1、第七章 复数 章章末知识梳理末知识梳理 核心知识归纳核心知识归纳 要点专项突破要点专项突破 知识体系构建知识体系构建 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 知识体系构建知识体系构建 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 核心知识归纳核心知识归纳 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 1复数的有关概念 (1)虚数单位 i；(2)复数的代数形式 zabi(a，bR)；(3)复数的实 部、虚部、虚数与纯虚数. 2复数集 复数abi a，bR 实数b0， 虚数b0当a0时为纯虚数. 返回导航 第七章 复数 数学（必修
2、第二册RJA） 3复数的几何形式 (1)用点 Z(a，b)表示复数 zabi(a，bR)，用向量OZ 表示复数 z abi(a，bR)，Z 称为 z 在复平面上的对应点，复数与复平面上的点 一一对应(坐标原点对应实数 0). (2)任何一个复数 zabi 一一对应着复平面内一个点 Z(a， b)， 也一 一对应着一个从原点出发的向量OZ . 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 4共轭复数与复数的模 (1)若 zabi(a，bR)，则 z abi，z z为实数，z z为纯虚 数(b0). (2)复数 zabi 的模|z| a2b2，且 z z |z|2a2b2 返回导航 第七章 复
3、数 数学（必修第二册RJA） 5复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义 若复数 z1，z2对应的向量OZ1 ，OZ2 不共线，则复数 z1z2是以OZ1 ， OZ2 为两邻边的平行四边形的对角线OZ 所对应的复数. (2)复数减法的几何意义 复数 z1z2是连接向量OZ1 ，OZ2 的终点，并指向 Z1的向量所对应的 复数. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 6复数的四则运算 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则 (1)加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i； (2)减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i； (3)乘法：z1
4、z2(abi) (cdi)(acbd)(adbc)i； (4)除法：z1 z2 abi cdi abicdi cdicdi acbdbcadi c2d2 (cdi0)； (5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况； (6)特殊复数的运算：in(n 为正整数)的周期性运算；(1 i)2 2i. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 要点专项突破要点专项突破 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 复数常设为zabi(a，bR)，zRb0；z为虚数b0；z为 纯虚数a0且b0 要点一要点一 有关复数的概念 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 当
5、实数a为何值时，za22a(a23a2)i. (1)为实数. (2)为纯虚数. (3)对应的点在第一象限内. (4)复数z对应的点在直线xy0上. 分析 根据题设条件构建方程(组)或不等式(组)求解即可. 典典例例 1 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)zRa23a20，解得 a1 或 a2 (2)z 为纯虚数， a22a0， a23a20， 即 a0或a2， a1且a2， 故 a0 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） (3)z 对应的点在第一象限， 则 a22a0， a23a20， 所以 a2， a2， 所以 a2 所以 a 的取值范围是(，0)(2
6、，). (4)依题设(a22a)(a23a2)0，所以 a2 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 已知 mR，复数 zmm2 m1 (m22m1)i，当 m 为何值时： (1)zR；(2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)当 m22m10 且 m10， 即 m1 2时，z 为实数. (2)当 m22m10 且 m10 即 m1 2且 m1 时，z 为虚数. (3)当mm2 m1 0 且 m22m10， 即 m0 或2 时，z 为纯虚数. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 复数的代数形式zx
7、yi(x，yR)，从实部、虚部来理解一个复 数，把复数z满足的条件转化为实数x，y应该满足的条件，从而可以从实 数的角度利用待定系数法和方程思想来处理复数问题. 要点二要点二 复数相等 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 已知x，y为共轭复数，且(xy)23xyi46i，求x，y. 典典例例 2 解析 设 xabi(a，bR)，则 yabi. 又(xy)23xyi46i， 4a23(a2b2)i46i， 4a24， a2b22， a1， b1 或 a1， b1 或 a1， b1 或 a1， b1， x1i， y1i 或 x1i， y1i 或 x1i， y1i 或 x1i， y1i
8、. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 已知复数 z(12i)(2i)3i 1i. (1)化简复数 z； (2)若 z2(2a1)z(1i)b160，求实数 a，b 的值. 解析 (1)z(12i)(2i)3i1i 1i1i 43i42i 2 43i(2i)62i. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） (2)(62i)2(2a1)(62i)(1i)b160， 3224i6(2a1)2(2a1)ibbi160， 2212ab(264ab)i0， 2212ab0， 264ab0. 解得 a3， b14. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 要
9、点三要点三 复数的模及其几何意义 1z0，z 为纯虚数 z z. 2复数模的计算公式：若 zabi(a，bR)，则|z| a2b2，在 解答有关复数模的问题时应重视以下结论的运用：z z |z|2| z|2，|z 1 z2| |z1| |z2|， z1 z2 |z1| |z2|(z20)等. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 典典例例 3 复数 z 满足|z3 3i| 3，求|z|的最大值和最小值. 解析 |z3 3i| 3表示以3 3i 对应的点 P 为圆心， 以 3为半径的圆， 如图所示，则|OP|3 3i| 122 3， 显然|z|max|OA|OP| 33 3， |z|
10、min|OB|OP| 3 3. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 已知zC且|z|1，求|z2z1|的最值. 解析 因为|z|1，所以 z z 1， 所以 z2z1z2zz z z(z z1)， 所以|z2z1|z(z z 1)|z| |z z1|z z1|. 设 zxyi(x，yR)，那么|z z 1|2x1|， 又因为|z|1，所以 x2y21 所以1x1，所以32x11，则 0|2x1|3 所以|z2z1|的最小值为 0，最大值为 3 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 复数具有代数形式，且复数zabi(a，bR)与复平面内的点Z(a， b)之
11、间建立了一一对应关系，复数又是数形结合的桥梁，要注意复数与 向量、方程、函数等知识的交汇. 要点四要点四 复数与其他知识的综合应用 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四 点对应的复数分别为13i,2i,2i，z. (1)求复数z； (2)z是关于x的方程2x2pxq0的一个根，求实数p，q的值. 典典例例 4 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)复平面内 A， B， C 对应的点坐标分别为(1,3)， (0,2)， (2,1)， 设 D 的坐标为(x，y)，由于AD BC ， (x1，y3)(2，1)
12、， x12，y31，解得 x3，y2，故 D(3,2)， 则点 D 对应的复数 z32i. (2)32i 是关于 x 的方程 2x2pxq0 的一个根， 32i 是关于 x 的方程 2x2pxq0 的另一个根， 则 32i32ip 2，(32i) (32i) q 2，即 p12，q26 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 已知复平面内点 A，B 对应的复数分别是 z1sin2 i，z2cos2icos 2，其中 (0，)，设AB 对应的复数为 z. (1)求复数 z； (2)若复数 z 对应的点 P 在直线 y1 2x 上，求 的值. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)由题意得 zz2z1cos2sin2(cos 21)i1(2sin2)i. (2)由(1)知，点 P 的坐标为(1，2sin2). 由点 P 在直线 y1 2x 上，得2sin 21 2， sin21 4，又 (0，)，sin 0 因此 sin 1 2， 6或 5 6 .
