1、第八章 立体几何初步 章章末知识梳理末知识梳理 核心知识归纳核心知识归纳 要点专项突破要点专项突破 知识体系构建知识体系构建 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 知识体系构建知识体系构建 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 核心知识归纳核心知识归纳 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 一、空间几何体的结构特征 1多面体及其结构特征 (1)棱柱：有两个平面(底面)互相平行；其余各面都是平行四边 形；每相邻两个平行四边形的公共边互相平行. (2)棱锥：有一个面(底面)是多边形
2、； 其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形. (3)棱台：上、下底面互相平行，且是相似图形；各侧棱延长线 相交于一点. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 2旋转体及其结构特征 (1)圆柱：圆柱的轴垂直于底面；圆柱的轴截面是矩形；圆柱 的所有母线相互平行且相等，且都与圆柱的轴平行；圆柱的母线垂直 于底面. (2)圆锥：圆锥的轴垂直于底面；圆锥的轴截面为等腰三角形； 圆锥的顶点与底面圆周上任一点的连线都是圆锥的母线，圆锥的母线 有无数条；圆锥的底面是一个圆面. (3)圆台：圆台的上、下底面是两个半径不等的圆面；圆台两底 面圆所在平面互相平行且和轴垂直；圆台有无数条母线；圆
3、台的母 线延长线交于一点. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 二、空间几何体的直观图 1斜二测画法中“斜”和“二测” “斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中 均与x轴成45或135； “二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x轴或z轴 的线段长度不变；平行于y轴的线段长度变为原来的一半. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 2斜二测画法中的建系原则 在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行， 但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形 的对称直线为坐标轴，图形的对称点为原点或利用原有
4、互相垂直的直线 为坐标轴等. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 三、空间几何体的表面积和体积 1多面体的表面积 各个面的面积之和，也就是展开图的面积. 2旋转体的表面积 圆柱：S2r22rl2r(rl). 圆锥：Sr2rlr(rl). 圆台：S(r2r2rlrl). 球：S4R2 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 3柱体、锥体、台体的体积公式 (1)柱体的体积公式： V 柱体Sh(S 底面面积，h 为高). (2)锥体的体积公式 V 锥体1 3Sh(S 底面面积，h 为高). (3)台体的体积公式 V 台体1 3(S SSS)h(S，S 分别为上
5、、下底面面积，h 为高). (4)球的体积公式 V4 3R 3 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 四、空间点、线、面之间的位置关系 1平面的基本性质 四个基本事实及其作用 基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. 作用：可用来确定一个平面；证明点线共面. 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直 线在此平面内. 作用：可用来证明点、直线在平面内. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且 只有一条过该点的公共直线. 作用：可用来确定两个平面的交线；判断或证明多点
6、共线； 判断或证明多线共点. 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行. 作用：判断空间两条直线平行的依据. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 2空间中两直线的位置关系 空间中两直线的位置关系 共面直线 平行 相交 异面直线：不同在任何一个平面内 3空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况. (2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 五、直线、平面平行的判定与性质 1直线与平面平行 (1)判定定理：平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该 直
7、线与此平面平行(线线平行线面平行). (2)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面 与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”). 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 2平面与平面平行 (1)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这 两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”). (2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们 的交线平行. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 六、直线、平面垂直的判定及其性质 1直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义： 直线l与平面内的任意一条直线都垂直
8、，就说直线l与平面互相垂 直. (2)异面直线所成的角： 定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线 aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所 成的角(或夹角). 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (3)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该 直线与此平面垂直. (4)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 2平面与平面垂直 (1)平面和平面垂直的定义： 两个平面相交，若所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直. (2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则
9、这两个平面互相垂 直. (3)性质定理：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线 垂直于另一个平面. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 要点专项突破要点专项突破 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 1空间几何体的表面积求法 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体表面积注意衔接部 分的处理. (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用. 2空间几何体体积问题常见类型 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则 可直接利用公式进行求解. (2)若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、 分割法、补形法
10、等方法进行求解. 要点一要点一 几何体的表面积与体积 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形 成的几何体的表面积和体积. 典典例例 1 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 由题意知，所求几何体的表面积由三部分组成： 圆台下底面、侧面和一半球面， S 半球8(cm2)，S圆台侧35(cm2)，S圆台底25(cm2)， 故所求几何体的表面积为 68 cm2 由 V 圆台1 32 2 2252524 52(cm3)，V 半球4 32 31 2 16 3 (cm3)， 所以所求几何体的体积为 V 圆
11、台V半球5216 3 140 3 (cm3). 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 如图所示，已知直三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱 长均为 1，则三棱锥 B1ABC1的体积为 ( ) A 3 12 B 3 4 C 6 12 D 6 4 A 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 解法 1：V 三棱锥 B1ABC1V 三棱柱 ABCA1B1C1V 三 棱锥 AA1B1C1V 三棱锥 C1ABC 3 4 3 12 3 12 3 12 . 解法 2：VB1ABC1VABB1C11 3 1 2(11) 3 2 3 12 . 返回导航 第八
12、章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 1判断线面平行的两种常用方法 面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法 是必要的，判定线面平行的两种方法： (1)利用线面平行的判定定理. (2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一 直线平行于另一平面. 2判断面面平行的常用方法 利用面面平行的判定定理. 要点二要点二 空间中的平行关系 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB平面 ABCD，MAPB，PB2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC 平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，
13、请说明理由. 典典例例 2 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 当点 F 是 PB 的中点时，平面 AFC平面 PMD，证明如下： 如图连接 BD 与 AC 交于点 O，连接 FO，则 PF1 2PB. 四边形 ABCD 是平行四边形， O 是 BD 的中点，OFPD. 又 OF平面 PMD，PD平面 PMD， OF平面 PMD. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 又 MAPB 且 MA1 2PB， PFMA 且 PFMA， 四边形 AFPM 是平行四边形， AFPM. 又 AF平面 PMD，PM平面 PMD， AF平面 PMD. 又 AFO
14、FF，AF平面 AFC，OF平面 AFC， 平面 AFC平面 PMD. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 如图，ABC为正三角形，EC平面ABC，DB 平面ABC，CECA2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面 DMN平面ABC. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 证明 M，N分别是EA与EC的中点，MNAC. 又AC平面ABC，MN平面ABC， MN平面ABC. DB平面ABC，EC平面ABC， BDEC. N是EC的中点，EC2BD， NCBD，NCBD. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 四
15、边形BCND为矩形，DNBC. 又DN平面ABC，BC平面ABC， DN平面ABC. 又MNDNN，MN平面DMN，DN平面DMN， 平面DMN平面ABC. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 1判定线面垂直的方法 (1)线面垂直定义. (2)线面垂直判定定理. (3)平行线垂直平面的传递性质(ab，ba). (4)面面垂直性质(，l，a，ala). 2判定面面垂直的方法 (1)面面垂直的定义. (2)面面垂直的判定定理. 要点三要点三 空间中的垂直关系 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD 2AB
16、，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点， 求证： (1)PA底面ABCD； (2)BE平面PAD； (3)平面BEF平面PCD. 典典例例 3 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 证明 (1)因为平面PAD底面ABCD，平面PAD底面ABCD AD，PA平面PAD，PAAD， 所以PA底面ABCD. (2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点， 所以ABDE，且ABDE. 所以四边形ABED为平行四边形， 所以BEAD. 又因为BE平面PAD，AD平面PAD， 所以BE平面PAD. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (
17、3)因为ABAD，且四边形ABED为平行四边形， 所以BECD，ADCD. 由(1)知PA底面ABCD，所以APCD. 又因为APADA，AP，AD平面PAD， 所以CD平面PAD，所以CDPD. 因为E和F分别是CD和PC的中点， 所以PDEF，所以CDEF. 又因为CDBE，EFBEE，EF，BF平面BEF， 所以CD平面BEF. 又CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 如图所示，已知AF平面ABCD，四边形ABEF为 矩形，四边形ABCD为直角梯形，DAB90，ABCD，ADAF CD2，AB4 (1)求证：A
18、C平面BCE； (2)求证：ADAE. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 证明 (1)在直角梯形 ABCD 中，ADCD2，AB4， 所以 ACBC2 2， 所以 AC2BC2AB2，所以 ACBC. 因为 AF平面 ABCD，AFBE， 所以 BE平面 ABCD，AC平面 ABCD， 所以 BEAC. 又 BE平面 BCE，BC平面 BCE，BEBCB， 所以 AC平面 BCE. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (2)因为AF平面ABCD，AD平面ABCD， 所以AFAD. 又DAB90，所以ABAD. 又AF平面ABEF，AB平面ABEF，
19、AFABA， 所以AD平面ABEF. 又AE平面ABEF，所以ADAE. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 1空间中的角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以 及二面角.这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置关系进行定 性分析和定量计算的重要组成部分，学习时要深刻理解它们的含义，并 能综合应用空间各种角的概念和平面几何的知识熟练解题.空间角的题目 一般都是各种知识的交汇点，因此，它是高考重点考查的内容之一，应 引起足够重视. 要点四要点四 空间中的角 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 2求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线
20、的夹角). 3求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影). 4常用的三种二面角的平面角的作法：(1)定义法；(2)垂线法；(3) 垂面法. 总之，求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的 计算步骤：一作，二证，三计算. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 如 图 ， 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ， AD 平 面 PDC ， ADBC，PDPB，AD1，BC3，CD4，PD2 (1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值； (2)求证：PD平面PBC； (3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值. 典典例例 4 返回导航 第八章 立体几何初步 数学
21、（必修第二册RJA） 解析 (1)解：由已知 ADBC，故DAP 或其补角即为异面直线 AP 与 BC 所成的角.因为 AD平面 PDC， PD平面 PDC， 所以 ADPD. 在 RtPDA 中， 由已知， 得 AP AD2PD2 5， 故 cosDAPAD AP 5 5 .所以异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为 5 5 . (2)证明： 因为 AD平面 PDC， 直线 PD平面 PDC， 所以 ADPD. 又 BCAD，所以 PDBC，又 PDPB，BCPBB，BC，PB平面 PBC，所以 PD平面 PBC. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (3)解：过点
22、 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F，连接 PF，则 DF 与平 面 PBC 所成的角等于 AB 与平面 PBC 所成的角. 因为 PD平面 PBC，故 PF 为 DF 在平面 PBC 上的射影，所以 DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角. 由于 ADBC，DFAB，故 BFAD1由已知，得 CFBCBF 2又 ADDC，故 BCDC. 在 RtDCF 中，可得 DF CD2CF22 5. 在 RtDPF 中，可得 sinDFPPD DF 5 5 . 所以直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 5 5 . 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练
23、习】 如图，正方体的棱长为1，BCBCO， 求： (1)AO与AC所成角的大小； (2)AO与平面ABCD所成角的正切值； (3)平面AOB与平面AOC所成角的大小. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)ACAC， AO 与 AC所成的角就是OAC. AB平面 BC，OC平面 BC， OCAB，又 OCBO，ABBOB，AB，BO平面 ABO， OC平面 ABO. 又 OA平面 ABO，OCOA. 在 RtAOC 中，OC 2 2 ，AC 2，sinOACOC AC 1 2， OAC30 .即 AO 与 AC所成角为 30 . 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (2)如图，作OEBC于E，连接AE. 平面BC平面ABCD，平面BC平面ABCDBC，OE平面 BC， OE平面ABCD， OAE为OA与平面ABCD所成的角. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 在 RtOAE 中，OE1 2，AE 12 1 2 2 5 2 ， tanOAEOE AE 5 5 . 即 AO 与平面 ABCD 所成角的正切值为 5 5 . (3)由(1)可知 OC平面 AOB. 又OC平面 AOC，平面 AOB平面 AOC. 即平面 AOB 与平面 AOC 所成的角为 90 .
