(其中 111 :lyk xb， 222 :lyk xb, 1 2 1k k )， (2) 1221 1212 tan ABA B A AB B .(其中 1111 :0lAxB yC, 2222 :0lA xB yC, 121

6、2 0AABB ). 特别的，直线 12 ll时，直线 l1到 l2的角是 2 ，不适用上面结论. 7四种常用四种常用的的直线系方程直线系方程 (1)定点直线系方程：定点直线系方程：经过定点 000 (,)P xy的直线系方程为 00 ()yyk xx(除直线 0 xx),其中k是待定 系数; 经过定点 000 (,)P xy的直线系方程也可写为： 00 ()()0A xxB yy,其中,A B是待定系数 (2)共点直线系方程：共点直线系方程：经过两直线 1111 :0lAxB yC, 2222 :0lA xB yC的交点的直线系方程为 111222 ()()0AxB yCA xB yC(除

7、2 l)，其中 是待定的系数 (3)平行直线系方程：平行直线系方程：直线ykxb中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程 另外，与直线0AxByC平行的直线系方程是0AxBy(0)， 是参变量 (4)垂直直线系方程垂直直线系方程：与直线 Ax+By+C=0 (A0，B0)垂直的直线系方程是 0BxAy, 是参变量 8. 点到直线的距离点到直线的距离： 00 22 |AxByC d AB (点 00 (,)P xy,直线l：0AxByC). 两条平行直线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 之间的距离是： 22 21 BA CC d 9. 圆的四种方程圆的四种方程 （1）

8、圆的标准方程： 222 ()()xaybr.（r0） （2）圆的一般方程： 22 0 xyDxEyF( 22 4DEF 0).更一般的，方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是：A=C0B=0D2+E24AF0； （3）圆的参数方程： cos sin xar ybr . （4）圆的直径方程： 1212 ()()()()0 xxxxyyyy(圆的直径端点是 11 ( ,)A x y、 22 (,)B xy). 第 3 页 共 4 页 10. 圆系方程圆系方程 (1)过过两两点点 11 ( ,)A x y, 22 (,)B xy的圆系方程是的圆系方程是 12121121

9、12 ()()()()()()()()0 xxxxyyyyxxyyyyxx 1212 ()()()()()0 xxxxyyyyaxbyc, 其中 ax+by+c=0 是直线 AB 的方程,是待定系数 (2)过直线过直线l: 0AxByC与圆与圆C: 22 0 xyDxEyF的交点的圆系方程是的交点的圆系方程是 22 ()0 xyDxEyFAxByC, 是待定系数 (3) 过圆过圆 1 C: 22 111 0 xyD xE yF与圆与圆 2 C: 22 222 0 xyD xE yF的交点的圆系方程是的交点的圆系方程是 2222 111222 ()0 xyD xE yFxyD xE yF, 是待

10、定系数 特别的，如果圆0: 111 22 1 FyExDyxC与圆0: 222 22 2 FyExDyxC相交，则两圆的 公共弦所在的直线方程是：0)()()( 212121 FFyEExDD.（两圆方程直接相减即得） 11. 点与圆的位置关系点与圆的位置关系 点 00 (,)P xy与圆 222 )()(rbyax的位置关系有三种： 若 22 00 ()()daxby，则dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内. 12. 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 直线0CByAx与圆 222 )()(rbyax的位置关系有三种:（其中 22 BA CBbAa d ） 0相离rd; 0相切r

11、d; 0相交rd. 13. 圆与圆与圆圆的的位置关系位置关系 设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，dOO 21 ， 条公切线外离4 21 rrd; 条公切线外切3 21 rrd; 条公切线相交2 2121 rrdrr; 条公切线内切1 21 rrd; 无公切线内含 21 rrd0. 第 4 页 共 4 页 14. 圆的切线方程圆的切线方程 (1)已知圆 22 0 xyDxEyF 若已知切点 00 (,)xy在圆上，则切线只有一条，其方程是： 00 00 ()() 0 22 D xxE yy x xy yF . 当 00 (,)xy在圆外时, 该方程 00 00 ()() 0

12、22 D xxE yy x xy yF 表示过两个切点的切点弦方程 过圆外一点的切线方程可设为 00 ()yyk xx，再利用相切条件求 k，这时必有两条切线，注意不要 漏掉平行于 y 轴的切线 斜率为 k 的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求 b，必有两条切线 (2)已知圆 222 xyr则过圆上的 000 (,)P xy点的切线方程为 2 00 x xy yr; 斜率为k的圆的切线方程为 2 1ykxrk . 15. 圆中的几个重要定理和结论圆中的几个重要定理和结论 （1）相交弦定理相交弦定理：P 是圆内任一点，过 P 作圆的两条弦 AB 和 CD，则 PAPB =PCPD. （2）

13、 （切）割线定理（切）割线定理：P 是圆外任意一点，过 P 任作圆的两条割(切)线 PAB，PCD，则 PAPB =PCPD. （3）圆幂定理：圆幂定理：P 是圆 O 所在平面上任意一点（可以在圆内，圆上，圆外） ，过点 P 任作一直线交圆 O 于 A，B 两点（A，B 两点可以重合，也可以之一和 P 点重合） ，圆 O 的半径为 r，则：PAPB=|PO2-r2|. 当 P 点在圆内的时候，PO2-r20，此时圆幂定理为切割线定理，割线定理或切线长定理. （4）从平面上任一点 A 作一圆周的任一割线，从 A 起到和圆周相交为止的两线段之积，称为 A 点对于这 个圆周的幂圆周的幂。对于已知两圆

14、有等幂的点的轨迹，是一条垂直于连心线的直线。 根轴根轴的定义：两圆等幂点的轨迹是一条直线，这条直线称为两圆的根轴。 性质性质 1：若两圆相交，则其根轴就是公共弦所在直线。 由于两圆交点对于两圆的幂都是 0，所以它们位于根轴上，而根轴是直线，所以根轴就是两交点的连线。 性质性质 2：若两圆相切，则其根轴就是过两圆切点的公切线（即性质 1 的极限情况） 。 性质性质 3：若三圆两两不同心，则其两两的根轴必交于一点或互相平行，相交时的交点称为根心。 16. 圆内接四边形圆内接四边形（四点共圆四点共圆）的常见的常见判定方法判定方法 1定义法：若存在一点 O，使 OA=OB=OC=OD，则 A，B，C，

15、D 四点共圆。 2定理 1：若凸四边形 ABCD 的对角互补，则此凸四边形 ABCD 有一外接圆。 特别地，当凸四边形 ABCD 中有一双对角都是 90时，此四边形有一外接圆，即有公共斜边的两直角三角 形的四个顶点共圆。 3视角定理：若折四边形 ABCD 中， ADBACB，则 A，B，C，D 四点共圆。即有公共边的两个三角 形，若它们该边所对角相等，则四点共圆。 4相交弦定理的逆定理：如果四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 P，且满足 PAPC=PBPD，则四 边形 ABCD 有一外接圆。 5切割线定理的逆定理：如果凸四边形 ABCD 一双对边 AB 与 DC 交于点 P，且满足 PAPC=PBPD， 则四边形 ABCD 有一外接圆。