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1、 数学必修数学必修 2 2 知识点知识点总结总结 一、直线与方程一、直线与方程 （1）直线的倾斜角）直线的倾斜角 定义：x 轴正向正向与直线向上方向向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x 轴平行 或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0180 （2）直线的斜率）直线的斜率 定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常 用 k 表示。即tank。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当 90,0时，0k； 当 180,90时，0k； 当 90时，k不存 在。 过两点的直线的斜率公式：)( 21 12 12 xx xx yy

2、k 注意下面四点：(1)当 21 xx 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90； (2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求 得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 （3）直线方程）直线方程 点斜式：点斜式：)( 11 xxkyy直线斜率 k，且过点 11, y x 注意：注意：当直线的斜率为 0时，k=0，直线的方程是y=y1。 当直线的斜率为 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l 上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。 斜截式：斜截式：bkxy，直线斜率为k，直线在y轴上的截

3、距为b 两点式：两点式： 11 2121 yyxx yyxx （ 1212 ,xxyy）直线两点 11, y x， 22,y x 截矩式：截矩式：1 xy ab 其中直线l与x轴交于点( ,0)a,与y轴交于点(0, )b,即l与x轴、y轴的截距截距分别为, a b。 一般式：一般式：0CByAx（A，B 不全为不全为 0） 注意：注意： 1 各式的适用范围 2 特殊的方程如： 平行于 x 轴的直线：by （b 为常数） ； 平行于 y 轴的直线：ax （a 为常数） ； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系（一）平行直线系 平行于

4、已知直线0 000 CyBxA（ 00,B A是不全为 0 的常数）的直线系： 0 00 CyBxA（C 为常数） （二）过定点的直线系（二）过定点的直线系 （）斜率为k的直线系： 00 xxkyy，直线过定点 00, y x； （） 过两条直线0: 1111 CyBxAl，0: 2222 CyBxAl的交点的直线系方程 为 0 222111 CyBxACyBxA（为参数） ，其中直线 2 l不在直线系中。 （6）两直线平行与垂直）两直线平行与垂直 当 111: bxkyl， 222 :bxkyl时， 212121 ,/bbkkll；1 2121 kkll 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时

5、，要注意斜率的存在与否。注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 （7）两条直线的交点）两条直线的交点 0: 1111 CyBxAl 0: 2222 CyBxAl相交 交点坐标即方程组 0 0 222 111 CyBxA CyBxA 的一组解。 方程组无解 21/l l ； 方程组有无数解 1 l与 2 l重合 （8）两点间距离公式：）两点间距离公式：设 1122 ( ,),A x yB xy，（）是平面直角坐标系中的两个点， 则 22 2121 |()()ABxxyy （9） 点到直线距离公式：） 点到直线距离公式： 一点 00, y xP到直线0: 1 CByAxl的距

6、离 22 00 BA CByAx d （10）两平行直线距离公式）两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。 二、圆的方程二、圆的方程 1、圆的定义：、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的 半径。 2、圆的方程、圆的方程 （1）标准方程）标准方程 2 22 rbyax，圆心ba,，半径为 r； （2）一般方程）一般方程0 22 FEyDxyx 当04 22 FED时，方程表示圆，此时圆心为 2 , 2 ED ，半径为 FEDr4 2 1 22 当04 22 FED时，表示一个点； 当04 22 FED时，方程不表示任何图

7、形。 （3）求圆方程的方法：）求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法： 先设后求。一般都采用待定系数法： 先设后求。 确定一个圆需要三个独立条件， 若利用圆的标准方程， 需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出 D，E，F； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系：、直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断： （1）设直线0:CByAxl，圆 2 22 :rbyaxC，圆心baC,到l的距离 为 22

8、BA CBbAa d ， 则有相离与Clrd；相切与Clrd；相交与Clrd （2）设直线0:CByAxl，圆 2 22 :rbyaxC，先将方程联立消元，得到 一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有 相离与Cl0；相切与Cl0；相交与Cl0 注：如果圆心的位置在原点，可使用公式 2 00 ryyxx去解直线与圆相切的问题，其中 00, y x表示切点坐标，r 表示半径。 (3)过圆上一点的切线方程：过圆上一点的切线方程： 圆 x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为 2 00 ryyxx (课本命题) 圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)

9、，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广) 4、圆与圆的位置关系：、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 设圆 2 2 1 2 11: rbyaxC， 2 2 2 2 22: RbyaxC 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 当rRd时两圆外离，此时有公切线四条； 当rRd时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当rRdrR时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线； 当rRd时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线； 当rR

10、d时，两圆内含； 当0d时，为同心圆。 三、立体几何初步三、立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共 边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示表示：用各顶点字母，如五棱柱 EDCBAABCDE 或用对角线的端点字母，如五棱柱 AD 几何特征几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且 相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥）棱锥 定义定义：有一

11、个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何 体 分类分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示表示：用各顶点字母，如五棱锥 EDCBAP 几何特征几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到 截面距离与高的比的平方。 （3）棱台：定义）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示表示：用各顶点字母，如五棱台 EDCBAP 几何特征几何特征：上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点

12、（4）圆柱：定义）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几 何体 几何特征几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图 是一个矩形。 （5）圆锥：定义）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何 体 几何特征几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：几何特征： 上下底面是两个圆； 侧面母线交于原圆锥的顶点； 侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：）球体：定义：以半圆的直

13、径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影） ；侧视图（从左向右） 、 俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图、空间几何体的直观图斜二测画法斜二测画法 斜二测画法特点：斜二测画法特点：原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平

14、行且长度不变； 原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行，长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，为底面周长，h 为高，为高， h 为斜高，为斜高，l 为母线）为母线） chS 直棱柱侧面积 rhS2 圆柱侧 2 1 chS 正棱锥侧面积 rlS 圆锥侧面积 )( 2 1 21 hccS 正棱台侧面积 lRrS)( 圆 台 侧 面 积 lrrS2 圆柱表 lrrS 圆锥表 22 RRlrlr

15、S 圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式）柱体、锥体、台体的体积公式 VSh 柱 2 VS hr h 圆柱 1 3 VS h 锥 hrV 2 3 1 圆锥 1 () 3 VSS SS h 台 22 11 ()() 33 VSS SS hrrRRh 圆台 （4）球体的表面积和体积公式：）球体的表面积和体积公式：V球= 3 4 3 R ； S球面= 2 4 R 4、空间点、直线、平面的位置关系、空间点、直线、平面的位置关系 （1）平面）平面 平面的概念：平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的； 平面的表示：平面的表示：通常用希腊字母、表示，如平面（通常写在一个锐角内） ； 也可以

16、用两个相对顶点的字母来表示，如平面 BC。 点与平面的关系：点与平面的关系：点 A 在平面内，记作A；点A不在平面内，记作A 点与直线的关系：点与直线的关系：点 A 的直线 l 上，记作：Al； 点 A 在直线 l 外，记作 Al； 直线与平面的关系直线与平面的关系：直线 l 在平面内，记作 l；直线 l 不在平面内，记作 l。 （2）公理）公理 1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面 内。 （即直线在平面内，或者平面经过直线） 应用：应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理用符号语言表示公理 1：,Al Bl ABl （3）公理）公理

17、2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论：推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一 平面。 公理公理 2 及其推论作用：及其推论作用：它是空间内确定平面的依据 它是证明平面重合的依据 （4）公理）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直 线 符号：符号：平面和相交，交线是 a，记作a。 符号语言：符号语言：,PABABl Pl 公理公理 3 的作用：的作用： 它是判定两个平面相交的方法。 它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。 它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。 （

18、5）公理）公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 （6）空间直线与直线之间的位置关系）空间直线与直线之间的位置关系 异面直线定义：异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 异面直线性质异面直线性质：既不平行，又不相交。 异面直线判定：异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 异面直线所成角异面直线所成角：直线 a、b 是异面直线，经过空间任意一点 O，分别引直线 aa，b b，则把直线 a和 b所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a 和 b 所成的角。两条异面直线 所成角的范围是（0，90，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线两条异面

19、直线 互相垂直。互相垂直。 说明说明： （1）判定空间直线是异面直线方法：根据异面直线的定义；异面直线的判定定理 （2）在异面直线所成角定义中，空间一点 O 是任取的，而和点 O 的位置无关。 求异面直线所成角步骤： A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点 选在特殊的位置上。 B、证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角 （7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。 （8）空间直线与平面之间的位置关系）空间直线与平面之间的位置关系 直线在

20、平面内有无数个公共点 三种位置关系的符号表示：三种位置关系的符号表示：a aA a （9）平面与平面之间的位置关系：）平面与平面之间的位置关系：平行没有公共点； 相交有一条公共直线。b 5、空间中的平行问题、空间中的平行问题 （1）直线与平面平行的判定及其性质）直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 线线平行线面平行 线面平行的性质定理：线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交， 那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行 （2）平面与平面平行的判定及其性质）平面与平

21、面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理两个平面平行的判定定理 （1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 （线面平行面面平行） ， （2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。 （线线平行面面平行） ， （3）垂直于同一条直线的两个平面平行， 两个平面平行的性质定理两个平面平行的性质定理 （1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。 （面面平行线面平 行） （2） 如果两个平行平面都和第三个平面相交， 那么它们的交线平行。（面面平行线线平行） 7、空间中的垂直问题、空间中的垂直问题 （1）线线、面面、线面垂直的定

22、义）线线、面面、线面垂直的定义 两条异面直线的垂直： 如果两条异面直线所成的角是直角， 就说这两条异面直线互相垂直。 线面垂直： 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直， 就说这条直线和这个平面垂 直。 平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形）是直二面角（平面角是直角） ，就说这两个平面垂直。 （2）垂直关系的判定和性质定理）垂直关系的判定和性质定理 线面垂直判定定理和性质定理线面垂直判定定理和性质定理 判定定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直， 那么这条直线垂直这个平面。 性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条

23、直线平行。 面面垂直的判定定理和性质定理面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 性质定理： 如果两个平面互相垂直， 那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一 个平面。 9、空间角问题、空间角问题 （1）直线与直线所成的角）直线与直线所成的角 两平行直线所成的角：规定为 0。 两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角。 两条异面直线所成的角：过空间任意一点 O，分别作与两条异面直线 a，b 平行的直线 ba , ，形成两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所 成的角

24、。 （2）直线和平面所成的角）直线和平面所成的角 平面的平行线与平面所成的角： 规定为 0。 平面的垂线与平面所成的角： 规定为 90。 平面的斜线与平面所成的角： 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角， 叫做这条 直线和这个平面所成的角。 求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角： “一作，二证，三计算” 。 在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线， 在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息： （1）斜线上一点到面的垂线； （2）过斜线上的一 点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。 （3）二）二面角和二面角的平面角面角和二面角的平面角

25、二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角， 这条直线叫做二 面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。 二面角的平面角： 以二面角的棱上任意一点为顶点， 在两个面内面内 分别作垂直于垂直于 棱的两条射 线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平 面垂直，那么所成的二面角为直二面角 求二面角的方法 定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角 垂面法： 已知二面角内一点到两个面的垂线时， 过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为

26、 二面角的平面角 7、空间直角坐标系、空间直角坐标系 （1）定义）定义：如图， , OBCDD ABC是单位正方体.以 A 为原点， 分别以 OD,O , A,OB 的方向为正方向，建立三条数轴x轴.y轴.z轴。 这时建立了一个空间直角坐标系 Oxyz. 1）O 叫做坐标原点 2）x 轴，y 轴，z 轴叫做坐标轴. 3）过每两个坐标轴的平面叫做坐 标面。 （2）右手表示法：）右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时，可能形成的位置。大拇指指 向为 x 轴正方向，食指指向为 y 轴正向，中指指向则为 z 轴正向，这样也可以决定三轴间 的相位置。 （3）任意点坐标表示：）任意点坐标表示：空间一点 M 的坐标可以用有序实数组( , , )x y z来表示，有序实数组 ( , , )x y z 叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作( , , )M x y z（x 叫做点 M 的横坐标， y 叫做点 M 的纵坐标，z 叫做点 M 的竖坐标） （4）空间两点距离坐标公式：）空间两点距离坐标公式： 2 12 2 12 2 12 )()()(zzyyxxd