1、第八章 立体几何初步 8.6 空间直线、平面的垂直空间直线、平面的垂直 8.6.2 直线与平面垂直直线与平面垂直 第第1课时课时 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 必备知识必备知识探新知探新知 关键能力关键能力攻重难攻重难 课堂检测课堂检测固双基固双基 素养作业素养作业提技能提技能 素养目标素养目标定方向定方向 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 素养目标素养目标 定方向定方向 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 素养目标 学法指导 1掌握线面垂直的定义、判定 定理.(直观想象) 2会证明线面垂直，能利用线 面垂直得到线线垂直关系.(逻辑 推
2、理) 充分利用所在空间(如教室及其中物品)认 识线面垂直的定义、判定定理及其模型 特征. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 必备知识必备知识 探新知探新知 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 1直线与平面垂直的定义 直线与平面垂直的定义与判定定理 知识点1 定义 一般地，如果直线l与平面内的_直线都垂直， 我们就说直线l与平面互相垂直 记法 _ 有关 概念 直线l叫做平面的_，平面叫做直线l的_， 直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做_ 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平 行四边形的一边_ 任意一条 l 垂线 垂面 垂足 垂
3、直 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 图示 性质 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条 垂线段与 点面距 过一点作垂直于已知平面的直线， 则该点与_间的 线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的_ 叫做这个点到该平面的距离 垂足 长度 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 2直线与平面垂直的判定定理 文字 语言 如果一条直线与一个平面内的_垂直， 那 么该直线与此平面垂直 符号 语言 la，lb，a，b，_Pl 图形 语言 两条相交直线 ab 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 直线与平面所成的角 直线与平面所成的角 知识点
4、2 有关概念 对应图形 斜线 一条直线 l 与平面 _， 但不与这个平 面_，这条直线叫做这个平面的斜线 斜足 斜线和平面的_叫做斜足 射影 过斜线上斜足以外的一点 P 向平面 引 _PO，过垂足 O 和斜足 A 的直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影 相交 垂直 交点 垂线 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 有关概念 对应图形 直线与 平面所 成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的_所成的角，叫做 这条直线和这个平面所成的角. 规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是_； 一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是 _. 直线与平面所成的角的取值
5、范围是_ 射影 90 0 090 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 知识解读 1对直线与平面垂直的几点说明 (1)定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语， 与“无数条直线”不是同义语. (2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情形. (3)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那 么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线.这是判断两条直线垂直的一 种重要方法. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 2理解直线与平面垂直的判定定理 不能用“一条直线与平面内的两条平行直线垂直来判断此直线与平 面垂直”.实际上，由基本事
6、实4可知，平行具有“传递性”，因此一条 直线与平面内的一条直线垂直，那么它与这个平面内平行于这条直线的 所有直线都垂直，但不能保证与其他直线平行. 3判定定理所体现的数学思想 直线与平面垂直的判定定理体现了“转化”的数学思想，即将线面 垂直转化为线线垂直. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 4直线与平面所成的角的理解和判断 (1)对斜线和平面所成的角的定义的理解 斜线和平面所成的角定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平 面内的射影而转化为两条相交直线所成的角. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (2)判断方法 首先，判断直线和平面的位置，若直线
7、在平面内或与平面平行，此 时直线与平面所成的角为0的角；若直线与平面垂直，此时直线与平 面所成的角为90. 其次，若直线与平面斜交，可在斜线上任取一点作平面的垂线(实际 操作过程中，这一点的选取要有利于求角)，找出直线在平面内的射影， 从而确定出直线和平面所成的角，一般转化到直角三角形、等边三角形 中求解. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 关键能力关键能力 攻重难攻重难 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 下列说法正确的有_(填序号). 垂直于同一条直线的两条直线平行； 如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就 一定不与这个平面垂
8、直； 如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平 面垂直； 若l与平面不垂直，则平面内一定没有直线与l垂直. 题型探究题型探究 题型一题型一 直线与平面垂直的定义及判定定理的理解 典典例例 1 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可 能平行，也可能异面，故不正确. 由线面垂直的定义可得，正确. 因为这两条直线可能是平行直线，故不正确. 如图，l与不垂直，但a，la，故不正确. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 (1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的 所有直线”
9、说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者 说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交. (2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线 OA垂直于 ( ) A平面OAB B平面OAC C平面OBC D平面ABC (2)设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 ( ) A若lm，m，则l B若l，lm，则m C若l，m，则lm D若l，m，则lm C B 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)OAOB，OAOC，OBOC
10、O，OB平面OBC， OC平面OBC，OA平面OBC. (2)根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也 垂直于这个平面，知选项B正确. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 如图，P为ABC所在平面外一点，PA平面ABC， ABC90，AEPB于E，AFPC于F.求证： (1)BC平面PAB； (2)AE平面PBC； (3)PC平面AEF. 分析 本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一些“垂直” 关系，看是否可利用.如看到PA平面ABC，可想到PAAB、PABC、 PAAC，这些垂直关系我们需要哪个呢？我们需要的是PABC，联系 已知，问题得证. 题型二题
11、型二 线面垂直的判定 典典例例 2 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)PA平面ABC，BC平面ABC， PABC.ABC90，ABBC. 又ABPAA，BC平面PAB. (2)BC平面PAB，AE平面PAB，BCAE. PBAE，BCPBB，AE平面PBC. (3)AE平面PBC，PC平面PBC， AEPC.AFPC，AEAFA，PC平面AEF. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 线面垂直的判定方法： (1)证明线面垂直的方法 线面垂直的定义. 线面垂直的判定定理. 如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线
12、也垂直于这个平面. 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直 于另一个平面. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤： 在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直； 确定这个平面内的两条直线是相交的直线； 根据判定定理得出结论. (3)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧： 证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出 的线线垂直关系，进而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形底边的中 线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理的逆定理等都是 找线线垂直的方法. 返回
13、导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 如图，在ABC中，ABC90，D是AC的中 点，S是ABC所在平面外一点，且SASBSC. (1)求证：SD平面ABC； (2)若ABBC，求证：BD平面SAC. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)因为SASC，D是AC的中点，所以SDAC.在RtABC 中，ADBD， 由已知SASB，所以ADSBDS， 所以SDBD，又ACBDD， 所以SD平面ABC. (2)因为ABBC，D为AC的中点， 所以BDAC，由(1)知SDBD， 又因为SDACD，所以BD平面SAC. 返回导航 第八章 立体
14、几何初步 数学（必修第二册RJA） 在正方体ABCDA1B1C1D1中， (1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切 值； (2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角. 分析 (1)求线面角的关键是找出直线在 平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面 的垂线.(2)过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必 与B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线 A1C1满足要求. 题型三题型三 直线与平面所成的角 典典例例 3 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)直线 A1A平面 ABCD，A1CA 为直线 A1C 与平面 ABCD 所成的角，设 A1A1，则
15、 AC 2，tanA1CA 2 2 . (2)连接 A1C1交 B1D1于 O，在正方形 A1B1C1D1中，A1C1B1D1， BB1平面 A1B1C1D1，A1C1平面 A1B1C1D1，BB1A1C1， 又 BB1B1D1B1，A1C1平面 BDD1B1，垂足为 O. A1BO 为直线 A1B 与平面 BDD1B1所成的角， 在 RtA1BO 中，A1O1 2A1C1 1 2A1B，A1BO30 . 即 A1B 与平面 BDD1B1所成的角为 30 . 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 求线面角的方法： (1)求直线和平面所成角的步骤：寻找过斜线上一点与
16、平面垂直的 直线；连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成 的锐角或直角即为所求的角；把该角归结在某个三角形中，通过解三 角形，求出该角. (2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线 在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影 一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 如图所示，在RtBMC中，斜边BM5，它在平 面ABC上的射影AB长为4，MBC60，求MC与平面CAB所成角的正 弦值. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 由题意知
17、A 是 M 在平面 ABC 上的射影， MA平面 ABC， MC 在平面 CAB 上的射影为 AC. MCA 即为直线 MC 与平面 CAB 所成的角. 又在 RtMBC 中，BM5，MBC60 ， MCBMsinMBC5sin60 5 3 2 5 3 2 . 在 RtMAB 中，MA MB2AB2 52423 在 RtMAC 中，sinMCAMA MC 3 5 3 2 2 3 5 . 即 MC 与平面 CAB 所成角的正弦值为2 3 5 . 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，AC BC，D是AB的中点，连接CD.求
18、证：CD平面ABB1A1 错解 AA1平面ABC，CD平面ABC， CDAA1 又BB1AA1，CDBB1， 又AA1平面ABB1A1，BB1平面ABB1A1， CD平面ABB1A1 易错警示易错警示 典典例例 4 逻辑推理不严密致误 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 错因分析 错解中AA1和BB1是平面ABB1A1内的两条平行直线，不 是相交直线，故不满足直线与平面垂直的判定定理的条件. 正解 AA1平面ABC，CD平面ABC，CDAA1 又ACBC，D是AB的中点，CDAB.AB平面ABB1A1，AA1 平面ABB1A1，ABAA1A，CD平面ABB1A1 误区警示 用判定定理证明线面垂直时，必须要找全条件，这些 条件必须是已知的、或明显成立的、或已经证明的. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 直线l与平面内的无数条直线垂直，则直线l与平 面的关系是 ( ) Al和平面相互平行 Bl和平面相互垂直 Cl在平面内 D不能确定 解析 如下图所示，直线l和平面相互平行，或直线l和平面相 互垂直或直线l在平面内都有可能.故选D D
