1、 1 平行线与相交线全章复习与巩固平行线与相交线全章复习与巩固（提高（提高）知识讲解知识讲解 撰稿：孙景艳 责编：赵炜 【学习目标】【学习目标】 1 熟练掌握对顶角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两平行线间的距离的 概念； 2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用； 3. 了解命题的概念及构成，并能通过证明或举反例判定命题的真假； 4. 了解平移的概念及性质. 【高清课堂：【高清课堂：相交线与平行线单元复习相交线与平行线单元复习403105知识结构知识结构】 【知识网络知识网络】 【要点梳理】【要点梳理】 知识点一、知识点一、相交线相交线 1.1.对顶角、邻补角对顶角、邻补角
2、 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 有公共顶 点 1 的两边 与 2 的两边 互为反向延长 线 对顶角相 等 即1=2 邻补角 有公共顶 点 3 与4 有一条边公共， 另一边互为反 向延长线. 邻补角互 补即 3+ 4=180 要点诠释：要点诠释： 1 2 1 与2 2 对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边 互为反向延长线. 如果与是对顶角，那么一定有=；反之如果=，那么与不一定是 对顶角. 如果与互为邻补角，则一定有+=180；反之如果+=180，则与 不一定是邻补角
3、.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线 两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个. 2.垂线及垂线及性质性质、距离、距离 （1 1）垂线的）垂线的定义：定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫 做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图 1 所示，符号语言记作： ABCD，垂足为 O. 要点诠释：要点诠释： 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直， 是指这两条线段所在的直线垂直. （2 2）垂线的性质：）垂线的性质： 垂线性质 1：过一点有
4、且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. （3 3）点到直线的距离：）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图 2：POAB，点 P 到直线 AB 的距 离是垂线段 PO 的长. 要点诠释：要点诠释：垂线段 PO 是点 P 到直线 AB 所有线段中最短的一条. 知识点二、知识点二、平行线平行线 1 1平平行线判定行线判定 判定方法判定方法 1 1：同位角相等，两直线平行 判定方法判定方法 2 2：内错角相等，两直线平行 判定方法判定方法 3 3：同旁内角互补
5、，两直线平行 要点诠释：要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交） ，那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. 3 （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2 2平行线的性质平行线的性质 性质性质 1 1：两直线平行，同位角相等； 性质性质 2 2：两直线平行，内错角相等； 性质性质 3 3：两直线平行，同旁内角互补. 要点诠释：要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平
6、行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点 （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直 3 3两条平行线间的距离两条平行线间的距离 如图 3，直线 ABCD，EFAB 于 E，EFCD 于 F，则称线段 EF 的长度为两平行线 AB 与 CD 间的距离. 要点诠释：要点诠释： （1）两条平行线之间的距离处处相等. （2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离 的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是 直线外一点引已知直线的垂线段的长
7、度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的 距离. （3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量， 它们之间不能等同. 知识点三、知识点三、命题命题及平移及平移 1.命题：命题：判断一件事情的语句，叫做命题每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已知事项；结 论是由已知事项推出的事项. 2.2.平移平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移 要点诠释：要点诠释：平移的性质：平移的性质： （1）平移后，对应线段平行(或共线)且相等； （2）平移后，对应角相等； （3）平移后，对应点所连线段平行(或共线
8、)且相等； （4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形. 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、相交线相交线 1. (1)如图（1）已知直线 AB，CD 相交于点 0 (2)如图（2）已知直线 AE，BD 相交于点 C 分别指出两图中哪些角是邻补角? 哪些角是对顶角? 4 【答案与解析】 解： (1)邻补角是DOA 与AOC，AOE 与EOB，BOC 与COA，COE 与DOE，DOA 与DOB， DOB 与BOC；对顶角是AOD 与COB，AOC 与DOB. (2)邻补角是ACB 与ACD， ECD 与DCA， DCE 与ECB， ECB 与ACB； 对顶角是ACB 与DCE， BCE
9、与ACD 【总结升华】当需要写出的角较多时，写完后再计算一下个数，可以检验是否写全. 2.直线 AB、CD 相交于点 O，OEAB 于点 O，COE40，求BOD 的度数. 【答案与解析】 解：分两种情况. 第一种：如图 1，直线 AB，CD 相交后，BOD 是锐角， OEAB, AOE90，即AOC+COE90. COE40, AOC50. BODAOC BOD50 第二种：如图 2，直线 AB、CD 相交后，BOD 是钝角， OEAB, AOE90. COE40, AOC90+40130， BODAOC130. 【总计升华】本题属于无图题，首先应根据题意，画出图形，画图时要考虑两种情况：一
10、种情况为 BOD 是锐角，第二种情况是BOD 是钝角.此外关于两条直线相交，应想到邻补角、对顶角的定义及性质. 举一反三：举一反三： 【变式 1】如图所示，O 是直线 AB 上一点，射线 OC、OD 在 AB 的两侧，且AOCBOD，试证 明AOC 与BOD 是对顶角 5 【答案】 证明：因为AOC+COB180(平角定义)， 又因为AOCBOD(已知)， 所以BOD+COB180，即COD180 所以 C、O、D 三点在一条直线上(平角定义)， 即直线 AB、CD 相交于点 O， 所以AOC 与BOD 是对顶角(对顶角定义) 提示：证三点共线的方法，通常采用证这三点组成的角为平角，即COD1
11、80 【高清课堂：【高清课堂：相交线与平行线单元复习相交线与平行线单元复习403105 经典例题经典例题 4 4】 【变式 2】已知: 如图, 1 = B, 2 = 3, EFAB 于 F ， 求证: CDAB . 【答案】 证明：1B，MDBC（同位角相等，两直线平行）. 2BCD（两直线平行，内错角相等）, 又2 3（已知）, 3BCD. EFCD（同位角相等，两直线平行）. 又EFAB（已知）, CDAB. 类型二类型二、平行线的性质与判定平行线的性质与判定 3.如图所示，ABCD，1B，2D，试说明 BEDE 【思路点拨】这是初学几何时较为复杂的题目，通常是过“拐点”(拐角处的顶点)作
12、平行线为辅助线， 6 把一个大角分成两个角，分别与两个已知角建立起了联系 【答案与解析】 解：过 E 点作 EFAB， 因为 ABCD(已知)， 所以 EFCD 所以4D(两直线平行，内错角相等) 又因为D2(已知)， 所以42(等量代换) 同理，由 EFAB，1B，可得31 因为1+2+3+4180(平角定义)， 所以1+23+490， 即BED90故 BEDE 【总结升华】解此题的关键是如何构造平行关系，即过哪一点作哪条直线的平行线，只有通过适当的 练习才能逐步达到熟练解题的目的 举一反三：举一反三： 【变式 1】如图所示，已知直线 ABCD，当点 E 在直线 AB 与 CD 之间时，有B
13、EDABE+ CDE 成立；而当点 E 在直线 AB 与 CD 之外时，下列关系式成立的是( ). ABEDABE+CDE 或BEDABE-CDE BBEDABE-CDE CBEDCDE-ABE 或BEDABE-CDE DBEDCDE-ABE 【答案】C （提示：过点 E 作 EFAB） 【变式 2】已知：如图，ABCADC，BF、DE 分别平分ABC 与ADC，且13. 求证：ABDC. 【答案】 证明：ABCADC, 11 ABCADC 22 （等式性质）. 又BF、DE 分别平分ABC 与ADC, 1ABC 2 1 ，2ADC 2 1 （角平分线的定义）. 12 （等量代换）. 又13（
14、已知）, 23（等量代换）. ABDC(内错角相等，两直线平行). 7 类型三类型三、命题及平移命题及平移 4.在小学，学习对“几何的初步认识”我们知道：一个三角形的三个内角之和等于 180，现在 学习了平行线性质以后，你能说出这是为什么吗? 【答案与解析】 已知：三角形 ABC， 求证：A+B+C=180 证明：过 A 点作 EFBC 则EAB=B，FAC=C（两直线平行，内错角相等） B+BAC+C=EAB+BAC+CAF=180(平角定义)， A+B+C=180 【总结升华】准确写出题设和结论后，再进行证明. 5.（吉林）如图所示，把边长为 2 的正方形的局部进行图的变换，组成图，则图的
15、 面积是( ) A18 B16 C12 D8 【思路点拨】根据平移的基本性质，平移不改变图形的形状和大小，即图形平移后面积不变，则面 积可求 【答案】B 【解析】图到图是将一个等腰三角形由下方平移到上方图到图是将右边的小长方形平移到 左侧，所以图中阴影部分的面积与边长为 2 的正方形的面积是相等的，图是由 4 个图组成的，所以 图的面积是 4416 【总结升华】平移是由平移的方向和距离决定的平移的性质是平移前后，图形的形状、大小不变. 类型四类型四、实际应用实际应用 6.手工制作课上，老师先将一张长方形纸片折叠成如图所示的那样，若折痕与一条边 BC 的夹角 EFB=30，你能说出EGF 的度数
16、吗？ 【思路点拨】长方形的对边是平行的，所以 ADBC，可得DEF=EFG=30，又因为折后重合部 分相等，所以GEF=DEF=30，所以DEG=2DEF=60，又因为两直线平行，同旁内角互补，所 以EGC=180DEG，问题可解. 【答案与解析】 解：因为 ADBC（已知） ， 所以DEF=EFG=30（两直线平行，内错角相等）. 因为GEF=DEF=30（对折后重合部分相等） ， 所以DEG=2DEF=60. 所以EGC=180DEG=18060=120（两直线平行，同旁内角互补）. 8 【总结升华】本题利用了： （1）折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和 对应角相等； （2）平行线的性质 举一反三：举一反三： 【变式】 （山东滨州）如图，把个长方形纸片对折两次，然后剪下个角为了得到一个正方形， 剪刀与折痕所成的角的度数应为（ ） A60 B30 C45 D90 【答案】C
