高中数学必修1函数及其表示题型总结.doc

1、 1 函数及其表示函数及其表示 考点一考点一 求定义域的几种情况求定义域的几种情况 若 f(x)是整式，则函数的定义域是实数集 R； 若 f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于 0 的实数集； 若 f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于 0 的实数集合； 若 f(x)是对数函数，真数应大于零。 .因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。 若 f(x)是由几个部分的数学式子构成的， 则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； 若 f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题 考点二考点二 映射映射个数公式个数公式 Card(A)=

2、m,card(B)=n, m,n N ,则从 A 到 B 的映射个数为n m 。简单说成“前指后底” 。 方法技巧清单方法技巧清单 方法一方法一 函数定义域的求法函数定义域的求法 1 （2009 江西卷文）函数 2 34xx y x 的定义域为 （ ） A 4,1 B 4,0) C(0,1 D 4,0)(0,1 解析 由 2 0 340 x xx 得40 x 或01x,故选 D. 2 （2009 江西卷理）函数 2 ln(1) 34 x y xx 的定义域为 ( ) A( 4,1) B( 4,1) C( 1,1) D( 1,1 解析 由 2 101 11 41340 xx x xxx .故选

3、C 3.（2009 福建卷文）下列函数中，与函数 1 y x 有相同定义域的是 ( ) A .( )lnf xx B. 1 ( )f x x C. ( ) |f xx D.( ) x f xe 解析 由 1 y x 可得定义域是0. ( )lnxf xx的定义域0 x ； 1 ( )f x x 的定义域是x0；( ) |f xx 2 的定义域是;( ) x xR f xe定义域是xR。故选 A. 4.（2002007 7 年上海）年上海）函数 3 )4lg( x x y的定义域是 答案 34xxx且 5.求下列函数的定义域。y=22xx.y= xx x 1 2 .y=xx11 6.已知函数 f

4、(x)的定义域为,51，求函数 F(x)=f(3x-1)-f(3x+1)的定义域。 方法二方法二 函数概念的考察函数概念的考察 1. 1. 下列各组函数中表示同一函数的是（下列各组函数中表示同一函数的是（ ）A.y=A.y=5 5 x 和和 x y 2 B.y=lnB.y=lne x 和和 e x y ln C.C. 3 1 31 xy x xx y和 D.D. x x yy 0 01 和 2 2函数函数 y=f(x)y=f(x)的图像与直线的图像与直线 x=2x=2 的公共点个数为的公共点个数为 A. 0 个 B. 1 个 C. 0 个或 1 个 D. 不能确定 3已知函数 y=2 2 x

5、定义域为2 , 1 . 0 , 1，则其值域为 方法三 分段函数的考察 求分段函数的定义域和值域 2x+2 x0 , 1 1 求函数 f(x)= x 2 1 x2 , 0 的定义域和值域 3 x, 2 2 2（20102010 天津文数）天津文数）设函数 2 ( )2()g xxxR， ( )4,( ), ( ),( ). ( )g x xx g x g xx x g x f x 则( )f x的值域是 （A） 9 ,0(1,) 4 （B）0,) （C） 9 ,) 4 （D） 9 ,0(2,) 4 【解析】依题意知 22 22 2(4),2 ( ) 2,2 xxxx f x xx xx ， 2

6、 2 2,12 ( ) 2, 12 xxx f x xxx 或 求分段函数函数值 3 3 （ （20102010 湖北文数）湖北文数）3.已知函数 3 log,0 ( ) 2 ,0 x x x f x x ，则 1 ( ( ) 9 f f A.4 B. 1 4 C.-4 D- 1 4 【解析】根据分段函数可得 3 11 ( )log2 99 f ，则 2 11 ( ( )( 2)2 94 f ff ，所以 B 正确. 3 解分段函数不等式 4.（2009 天津卷文）设函数 0, 6 0, 64 )( 2 xx xxx xf则不等式) 1 ()(fxf的解集是（ ） A.), 3() 1 , 3

7、( B.), 2() 1 , 3( C.), 3() 1 , 1( D.) 3 , 1 () 3,( 答案 A 解析 由已知，函数先增后减再增当0 x，2)(xf3) 1 (f令, 3)(xf 解得3, 1xx。当0 x，3, 36xx故3) 1 ()( fxf ，解得313xx或 5 （2009 天津卷理）已知函数 0,4 0,4 )( 2 2 xxx xxx xf若 2 (2)( ),faf a则实数a 的取值范围是 A (, 1)(2,) B ( 1,2) C ( 2,1) D (, 2)(1,) 解析：由题知)(xf在R上是增函数，由题得aa 2 2，解得12 a，故选择 C。 6.（

8、2009 北京理）若函数 1 ,0 ( ) 1 ( ) ,0 3 x x x f x x 则不等式 1 |( )| 3 f x 的解集为_. 解析 （1） 由 0 1 | ( )|30 11 3 3 x f xx x . （2） 由 0 0 1 | ( )|01 1111 3 3333 x x x x f xx . 不等式 1 |( )| 3 f x 的解集为| 31xx ，应填3,1. 7 7。 （。 （20102010 天津理数）天津理数）若函数 f(x)= 2 1 2 log,0, log (),0 x x x x ,若 f(a)f(-a),则实数 a 的取值范围是 （A） （-1，0）

9、（0，1） （B） （-，-1）（1,+） （C） （-1，0）（1,+） （D） （-， -1）（0,1） 【答案】C 由分段函数的表达式知，需要对 a 的正负进行分类讨论。 2112 22 0a0 ( )() logloglog ()log () a f afa aaaa 或 00 1-10 11 2 aa aa aa a 或或 【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于 0，同 事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。 解分段函数方程 4 8 （2009 北京文）已知函数 3 ,1, ( ) ,1, x x f x xx 若( )2f

10、x ，则x . .w 解析 5.u.c 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x的值. 属于基础知识、基本运算的 考查. 由 3 1 log 2 32 x x x ， 1 22 x xx 无解，故应填 3 log 2. 方法四 求函数的解析式 1 求下列函数的解析式 已知).(, 11 3 3 xf x xf x x 求 ).(lg1 2 xfx x f，求已知 已知 f(x)是二次函数，若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1,求 f(x). 已知 f(x)满足 .3 1 2x x fxf 求 f(x). 方法五 函数图像的考察 1. (2009 山东卷理)函数 xx xx e

11、e y ee 的图像大致为 ( ). 1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O 5 解 析 函 数 有 意 义 , 需 使0 xx ee, 其 定 义 域 为0|xx, 排 除C,D, 又 因 为 2 22 12 1 11 xxx xxxx eee y eeee ,所以当0 x 时函数为减函数,故选 A. 2.（2009 广东卷理）已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶甲 车、乙车的速度曲线分别为vv乙 甲和 （如图 2 所示） 那么对于图中给定的 01 tt和，下列判断中一定正 确的是 （ ） A. 在 1 t时

12、刻，甲车在乙车前面 B. 1 t时刻后，甲车在乙车后面 C. 在 0 t时刻，两车的位置相同 D. 0 t时刻后，乙车在甲车前面 解析 由图像可知，曲线 甲 v比 乙 v在 0 0 t、0 1 t与x轴所围成图形面积大， 则在 0 t、 1 t时刻，甲车均在乙车前面，选 A. 3.（2009 江西卷文）如图所示，一质点( , )P x y在xOy平面上沿曲线运动， 速度大小不变，其在x轴上的投影点( ,0)Q x的运动速度( )VV t的图象 大致为 ( ) A B C DA B C D 解析 由图可知， 当质点( , )P x y在两个封闭曲线上运动时， 投影点( ,0)Q x的速度先由正到

13、 0、 到负数， 再到 0，到正，故A错误；质点( , )P x y在终点的速度是由大到小接近 0，故D错误；质点( , )P x y在开 始时沿直线运动，故投影点( ,0)Q x的速度为常数，因此C是错误的，故选B. 4 4（20102010 山东理数）山东理数）(11)函数y=2x - 2 x的图像大致是 O ( )V t tO ( )V t t O ( )V t t O ( )V t t y xO ( , )P x y ( ,0)Q x 6 【解析】因为当 x=2 或 4 时，2x - 2 x=0，所以排除 B、C；当 x=-2 时，2x - 2 x= 1 4lge0,知 ab,又 c=

14、 2 1 lge, 作商比较知 cb,选 B。 3.（2009 辽宁卷文）已知偶函数( )f x在区间0,)单调增加，则满足(21)fx 1 ( ) 3 f的 x 取值范围 是 ( ) （A） （ 1 3 ， 2 3 ） B. 1 3 ， 2 3 ） C.（ 1 2 ， 2 3 ） D. 1 2 ， 2 3 ） 9 答案 A 解析 由于 f(x)是偶函数,故 f(x)f(|x|)得 f(|2x1|)f( 1 3 ),再根据 f(x)的单调性得|2x1| 1 3 解得 1 3 x 2 3 4. （2009陕西卷文） 定义在R上的偶函数( )f x满足： 对任意的 1212 ,0,)()x xxx

15、， 有 21 21 ()() 0 f xf x xx . 则 ( ) (A)(3)( 2)(1)fff B.(1)( 2)(3)fff C. ( 2)(1)(3)fff D.(3)(1)( 2)fff 答案 A 解析 由 2121 ()( ()()0 xxf xf x等价，于 21 21 ()() 0 f xf x xx 则( )f x在 1212 ,(,0()x xxx 上单调递增, 又( )f x是偶函数,故( )f x在 1212 ,(0,()x xxx单调递减.且满足 * nN时, ( 2)(2)ff, 0321 ,得 (3)( 2)(1)fff,故选 A. 5.(2009 陕西卷理)

16、定义在 R 上的偶函数( )f x满足：对任意 的 1212 ,(,0()x xxx ，有 2121 ()( ()()0 xxf xf x. 则当 * nN时,有 ( ) (A)()(1)(1)fnf nf n B.(1)()(1)f nfnf n C. C.(1)()(1)f nfnf n D.(1)(1)()f nf nfn 答案 C 6.（2009 江苏卷）已知 51 2 a ，函数( ) x f xa，若实数m、n满足( )( )f mf n，则m、n的大小 关系为 . 解析 51 (0,1) 2 a ，函数( ) x f xa在 R 上递减。由( )( )f mf n得：mnn-10

17、, 10 7 7 （ （20102010 安徽文数）安徽文数） （7）设 232 555 322 555 abc（ ）,（ ） ，（ ），则 a，b，c 的大小关系是 （A）acb （B）abc （C）cab （D）bca 7.A【解析】 2 5 yx在0 x 时是增函数，所以ac， 2 ( ) 5 x y 在0 x 时是减函数，所以cb。 方法十一抽象函数的解法方法十一抽象函数的解法 1.（2009 四川卷理）已知函数( )f x是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有 (1)(1) ( )xf xx f x，则 5 ( ( ) 2 f f的值是 ( ) A.0 B. 1 2

18、 C.1 D. 5 2 答案 A 解析 令 2 1 x，则0) 2 1 () 2 1 ( 2 1 ) 2 1 ( 2 1 ) 2 1 ( 2 1 ffff；令0 x，则0)0( f 由(1)(1) ( )xf xx f x得)( 1 )1(xf x x xf ，所以 0)0() 2 5 (0) 2 1 ( 2 1 2 3 3 5 ) 2 3 ( 3 5 ) 2 3 ( 2 3 2 5 ) 2 5 ( fffffff，故选择 A。 2.(2009 山东卷理)已知定义在 R 上的奇函数)(xf， 满足(4)( )f xf x ,且在区间0,2上是增函数,若方 程 f(x)=m(m0)在区间8 ,

19、8上有四个不同的根 1234 ,x xx x,则 1234 _.xxxx 答案 -8 解析 因为定义在 R 上的奇函数，满足(4)( )f xf x ,所以(4)()f xfx,所以, 由 )(xf为奇函数,所以函数图象关于直线2x 对称且(0)0f,由(4)( )f xf x 知(8)( )f xf x,所以 函数是以8为周期的周期函数,又因为)(xf在区间0,2上是增函数,所以)(xf在区间-2,0上也是增函数. 如图所示,那么方程 f(x)=m(m0)在区间8 , 8上有四个不同的根 1234 ,x xx x,不妨设 1234 xxxx由 对称性知 12 12xx 34 4xx所以 12

20、34 1248xxxx -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) 11 方法十二 对数函数的考察 3 3（20102010 全国卷全国卷 1 1 文文数）数）(7)已知函数( ) |lg|f xx.若ab且，( )( )f af b，则ab的取值范围是 (A)(1,) (B)1,)(C) (2,) (D) 2,) C【命题意图】做本小题时极易忽视 a 的取值范围，而利用均值不等式求得 a+b= 1 2a a ,从而错选 D,【解析 1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以 a=b(舍去)，或 1 b a ，所以 a+b= 1 a a 又

21、0ab,所以 0a1f(1)=1+1=2, 即 a+b 的取值范围是(2,+). 【解析 2】由 0ab,且f(a)=f(b)得： 01 1 1 a b ab ，利用线性规划得： 01 1 1 x y xy ，化为求zxy的取值 范围问题，zxyyxz ， 2 11 1yy xx 过点 1,1时 z 最小为 2,(C) (2,) 4 4（20102010 全国卷全国卷 1 1 理数）理数） （10）已知函数f(x)=|lgx|.若 0ab,且f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是 (A)(2 2,) (B)2 2,) (C)(3,) (D)3,) 方法十三函数创新题的解法方法十三函数创

22、新题的解法 1.(2009 浙江理）对于正实数，记M为满足下述条件的函数( )f x构成的集合： 12 ,x xR且 21 xx， 有 212121 ()()()()xxf xf xxx下列结论中正确的是 ( ) A若 1 ( )f xM， 2 ( )g xM，则 12 ( )( )f xg xM 12 B若 1 ( )f xM， 2 ( )g xM，且( )0g x ，则 1 2 ( ) ( ) f x M g x C若 1 ( )f xM， 2 ( )g xM，则 12 ( )( )f xg xM D若 1 ( )f xM， 2 ( )g xM，且 12 ，则 12 ( )( )f xg

23、xM 答案 C 解析 对于 212121 ()()()()xxf xf xxx，即有 21 21 ()()f xf x xx ，令 21 21 ()()f xf x k xx ，有k，不妨设 1 ( )f xM， 2 ( )g xM，即有 11,f k 22g k， 因此有 1212fg kk，因此有 12 ( )( )f xg xM 2.（2009 福建卷理）函数( )(0)f xaxbxc a的图象关于直线 2 b x a 对称。据此可推测，对任意 的非零实数 a，b，c，m，n，p，关于 x 的方程 2 ( )( )0m f xnf xp的解集都不可能是 ( ) A. 1,2 B 1,4 C 1,2,3,4 D 1,4,16,64 答案 D 解析 对方程 2 ( )( )0m f xnf xP中, ,m n p分别赋值求出( )f x代入( )0f x 求出检验 即得.