高中数学必修二知识点总结.docx

1、必修二复习（立体几何）必修二复习（立体几何） 第一章第一章柱、锥、台、球的结构特征柱、锥、台、球的结构特征 一、柱、锥、台、球的结构特征 1、棱柱 (1)结构特征：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边 都互相平行，由这些面围成的多面体。 注意：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗？注意：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗？ 答：不一定是如图所示，不是棱柱答：不一定是如图所示，不是棱柱 （2）棱柱的性质棱柱的性质 1.侧棱都相等，侧面都是平行四边形；侧棱都相等，侧面都是平行四边形； 2.两个底面与平行于底面的截面都是

2、全等的多边形两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形； 3.平行于侧棱的截面都是平行四边形；平行于侧棱的截面都是平行四边形； （3）棱柱的分类棱柱的分类 按侧棱是否和底面垂直分类按侧棱是否和底面垂直分类： 按边数分按边数分：三棱柱三棱柱 四棱柱四棱柱 五棱柱五棱柱 按侧棱是否与底面垂直分按侧棱是否与底面垂直分：斜棱柱斜棱柱 直棱柱直棱柱 正棱柱正棱柱 2、棱锥棱锥 （1）结构特征结构特征：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形 （2）棱锥的分类 按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、 正棱锥：底面是正多边形，并且

3、顶点在底面内的射影是底面中心的棱锥。 定义： 有一个面是多边形， 其余各面是有一个公共顶点的三角形， 由这些面所围成的几何体叫棱锥。 如果一个棱锥的底面是正多边形， 并且顶点在底面的射影是底面中心， 这样的棱锥叫做正棱 锥。 性质 、正棱锥的性质 (1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。 (2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在 底面上的射影也组成一个直角三角形。 正棱锥性质 2：棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组成一个直角三角形。棱锥的高、侧棱 和侧棱在底面的射影组成一个直角三角形 棱台由棱锥截得而成，所以在棱台中也有类似的直角梯形。 3 棱台

4、 结构特征：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台. 4 圆柱 结构特征：以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做 圆柱。 5 圆锥 结构特征：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成 的几何体叫做圆锥 6 圆台 结构特征：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分是圆台. 7 球 结构特征：以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体. 8 空间几何体的表面积和体积 练习练习题题 1.设棱锥的底面面积为设棱锥的底面面积为 8cm2，那么这个棱锥的中截面，那么这个棱锥的中截面(过棱锥的

5、中点且平行于底面的截面过棱锥的中点且平行于底面的截面) 的面积是的面积是( ) 2.若一个锥体被平行于底面的平面所截，若截面面积是底面面积的四分之一，则锥体被截面若一个锥体被平行于底面的平面所截，若截面面积是底面面积的四分之一，则锥体被截面 截得的一个小锥与原棱锥体积之比为截得的一个小锥与原棱锥体积之比为( ) (A)1 : 4 (B) 1 : 3 (C) 1 : 8 (D) 1 : 7 6.如图，等边圆柱（轴截面为正方形如图，等边圆柱（轴截面为正方形 ABCD）一只蚂蚁在）一只蚂蚁在 A 处，想吃处，想吃 C1处的蜜糖，怎么走才处的蜜糖，怎么走才 最快，并求最短路线的长？最快，并求最短路线的

6、长？ 二、空间几何体的三视图和直观图二、空间几何体的三视图和直观图 平行投影法平行投影法 投影线相互平行的投影法投影线相互平行的投影法. （1）斜投影法）斜投影法 投影线倾斜于投影面的平行投影法称为斜投影法投影线倾斜于投影面的平行投影法称为斜投影法. （2）正投影法）正投影法 投影线垂直于投影面的平行投影法称为正投影法投影线垂直于投影面的平行投影法称为正投影法. 有关概念有关概念：物体向投影面投影所得到的图形称为视图。物体向投影面投影所得到的图形称为视图。 如果物体向三个互相垂直的投影面分别投影，所得到的三个图形摊平在一个平面上，如果物体向三个互相垂直的投影面分别投影，所得到的三个图形摊平在一

7、个平面上， 则就是三视图。则就是三视图。 三视图的作图步骤三视图的作图步骤 1.确定视图方向确定视图方向 2.先画出能反映物体真实形状的一个视图先画出能反映物体真实形状的一个视图 3.运用长对正、高平齐、宽相等的原则画出其它视图运用长对正、高平齐、宽相等的原则画出其它视图 4.检查检查,加深加深,加粗。加粗。 斜二测画法步骤是： （1）在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，两轴相交于点 O。画直观图时，把它们画成 对应的 x轴和 y轴，两轴交于点 O，且使xOy=45（或 135 ） ，它们确定的平面表示水 平面。 （2） 已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段， 在直观图中分别画成平

8、行于 x轴或 y轴的线段。 （3）已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段，长 度为原来的一半。 练 1： 圆柱的正视图、侧视图都是 ，俯视图是 ； （矩形、圆） 圆锥的正视图、 侧视图都是 ， 俯视图是 ； （三角形、 圆及圆心） 圆台的正视图、侧视图都是 ，俯视图是 。 （梯形、圆环） 练 2：利用斜二测画法可以得到： 三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；正方形的 直观图是正方形；菱形的直观图是菱形。以上结论正确的是（ ）A （A） （B） （C） （D） 练 3 ： 根 据 三 视 图 可 以 描 述 物 体 的 形 状 ， 其

9、中 根 据 左 视 图 可 以 判 断 物 体 的 ；根据俯视图可以判断物体的 ；根据 正视图可以判断物体的 （宽度和高度 、长度和宽度 、长度和高度 ） 练 4：某生画出了图中实物的正视图与俯视图，则下列判断正确的是（ ） A.正视图正确，俯视图正确 B.正视图正确，俯视图错误 C. 正 视 图 错 误 ， 俯 视 图 正 确 D. 正 视 图 错 误 ， 俯 视 图 错 误 练 5：下图中三视图所表示物体的形状为（ ） （答案：一个倒放着的圆锥） 主视图 左视图 俯视图 6.一平面图形的直观图如图所示，它原来的面积是（ ） 7.如图所示， ABC 的直观图ABC,这里AB C是边长为 2

10、的正三角形，作出ABC 的 平面图 ，并求ABC 的面积. 8 、正三 棱柱的 侧棱为 2 ，底面 是边 长为 2 的 正三角 形， 则侧视 图的面 积为 9 将正三棱柱截去三个角（如图 1 所示分别是三边的中点）得到几何体如图 2，则该几何体 按 图2所 示 方 向 的 侧 视 图 （ 或 称 左 视 图 ） 为 （ ） 10 如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为 1，那么几何体的体，那么几何体的体 积为积为 11.已知某个几何体的三视图如图已知某个几何体的三视图如图 2，根据图中标出的尺寸（单位：，根据图中标出

11、的尺寸（单位：cm） ，可得这个几何体的） ，可得这个几何体的 体积是体积是_. 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 四个公理 直线与直线位置关系 三类关系三类关系 直线与平面位置关系直线与平面位置关系 平面与平面位置关系平面与平面位置关系 线线角线线角 三种角三种角 线面角线面角 二面角二面角 线面平行的判定定理与性质定理线面平行的判定定理与性质定理 线面垂直的判定定理与性质定理线面垂直的判定定理与性质定理 八个定理八个定理 面面平行的判定定理与性质定理面面平行的判定定理与性质定理 面面垂直的判定定理与性质定理面面垂直的判定定理与性质定理 1、四个公理 公理 1：如果一条直线上有两点在一个

12、平面内，那么直线在平面内.（常用于证明直线在平面 内） 公理 2：不共线的三点确定一个平面. （用于确定平面）. 推论 1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论 2：两条相交直线确定一个平面. 推论 3：两条平行直线确定一个平面. 公理 3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线 （两个平面的交线）. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 2、三类关系 （1）线线关系： 共面:ab=A,a/b 异面:a与b异面 异面直线： （1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线异面直线； （2）判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直

13、线是异面 直线。 异面直线所成的角： （1）范围：0 ,90； （2）作异面直线所成的角：平移法 （2）线面关系）线面关系 / / l lA l l 直线与平面所成的角（简称线面角） ：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内 射影的夹角。 （3）面面关系面面关系 平行： / 斜交：=a 相交 垂直： 二面角： （1）定义： 【如图】 ；范围：0 ,180 AOB ,OBl OAlAOBl 是二面角 的平面角 作二面角的平面角的方法： （1）定义法； （2）三垂线法（常用） ； （3）垂面法. 3、八个定理八个定理 1.线面平行：线面平行： 定义：直线与平面无公共点定义：直线与平面无公共

14、点. 判定定理：判定定理： / / ab aa b （线线平行（线线平行线面平行）线面平行） 性质定理：性质定理： / / a aab b （线面平行（线面平行线线平行）线线平行） 2.面面平行：面面平行： 定义：定义：/ ； 判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于 另一个平面，那么两个平面互相平行；另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述：符号表述：,/, /a babO ab 面面平行的性质面面平行的性质定理定理： / /aab b 判定与证明面面平行的依据：判定与证明面面平行的依据： （1）定义法； （）定义法； （2）判定定理及

15、结论）判定定理及结论 1； （； （3）结论）结论 2. 结论结论 1：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的 两条直线，那么这两个平面互相平行两条直线，那么这两个平面互相平行 符号表述：符号表述：, , ,/, / /a babO a baa bb 结论结论 2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行：垂直于同一条直线的两个平面互相平行. 符号表述：符号表述：,/aa.【如右图】【如右图】 3.线面垂直线面垂直 定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线， 则这条直线垂直于平面。 符号表述：若任意,a都有la，且l，则l. 判定定理： ,

16、a b abO ll la lb （线线垂直线面垂直） 性质定理：,/abab（线面垂直线线平行） ； 另：,lala （线面垂直线线垂直） ； 证明或判定线面垂直的依据：证明或判定线面垂直的依据： （1）定义（反证） ； （2）判定定理（常用）（常用） ； （3） /ab b a （较常用） ； （4） / a a ； （5） ab a a ab （面面垂直线面垂直） 4.面面垂直面面垂直 （1）定义：若二面角）定义：若二面角l 的平面角为的平面角为90，则，则； （2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那

17、么这两个平面互相垂直. a a （线面垂直（线面垂直面面垂直）面面垂直） (3)性质定理：性质定理： aAB a a aAB （面面垂直线面垂直） ； 基础知识网络：基础知识网络： 立体几何解题中的转化策略立体几何解题中的转化策略 位置关系的相互转化位置关系的相互转化： 大策略：空间大策略：空间 到到 平面平面 小策略：小策略： 平行转化：线线平行平行转化：线线平行 线面平行线面平行 面面平行面面平行 垂直转化：线线垂直垂直转化：线线垂直 线面垂直线面垂直 面面垂直面面垂直 平行关系平行关系 垂直关系 平行关系平行关系 平面几何知识平面几何知识 线线平行线线平行 线面平行线面平行 面面平行面面

18、平行 垂直关系垂直关系 平面几何知识平面几何知识 线线垂直线线垂直 线面垂直线面垂直 面面垂直面面垂直 判定 性质 判定推论 性质 判定 判定 性质 判定 面面垂直定义 1.,/aba b 2., /aa bb 3.,/aa 4./,aa 5./, 平行与垂直关系可互相转化 策略：线面平行转化成线线平行（空间转化平面） 1）求该多面体的表面积与体积（策略：空间几何体的相互转化 可考虑将该多面体补图成 正方体 策略：利用中位线将线面平行转化成线线平行 策略：将二面角转化成平面角, 先找后求 策略：将点面距离转化成点线距离 第第三三章章直线与直线方程直线与直线方程 两直线平行的判定两直线平行的判定

19、: 方法：方法： 两直线相交的判定两直线相交的判定: 两直线垂直的判定两直线垂直的判定: 4.点到直线的距离，平行线的距离点到直线的距离，平行线的距离 题型一题型一 求直线的方程求直线的方程 例例 1、求适合下列条件的直线方程：、求适合下列条件的直线方程： （1）经过点）经过点 P（3，2） ，且在两坐标轴上的截距相等；） ，且在两坐标轴上的截距相等； （2）经过点）经过点 A（-1，-3） ，且倾斜角等于直线） ，且倾斜角等于直线 y= 3x 的倾斜角的的倾斜角的 2 倍倍. 选择适当的直线方程选择适当的直线方程 形式，把所需要的条件求出即可形式，把所需要的条件求出即可. 解解 （1）方法一

20、）方法一 设直线设直线 l 在在 x,y 轴上的截距均为轴上的截距均为 a, 若若 a=0，即，即 l 过点（过点（0，0）和（）和（3，2） ，） ， l 的方程为的方程为 y= x，即，即 2x-3y=0. 若若 a0，则设，则设 l 的方程为的方程为 l 过点（过点（3，2） ，） ， a=5，l 的方程为的方程为 x+y-5=0, 综上可知，直线综上可知，直线 l 的方程为的方程为 2x-3y=0 或或 x+y-5=0. 方法二方法二 由题意知，所求直线的斜率由题意知，所求直线的斜率 k 存在且存在且 k0, 设直线方程为设直线方程为 y-2=k(x-3), 令令 y=0，得，得 x=

21、3- ,令令 x=0,得得 y=2-3k, 由已知由已知 3- =2-3k，解得，解得 k=-1 或或 k= , 直线直线 l 的方程为的方程为 y-2=-（x-3）或）或 y-2= (x-3), 即即 x+y-5=0 或或 2x-3y=0. （2）由已知：设直线）由已知：设直线 y=3x 的倾斜角为的倾斜角为 ， 则所求直线的倾斜角为则所求直线的倾斜角为 2 . tan =3,tan 2 = 又直线经过点又直线经过点 A（-1，-3） ，） ， 因此所求直线方程为因此所求直线方程为 y+3=- (x+1), 即即 3x+4y+15=0. 探究提高探究提高：方法一方法一 运用了数形结合思想运用

22、了数形结合思想.当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝 角时，需根据正切函数角时，需根据正切函数 y=tana 的单调性求的单调性求 k 的范围，数形结合是解析几何中的重要方法的范围，数形结合是解析几何中的重要方法. 解题时，借助图形及图形性质直观判断，明确解题思路，达到快捷解题的目的解题时，借助图形及图形性质直观判断，明确解题思路，达到快捷解题的目的. 方法二则巧妙利用了不等式所表示的平面区域的性质使问题得以解决方法二则巧妙利用了不等式所表示的平面区域的性质使问题得以解决. 题型三 两直线的位置关系 例 3：已知直线方程为(2)x(12)y930

23、. (1)求证不论 取何实数值，此直线必过定点； (2)过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程. 解：把直线方程整理为 2xy9(x2y3)0. 所以，不论 取何实数值，直线(2)x(12)y930 必过定点(3，3) (2) 设 经 过 点 ( 3 ， 3) 的 直 线 与 两 坐 标 轴 分 别 交 于 A(a,0) ， B(0 ， b) 9、 （、 （1）求）求 A（-2，3）关于直线对称点）关于直线对称点 B 的坐标；的坐标； （2）光线自）光线自 A（-3，3）射出，经）射出，经 x 轴反射以后经过点轴反射以后经过点 B（2，5） ，求入射光线和反射光线

24、） ，求入射光线和反射光线 的直线方程；的直线方程； （3）已知）已知 M（-3，5） ，） ，N（2，15） ，在直线上找一点） ，在直线上找一点 P，使，使|PM|+|PN|最小，并求出最小值最小，并求出最小值 第四章第四章 圆与方程圆与方程 1.(全国全国)圆心为圆心为(1,2)且与直线且与直线 5x-12y-7=0 相切的圆的方程为相切的圆的方程为 2.圆心在直线圆心在直线 2x-y-7=0 上的圆上的圆 C 与与 y 轴交于两点轴交于两点 A(0,-4),B(0,-2),求圆求圆 C 的方程的方程. 3.ABC 的三个顶点的坐标分别是的三个顶点的坐标分别是 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程求它的外接圆的方程. 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系： 例例2 2、求、求经经过过A(2,1),A(2,1),和直和直线线xy1xy1相相切切，且，且圆圆心心 在在直直线线y2xy2x上上的的圆圆的方的方程程。 3.122 5 313-20 5 yx lxy 圆满轴长为轴两 圆长为圆线为 该圆 例例已已知知足足：（）截截所所得得弦弦；（）被被分分成成段段 弧弧，其其弧弧的的比比；（）心心到到直直：的的距距离离， 求求的的方方程程。