1、专题一专题一 三角函数与平面向量三角函数与平面向量 微专题微专题2 三角恒等变换与解三角形三角恒等变换与解三角形 微专题2 三角恒等变换与解三角形 对点训练 大题考法大题考法 1 正弦定理、余弦定理的简单应用正弦定理、余弦定理的简单应用 (2020 哈尔滨师大附中模拟哈尔滨师大附中模拟)在在ABC 中， 内角中， 内角 A，B，C 的对边分别为的对边分别为 a，b，c，已知，已知 2bcos C2ac. (1)求求 B； (2)若若 a2，D 为为 AC 的中点，且的中点，且 BD 3，求，求 c. 解：解：(1)由正弦定理得由正弦定理得 2sin Bcos C2sin Asin C， 又由又
2、由 sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，得，得 2cos Bsin Csin C0， 因为因为 0C，所以，所以 sin C0，所以，所以 cos B1 2. 微专题2 三角恒等变换与解三角形 对点训练 因为因为 0BA，A 为钝角，故为钝角，故 无解无解 选择选择时，时，a3 2sin B，根据正弦定理：，根据正弦定理： a sin A b sin B，故 ，故3 2sin B 3 2 6 sin B， ， 微专题2 三角恒等变换与解三角形 对点训练 解得解得 sin B 2 2 ，sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B 6 2 4 .
3、 根据正弦定理：根据正弦定理： a sin A b sin B，故 ，故 a3，故，故 S1 2absin C9 3 3 4 . 微专题2 三角恒等变换与解三角形 对点训练 结构不良问题是新高考卷的一大特点，这类问题的结构不良问题是新高考卷的一大特点，这类问题的 引入，增强了试题条件的开放性，引导学生更加注重思引入，增强了试题条件的开放性，引导学生更加注重思 维的灵活性及策略选择解决此类问题，首先要快速地维的灵活性及策略选择解决此类问题，首先要快速地 浏览试题，结合所给的三个条件和要求的结论，选择自浏览试题，结合所给的三个条件和要求的结论，选择自 己最熟悉的条件，应用正、余弦定理解题，千万不可
4、在己最熟悉的条件，应用正、余弦定理解题，千万不可在 选择条件上过选择条件上过多花费时间多花费时间 微专题2 三角恒等变换与解三角形 对点训练 (2020 日照模拟日照模拟)在在b2aca2c2， 3acos B bsin A， 3sin Bcos B2，这三个条件中任选一个，这三个条件中任选一个， 补充在下面的问题中，并解补充在下面的问题中，并解决该问题决该问题 已知已知ABC 的内角的内角 A，B，C 的对边分别为的对边分别为 a，b，c， _，A 4， ，b 2. (1)求角求角 B； (2)求求ABC 的面积的面积 微专题2 三角恒等变换与解三角形 对点训练 解：解：若选择若选择b2ac
5、a2c2， (1)由余弦定理由余弦定理 cos Ba 2 c2b2 2ac 1 2，因为 ，因为 B(0，)，所以，所以 B 3. (2)由正弦定理得由正弦定理得 a sin A b sin B得 得 absin A sin B 2sin 4 3 2 2 3 3 ， 因为因为 A 4， ，B 3，所以 ，所以 C 4 3 5 12， ， 微专题2 三角恒等变换与解三角形 对点训练 所以所以 sin Csin 5 12 sin 4 6 sin 4cos 6 cos 4sin 6 6 2 4 ， 所以所以 S ABC1 2absin C 1 2 2 3 3 2 6 2 4 3 3 6 . 若选择若
6、选择 3acos Bbsin A， (1)由正弦定理得由正弦定理得 3sin Acos Bsin Bsin A，因为，因为 sin A0， 所以， 所以 3cos Bsin B， tan B 3， 因为， 因为 B(0， )， 所以所以 B 3； ； 微专题2 三角恒等变换与解三角形 对点训练 (2)同上同上 若选择若选择 3sin Bcos B2， (1)由和角公式得由和角公式得 2sin B 6 2，所以，所以 sin B 6 1. 因为因为 B(0，)，所以，所以 B 6 6， ，7 6 ，所以，所以 B 6 2，所以 ，所以 B 3； ； (2)同上同上 微专题2 三角恒等变换与解三角
7、形 对点训练 大题考法大题考法 3 正弦定理、余弦定理的综合应用正弦定理、余弦定理的综合应用 (2020 泉州质检泉州质检)ABC 中，中，B60 ，AB2， ABC 的面积为的面积为 2 3. (1)求求 AC； (2)若若 D 为为 BC 的中点，的中点，E，F 分别为边分别为边 AB，AC 上的点上的点 (不包括端点不包括端点)，且，且EDF120 ，求，求DEF 面积的最小值面积的最小值 解：解：(1)因为因为 B60 ，AB2， 所以所以 S ABC1 2 AB BC sin B 1 2 2 3 2 BC 3 2 BC， 又又 S ABC2 3，所以，所以 BC4， 微专题2 三角恒
8、等变换与解三角形 对点训练 由余弦定理得：由余弦定理得：AC2AB2BC22AB BC cos B22 422241 2 12，所以，所以 AC2 3. (2)设设BDE，(0 ，60 )，则，则CDF60 ， 在在BDE 中，由正弦定理得：中，由正弦定理得： BD sin BED DE sin B， ， 即即 2 sin（60 ） DE 3 2 ，所以，所以 DE 3 sin（60 ）， ， 微专题2 三角恒等变换与解三角形 对点训练 在在CDF 中，由正弦定理得：中，由正弦定理得： CD sin CFD DF sin C， ， 由由(1)可得可得 BC2AC2AB2，B60 ，所以，所以
9、C30 ， 则则 2 sin（90 ） DF 1 2 ，所以，所以 DF 1 cos ， ， 所以所以 S DEF1 2 DE DF sin EDF 3 4sin（60 ） cos 3 2 3cos2 2sin cos 微专题2 三角恒等变换与解三角形 对点训练 3 2sin（260 ） 3， ， 当当 15 时，时，sin(260 )1，(S DEF)min 3 2 3 63 3. 故故DEF 的面积的最小值为的面积的最小值为 63 3. 微专题2 三角恒等变换与解三角形 对点训练 解决与解三角形有关的最值和范围问题，一般有两解决与解三角形有关的最值和范围问题，一般有两 个思路：个思路： 1
10、利用正、余弦定理把边转化为角，转化为三角函利用正、余弦定理把边转化为角，转化为三角函 数的最值与范围问题，要注意其中角的取值范围；数的最值与范围问题，要注意其中角的取值范围； 2利用正、余弦定理，结合式子的结构特征，利用利用正、余弦定理，结合式子的结构特征，利用 基本不等式求最值或范围基本不等式求最值或范围 微专题2 三角恒等变换与解三角形 对点训练 (2020 聊城第三次模拟聊城第三次模拟)在在m(ab，ca)，n(a b，c)，且，且 mn，2ac2bcos C，sin B 6 cos B1 2这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给 这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给 出解
11、答出解答 在在ABC 中，角中，角 A，B，C 的对边分别为的对边分别为 a，b，c， 且且_ (1)求角求角 B； (2)若若 b4，求，求ABC 周长的最大值周长的最大值 微专题2 三角恒等变换与解三角形 对点训练 解：解：(1)选选因为因为 m(ab，ca)，n(ab，c)， 且且 mn， 所以所以(ab)(ab)c(ca)0. 化简得，化简得，a2c2b2ac， 由余弦定理得由余弦定理得 cos Ba 2 c2b2 2ac ac 2ac 1 2， ， 又因为又因为 0B，所以，所以 B 3. 选选根据正弦定理， 由根据正弦定理， 由2ac2bcos C得得2sin Asin C2sin
12、 Bcos C， 微专题2 三角恒等变换与解三角形 对点训练 又因为又因为 sin Asin(BC)sin Bcos Csin Ccos B， 所以所以 2sin Ccos Bsin C，又因为，又因为 sin C0， 所以所以 cos B1 2，又因为 ，又因为 B(0，)，所以，所以 B 3. 选选由由 sin B 6 cos B1 2，得 ，得 3 2 sin B1 2cos B cos B1 2， ， 即即 3 2 sin B1 2cos B 1 2，所以 ，所以 cos B 3 1 2， ， 微专题2 三角恒等变换与解三角形 对点训练 又因为又因为 B(0，)，所以，所以 B 3 2 3 ，因此，因此 B 3. (2)由余弦定理由余弦定理 b2a2c22accos B，得，得 16(ac)2 3ac. 又因为又因为a c 2 ac，所以，所以 ac（ （ac）2 4 ，当且仅当，当且仅当 ac 时等号成立，时等号成立， 所以所以 3ac(ac)2163（ （ac）2 4 ，解得，解得，ac8， 当且仅当当且仅当 ac4 时，等号成立时，等号成立 所以所以 abc8412. 所以所以ABC 的周长的最大值为的周长的最大值为 12. 谢谢观赏谢谢观赏 专专 题题 强强 化化 练练
