1、第十章 概率 章章末知识梳理末知识梳理 核心知识归纳核心知识归纳 要点专项突破要点专项突破 知识体系构建知识体系构建 返回导航 第十章 概率 数学（必修第二册RJA） 知识体系构建知识体系构建 返回导航 第十章 概率 数学（必修第二册RJA） 返回导航 第十章 概率 数学（必修第二册RJA） 核心知识归纳核心知识归纳 返回导航 第十章 概率 数学（必修第二册RJA） 1随机试验的特点 (1)试验可以在相同条件下重复进行； (2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定 出现哪一个结果. 返回导航 第十章 概率 数学（必修第二
2、册RJA） 2有限样本空间与随机事件 (1)有限样本空间：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点， 用表示，全体样本点的集合称为试验E的样本空间，用表示，称样本 空间1，2，3，n为有限样本空间. (2)样本空间的子集称为随机事件，称为必然事件，称为不可能 事件. 返回导航 第十章 概率 数学（必修第二册RJA） 3事件的关系与运算 事件关系或运算 含义 符号表示 包含 A发生导致B发生 AB 并事件(和事件) A与B至少一个发生 AB或AB 交事件(积事件) A与B同时发生 AB或AB 互斥(互不相容) A与B不能同时发生 AB 互为对立 A与B有且仅有一个发生 AB，且AB 返回导航 第
3、十章 概率 数学（必修第二册RJA） 4古典概型计算公式 P(A)k n nA n， 其中 n(A)和 n()分别表示事件 A 和样本空间 包含 的样本点个数. 5概率的基本性质 性质 1 对任意事件 A，都有 P(A)0； 性质 2 必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0，即 P()1； P()0； 返回导航 第十章 概率 数学（必修第二册RJA） 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)； 性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)1P(A)， P(A)1P(B)； 性质5 如果AB，那么P(A)P(B)； 性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，
4、我们有P(AB) P(A)P(B)P(AB). 返回导航 第十章 概率 数学（必修第二册RJA） 6事件的相互独立性 对任意两个事件A与B，如果P(AB)P(A)P(B)成立，则称事件A与事 件B相互独立，简称为独立. 7频率与概率 一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即 事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的 这个性质为频率的稳定性.因此，可以用频率fn(A)估计概率P(A). 返回导航 第十章 概率 数学（必修第二册RJA） 要点专项突破要点专项突破 返回导航 第十章 概率 数学（必修第二册RJA） 从1,2,3，7这7个数中任取两
5、个数，其中： 恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； 至少有一个是奇数和两个都是奇数； 至少有一个是奇数和两个都是偶数； 至少有一个是奇数和至少有一个是偶数. 上述事件中，是对立事件的是 ( ) A B C D 要点一要点一 互斥事件、对立事件与相互独立事件 典典例例 1 C 返回导航 第十章 概率 数学（必修第二册RJA） 解析 中“至少有一个是奇数”，即“两个奇数或一奇一 偶”，而从17中任取两个数，根据取到数的奇偶性可认为共有三个事 件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一 个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件. 归纳提升 1互斥事件是不可能同时
6、发生的两个事件；对立事 件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生.因此对 立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互 斥事件的特殊情况. 2掌握互斥事件和对立事件的概率公式及应用，提升逻辑推理和 数学运算素养. 返回导航 第十章 概率 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (1)在 5 张电话卡中，有 3 张移动卡和 2 张联通卡， 从中任取 2 张， 若事件“2 张全是移动卡”的概率是 3 10， 那么概率是 7 10的 事件是 ( ) A至多有一张移动卡 B恰有一张移动卡 C都不是移动卡 D至少有一张移动卡 A 返回导航 第十章 概率 数学（必修第二册
7、RJA） (2)下列事件A，B是相互独立事件的是 ( ) A一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为 反面” B袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A 表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球” C掷一枚骰子，A表示“掷出点数为奇数”，B表示“掷出点数为 偶数” D有一个灯泡，A表示“灯泡能用1 000小时”，B表示“灯泡能用 2 000小时” A 返回导航 第十章 概率 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)“至多有一张移动卡”包含“一张移动卡，一张联通 卡”， “两张全是联通卡”两个事件， 它是“2 张全是移动卡”的对立事 件，其概率为 1 3 1
8、0 7 10. (2)B 选项由于是不放回摸球，故事件 A 与 B 不相互独立，C 选项中 A 与 B 为对立事件，D 选项中事件 B 受事件 A 影响，故选 A 返回导航 第十章 概率 数学（必修第二册RJA） (2019 全国卷)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测 量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标 的概率为 ( ) 要点二要点二 古典概型 典典例例 2 B A2 3 B3 5 C2 5 D1 5 返回导航 第十章 概率 数学（必修第二册RJA） 解析 设 5 只兔子中测量过某项指标的 3 只为 a1，a2，a3，未测量 过这项指标的 2 只为 b1，b2
9、，则从 5 只兔子中随机取出 3 只的所有可能 情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3， b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)， 共 10 种可能.其中恰有 2 只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2， b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共 6 种可能. 故恰有 2 只测量过该指标的概率为 6 10 3 5.故选 B 返回导航 第十章 概率 数学（必修第二册RJA） 归
10、纳提升 1古典概型是一种最基本的概率模型，是学习其他概 率模型的基础，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性 和等可能性.在应用公式 P(A)m n 时， 关键在于正确理解试验的发生过程， 求出试验的样本空间的样本点总数 n 和事件 A 的样本点个数 m. 2掌握古典概型的概率公式及其应用，提升数学抽象、数据分析的 数学素养. 返回导航 第十章 概率 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 某中学调查了某班全班 45 名同学参加书法社团和 演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人) 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团 2 30 (1)从该班随机选 1 名
11、同学， 求该同学至少参加上述一个社团的概率； (2)在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学 A1，A2，A3，A4，A5,3 名女同学 B1，B2，B3现从这 5 名男同学和 3 名女 同学中各随机选 1 人，求 A1被选中且 B1未被选中的概率. 返回导航 第十章 概率 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团 的有 30 人，故至少参加上述一个社团的共有 453015(人)，所以从该 班随机选 1 名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为 P15 45 1 3. 返回导航 第十章 概率 数学（必修第二册RJA） (2
12、)从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，其一切可能的结 果组成的样本空间 A1B1， A1B2， A1B3， A2B1， A2B2， A2B3， A3B1， A3B2， A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，A5B1，A5B2，A5B3，共含 15 个样本点. 根据题意这些样本点出现的可能性相等. 事件“A1被选中且 B1未被选中”所包含的样本点有 A1B2，A1B3，共 2 个. 所以其概率为 P 2 15. 返回导航 第十章 概率 数学（必修第二册RJA） 要点三要点三 相互独立事件概率的求法 典典例例 3 甲、 乙两人进行跳绳比赛， 规定： 若甲赢一局， 比赛结束， 甲
13、胜出；若乙赢两局，比赛结束，乙胜出.已知在一局比赛中甲、乙两人 获胜的概率分别为2 5， 3 5，则甲胜出的概率为_. 16 25 返回导航 第十章 概率 数学（必修第二册RJA） 解析 (方法一)甲胜的情况：举行一局比赛，甲胜出，比赛结束； 举行两局比赛，第一局乙胜、第二局甲胜.的概率分别为2 5， 3 5 2 5， 且这两个事件是互斥的，所以甲胜出的概率为2 5 3 5 2 5 16 25. (方法二)因为比赛只有甲胜出和乙胜出的两种结果， 而乙胜出的情况 只有一种，举行两局比赛都是乙胜出，其概率为3 5 3 5 9 25，所以甲胜出 的概率为 1 9 25 16 25. 返回导航 第十章
14、 概率 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 计算相互独立事件同时发生的概率，一般分为以下几 步： (1)先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，把这些事件分为 若干个彼此互斥的事件的和；(2)根据相互独立事件的概率公式计算出这 些彼此互斥的事件的概率；(3)根据互斥事件的概率加法公式求出结果. 返回导航 第十章 概率 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没 有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙 都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125 (1)分别求甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照顾的概率； (2
15、)计算这一小时内至少有一台机器需要照顾的概率. 返回导航 第十章 概率 数学（必修第二册RJA） 解析 记甲、乙、丙三台机器在某一小时内需要照顾分别为事件 A，B，C，则A，B，C两两相互独立. (1)由题意得 P(AB)P(A)P(B)0.05， P(AC)P(A)P(C)0.1， P(BC)P(B)P(C)0.125， P(A)0.2，P(B)0.25，P(C)0.5， 甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照顾的概率分别为 0.2,0.25,0.5 返回导航 第十章 概率 数学（必修第二册RJA） (2)A，B，C 两两相互独立， A ，B，C两两相互独立， 甲、乙、丙每台机器在一个小时内都
16、不需要照顾的概率为 P(A B C )P(A)P(B)P(C)0.80.750.50.3， 这一小时内至少有一台需要照顾的概率为 P1P(A B C )10.30.7 返回导航 第十章 概率 数学（必修第二册RJA） 某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质 进行了测试.现从男、女生中各随机抽取20人，把他们的测试数据，按照 国家学生体质健康标准整理如下表.规定：数据60，体质健康为合 格. 要点四要点四 频率与概率 典典例例 4 返回导航 第十章 概率 数学（必修第二册RJA） (1)从样本中随机选取一名学生，求这名学生体质健康为合格的概 率； (2)从男生样本和女生样本中各随机选取
17、一人，求恰有一人的体质健 康等级是优秀的概率. 等级 数据范围 男生人数 男生平均分 女生人数 女生平均分 优秀 90,100 5 91.3 2 91 良好 80,89 4 83.9 4 84.1 及格 60,79 8 70 11 70.2 不及格 60以下 3 49.6 3 49.1 合计 20 75.0 20 71.9 返回导航 第十章 概率 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)样本中合格的学生人数为 524481134， 样本 总数为 202040，则这名学生体质健康为合格的概率是34 40 17 20. (2)设事件 A 为“从男生样本中随机选出的人的体质健康等级是优 秀”，则 P(
18、A) 5 20 1 4.事件 B 为“从女生样本中随机选出的人的体质健 康等级是优秀”，则 P(B) 2 20 1 10. 因为 A， B 为独立事件， 故所求概率为 P(AB AB)P(AB)P(AB) 1 4 9 10 3 4 1 10 3 10. 返回导航 第十章 概率 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (2019 全国卷)甲、乙两队进行篮球决赛，采取 七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比 赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取 胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则 甲队以41获胜的概率是_. 0.18 返回导航 第十章 概率 数学（必修第二册RJA） 解析 甲队以41获胜，甲队在第5场(主场)获胜，前4场中有一 场输. 若在主场输一场，则概率为20.60.40.50.50.6； 若在客场输一场，则概率为20.60.60.50.50.6 甲队以41获胜的概率 P20.60.50.5(0.60.4)0.60.18
