1、 年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析 2018 卷 三视图 T3 数学文化题是近几年课标全国卷中出现 的新题型，预计在高考中，数学文化题仍会以 选择题或填空题的形式考查，也不排除以解答 题的形式考查，难度适中或容易. 2017 卷 中国古代太极图与几何 概型 T2 卷 数列求和 T3 2016 卷 秦九韶算法 T8 立体几何中的数学文化题 立体几何中的数学文化题一般以我国古代发现的球的体积公式、 圆柱的体积公式、 圆锥 的体积公式、 圆台的体积公式和“牟合方盖”“阳马”“鳖臑”“堑堵”“刍薨”等中国古 代几何名词为背景考查空间几何体的三视图、几何体的体积与表面积等 典型例题 (1)(20
2、18 郑州第二次质量预测)我国古代数学专著九章算 术对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“鳖 臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥某“鳖臑”的三视图(图中 网格纸上每个小正方形的边长为 1)如图所示，已知该几何体的高为 2 2，则该几何体外接球的表面积为_ (2)(2018 黄冈模拟)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体 积的计算原理(祖暅原理)： “幂势既同， 则积不容异” “势” 是几何体的高， “幂”是截面面积其意：如果两个等高的几 何体在同高处的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相 等已知双曲线 C 的渐近线方程为 y 2x，一个焦点为( 5， 0)直线 y0 与 y3
3、 在第一象限内与双曲线及渐近线围成如 图所示的图形 OABN，则它绕 y 轴旋转一圈所得几何体的体积为_ 【解析】 (1)由该几何体的三视图还原其直观图，并放入长方体中，如图中的三棱锥 A- BCD 所示，其中 AB2 2，BCCD 2，易知长方体的外接球即三棱锥 ABCD 的外 接球，设外接球的直径为 2R，所以 4R2(2 2)2( 2)2( 2)282212，则 R23， 因此外接球的表面积 S4R212. (2)由题意可得双曲线的方程为 x2y 2 41，直线 y3 在第一象限内与渐近线的交点 N 的坐标为? ? ? ? 3 2，3 ，与双曲线在第一象限内的交点 B 的坐标为? ? ?
4、 ? 13 2 ，3 ，在所得几何体中， 在高为 h 处作一截面，则截面面积为 ? ? ? ? 1h 2 4 h 2 4 ，根据祖暅原理，可得该几何体的体 积与底面面积为 ，高为 3 的圆柱的体积相同，故所得几何体的体积为 3. 【答案】 (1)12 (2)3 (1)本例(1)以“鳖臑”为背景，考查由三视图还原几何体，并求几何体的表面积此类 问题源于生活中的盖房问题 这将引领师生关注生产、 生活中的社会问题， 体现数学文化“以 数化人”的功能对于其他几何体，如“刍童”“羡除”等，需要给予关注 (2)祖暅原理是我国古代数学家祖暅提出的一个关于几何体体积的著名定理，祖暅提出 这个原理，要比其他国家
5、的数学家早一千多年人教 A 版必修 2教材第 30 页专门介绍 了祖暅原理本题取材于祖暅原理，既考查了考生的基础知识和基本技能，又展示了中华优 秀传统文化 对点训练 算数书 竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土， 这是我国现存最早的有 系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也又以高乘之，三十 六成一”该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 V 1 36 L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3.那么，近似公式 V 7 264L 2h 相当于 将圆锥体积公式中的 近似取为( ) A.22 7 B.25 8 C.15
6、7 50 D.355 113 解析：选 A.依题意，设圆锥的底面半径为 r，则 V1 3r 2h 7 264L 2h 7 264(2r) 2h，化简 得 22 7 .故选 A. 数列中的数学文化题 数列中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的等差数列和等比数列问题为背景， 考 查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前 n 项和公式 典型例题 (1)九章算术中有一题：今有牛、马、羊食人苗苗主责之粟五斗羊主曰： “我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何其意思是：今有牛、 马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的 一半”马主人说：“我马所吃的禾
7、苗只有牛的一半”若按此比例偿还，牛、马、羊的主 人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿( ) A.50 7 斗粟 B.10 7 斗粟 C.15 7 斗粟 D.20 7 斗粟 (2)北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、 层坛之类，这种长方台形状的物体垛积设隙积共 n 层，上底由 ab 个物体组成，以下各 层的长、宽依次增加一个物体，最下层(即下底)由 cd 个物体组成，沈括给出求隙积中物 体总数的公式为 sn 6(2ac)b(2ca)d n 6(ca)，其中 a 是上底长，b 是上底宽，c 是下 底长，d 是下底宽，n 为层数已知由若干个相同小
8、球粘黏组成的隙积的三视图如图所示， 则该隙积中所有小球的个数为( ) A83 B84 C85 D86 【解析】 (1)法一：设羊、马、牛主人赔偿的粟的斗数分别为 a1，a2，a3，则这 3 个数 依次成等比数列，公比 q2，所以 a12a14a15，解得 a15 7，故 a3 20 7 ，a3a120 7 5 7 15 7 ，故选 C. 法二：羊、马、牛主人赔偿的比例是 124，故牛主人应赔偿 54 7 20 7 (斗)，羊主人 应赔偿 51 7 5 7(斗)，故牛主人比羊主人多赔偿了 20 7 5 7 15 7 (斗)，故选 C. (2)由三视图知，n5，a3，b1，c7，d5，代入公式 s
9、n 6(2ac)b(2ca)d n 6(ca)得 s85，故选 C. 【答案】 (1)C (2)C 解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等比(差)数列的概 念、通项公式和前 n 项和公式 对点训练 九章算术是我国古代的数学名著，书中均输章有如下问题：“今有五人分五钱， 令上二人所得与下三人等，问各得几何”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等 差数列， 问五人各得多少钱？(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中， 丙所得为( ) A.7 6钱 B.5 6钱 C.2 3钱 D.1 钱 解
10、析：选 D.因为甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为 a 2d、ad、a、ad、a2d，则 a2dadaada2d5，解得 a1，即丙所 得为 1 钱，故选 D. 算法中的数学文化题 算法中的数学文化题一般以我国古代优秀算法为背景，考查程序框图 典型例题 (1)公元三世纪中期，数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时， 多边 形面积可无限逼近圆的面积，并因此创立了割圆术利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到 小数点后两位的近似值 3.14， 这就是著名的“徽率” 如图是利用刘徽的割圆术设计的程序 框图，则输出的 n 为(参考数据：sin 15 0.258 8，sin 7
11、.5 0.130 5)( ) A12 B24 C36 D48 (2)我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明，戍边的官兵通过在烽火台上举火向 国内报告，烽火台上点火表示数字 1，不点火表示数字 0，这蕴含了进位制的思想图中的 程序框图的算法思路就源于我国古代戍边官兵的“烽火传信”执行该程序框图，若输入 a 110011，k2，n7，则输出的 b( ) A19 B31 C51 D63 【解析】 (1)按照程序框图执行，n6，S3sin 60 3 3 2 ，不满足条件 S3.10，执 行循环；n12，S6sin 30 3，不满足条件 S3.10，执行循环；n24，S12sin 15 120.258
12、 83.105 6，满足条件 S3.10，跳出循环，输出 n 的值为 24，故选 B. (2)按照程序框图执行，b 依次为 0，1，3，3，3，19，51，当 b51 时，ii17， 跳出循环，故输出 b51.故选 C. 【答案】 (1)B (2)C 辗转相除法、 更相减损术、 秦九韶算法、 进位制和割圆术都是课本上出现的算法案例 其 中， 更相减损术和秦九韶算法是中国古代的优秀算法， 课本上的进位制案例原本不渗透中国 古代数学文化，但命题人巧妙地将烽火戍边的故事作为背景，强化了试题的“文化育人”功 能 对点训练 九章算术 是中国古代的数学专著， 其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大 公
13、约数， 即“可半者半之， 不可半者， 副置分母、 子之数， 以少减多， 更相减损， 求其等也 以 等数约之 ”翻译为现代语言如下： 第一步， 任意给定两个正整数， 判断它们是否都是偶数 若 是，用 2 约简；若不是，执行第二步；第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差 与较小的数比较，并以大数减小数继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等 数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数现给出“更相减损术”的程序框图 如图所示，如果输入的 a114，b30，则输出的 n 为( ) A3 B6 C7 D30 解析：选 C.a114，b30，k1，n0，a，b 都是偶数，a57，b1
14、5，k2，a，b 不满足都为偶数，ab 不成立，ab 成立，a571542，n011；ab 不成立，ab 成立，a421527，n112；ab 不成立，ab 成立，a271512，n21 3；ab 不成立，ab 不成立，a15，b12，a15123，n314；ab 不成立， ab 不成立，a12，b3，a1239，n415；ab 不成立，ab 成立，a93 6，n516；ab 不成立，ab 成立，a633，n617；ab 成立，输出的 kb6，n7. 概率中的数学文化题 概率中的数学文化题一般以优秀传统文化为背景，考查古典概型和几何概型 典型例题 (1)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌 的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双 方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，田忌获胜的概率是( ) A.1 3 B.1 4 C.1 5 D.1 6 (2)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是
