1、章末整合 专题一 条件概率 例1在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题,求: (1)第1次抽到理科题的概率; (2)第1次和第2次都抽到理科题的概率; (3)在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率. 解:设“第1次抽到理科题”为事件A,“第2次抽到理科题”为事件B,则 “第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB. (1)从5道题中不放回地依次抽取2道题包含的样本点数为 n( )=A5 2=20. 又 n(A)=A3 1 A4 1 =12. 于是 P(A)=() () = 12 20 = 3 5. (2)因为 n(AB)=A3 2=6, 所以 P(AB)=()
2、 () = 6 20 = 3 10. (3)法一:由(1)(2)可知, P(B|A)=() () = 3 10 3 5 = 1 2. 法二:因为 n(AB)=6,n(A)=12, 所以 P(B|A)=() () = 6 12 = 1 2. 方法技巧 条件概率的求解策略 (1)定义法:计算 P(A),P(AB),利用 P(B|A)=() () 求解. (2)直接法:利用 P(B|A)=() () 求解. 其中(2)常用于古典概型的概率计算问题. 变式训练1抛掷5枚硬币,在已知至少出现了2枚正面朝上的情况下, 求正面朝上数恰好是3枚的概率. 解法一:记“至少出现 2 枚正面朝上”为事件 A,“恰好
3、出现 3 枚正面朝 上”为事件 B,事件 A 包含的样本点的个数为 n(A)=C5 2 + C5 3 + C5 4 + C5 5=26,事件 B 包含的样本点的个数为 n(B)=C53=10,P(B|A)=() () = () () = 10 26 = 5 13. 法二:P(A)=C5 2+C53+C54+C55 25 = 13 16, P(AB)=P(B)=C5 3 25 = 5 16, 故 P(B|A)=() () = 5 13. 专题二 二项分布 例2某公司招聘员工,先由两位专家面试,若这两位专家都同意通过, 则通过初审并予以录用;若这两位专家都未同意通过,则未通过初 审并不予录用;当这
4、两位专家意见不一致时,再由第三位专家进行 复审,若能通过复审则予以录用,否则不予录用.设应聘人员获得每 位初审专家通过的概率均为 ,获得复审专家通过的概率为 ,各 专家评审的结果相互独立. (1)求某应聘人员被录用的概率. (2)若4人应聘,设X为被录用的人数,试求随机变量X的分布列. 1 2 3 10 解:(1)设“某应聘人员被录用”为事件 A, 则 P(A)=1 2 1 2 + C2 1 1 2 1- 1 2 3 10 = 2 5. (2)根据题意,XB 4, 2 5 , 则 P(X=0)=C4 0 3 5 4 = 81 625, P(X=1)=C4 1 2 5 3 5 3 = 216 6
5、25, P(X=2)=C4 2 2 5 2 3 5 2 = 216 625, P(X=3)=C4 3 2 5 3 3 5 = 96 625, P(X=4)=C4 4 2 5 4 = 16 625. 故X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 81 625 216 625 216 625 96 625 16 625 方法技巧 解决二项分布问题的两个关注点 (1)对于公式P(X=k)= pk(1-p)n-k(k=0,1,2,n)必须在随机变量服 从二项分布时才能应用,否则不能应用. (2)判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性, 即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性
6、,即试验是 独立重复地进行了n次. C 变式训练2一个暗箱里放着6个黑球、4个白球. (1)依次不放回地取出3个球,若第1次取出的是白球,求第3次取到黑 球的概率. (2)有放回地依次取出3个球,若第1次取出的是白球,求第3次取到黑 球的概率. (3)有放回地依次取出3个球,求取到白球个数的分布列和均值. 解:(1)设事件A为“第1次取出的是白球”,事件B为“第3次取出的是黑 球”, 则 P(A)= 4 10 = 2 5,P(AB)= C4 1A62+A42C61 A10 3 = 4 15, 故 P(B|A)=() () = 2 3. (2)因为有放回地依次取出3个球,每次取出之前暗箱的情况没
7、有变 化,所以每次取球互不影响, 所以第 1 次取出的是白球,第 3 次取到黑球的概率为 6 10 = 3 5. (3)依题意,每次取到白球的概率为 4 10 = 2 5,且每次互不影响,故 B 3, 2 5 , 所以 的分布列为 P(=k)=C3 2 5 3 5 3- ,k=0,1,2,3. E()=3 2 5 = 6 5. 专题三 超几何分布 例3在一次购物抽奖活动中,假设10张奖券中有一等奖奖券1张,可 获价值50元的奖品,有二等奖奖券3张,每张可获价值10元的奖品,其 余6张没有奖品. (1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张,求中奖次数X的分布列; (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2
8、张, 求顾客乙抽到中奖奖券数的分布列; 设顾客乙获得的奖品总价值为Y元,求Y的分布列. 解:(1)依题意,X 的取值只有 0 和 1 两种情况. P(X=1)= C4 1 C10 1 = 4 10 = 2 5,则 P(X=0)=1-P(X=1)=1- 2 5 = 3 5. 故X的分布列为 X 0 1 P 3 5 2 5 (2)依题意, 服从超几何分布, 的取值可能为 0,1,2, 则 P(=0)=C4 0C62 C10 2 = 1 3, P(=1)=C4 1C61 C10 2 = 8 15, P(=2)=C4 2C60 C10 2 = 2 15. 故的分布列为 0 1 2 P 1 3 8 15
9、 2 15 Y 的所有可能取值为 0,10,20,50,60, 则 P(Y=0)=C4 0C62 C10 2 = 15 45 = 1 3, P(Y=10)=C3 1C61 C10 2 = 18 45 = 2 5, P(Y=20)=C3 2C60 C10 2 = 3 45 = 1 15, P(Y=50)=C1 1C61 C10 2 = 6 45 = 2 15, P(Y=60)=C1 1C31 C10 2 = 3 45 = 1 15. 故Y的分布列为 Y 0 10 20 50 60 P 1 3 2 5 1 15 2 15 1 15 方法技巧 解决超几何分布问题的两个关键点 (1)超几何分布是概率分
10、布的一种形式,一定要注意公式中字母的范 围及其意义,解决问题时可以直接利用公式求解,但不能机械地记 忆. (2)在超几何分布中,只要知道M,N,n,就可以利用公式求出随机变量 X取不同k值的概率P(X=k),从而求出X的分布列. 变式训练3老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵,规定至少要 背出其中2篇才能及格.某同学只能背诵其中的6篇,试求: (1)抽到他能背诵的课文的数量X的分布列; (2)他能及格的概率. 解:(1)依题意,X 的取值可能为 0,1,2,3,X 服从超几何分布, 则 P(X=0)=C6 0C43 C10 3 = 1 30,P(X=1)= C6 1C42 C10 3 =
11、3 10, P(X=2)=C6 2C41 C10 3 = 1 2,P(X=3)= C6 3C40 C10 3 = 1 6. 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 30 3 10 1 2 1 6 (2)他能及格的概率为 P(X2)=P(X=2)+P(X=3)=1 2 + 1 6 = 2 3. 专题四 离散型随机变量的分布列、均值和方差 例4一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀,且各面分 别刻有1,2,2,3,3,3六个数字). (1)设随机变量表示一次掷得的点数和,求的分布列. (2)若连续投掷10次,设随机变量表示一次掷得的点数和大于5的次 数,求E(),D(). 解:(1)由
12、已知,得随机变量 的取值为 2,3,4,5,6,则 P(=2)= 1 66 = 1 36, P(=3)=C2 112 66 = 1 9, P(=4)=C2 113+22 66 = 5 18, P(=5)=C2 123 66 = 1 3, P(=6)=33 66 = 1 4. 故 的分布列为 2 3 4 5 6 P 1 36 1 9 5 18 1 3 1 4 (2)由(1)知,投掷一次得到的点数和大于 5 的概率为1 4,则 B 10, 1 4 , 故 E()=10 1 4 = 5 2, D()=10 1 4 3 4 = 15 8 . 方法技巧 求离散型随机变量的均值与方差的步骤 变式训练4为推
13、动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会 的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2 名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选 择4人参加比赛. (1)设事件A为“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来 自同一个协会”,求事件A发生的概率; (2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和均 值. 解:(1)依题意,P(A)=C2 2C32+C32C32 C8 4 = 6 35. 故事件 A 发生的概率为 6 35. (2)随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4, 则 P(X=1)=C5 1C33 C8 4 = 1
14、14,P(X=2)= C5 2C32 C8 4 = 3 7, P(X=3)=C5 3C31 C8 4 = 3 7,P(X=4)= C5 4C30 C8 4 = 1 14. 故随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 1 14 3 7 3 7 1 14 E(X)=1 1 14+2 3 7+3 3 7+4 1 14 = 5 2. 专题五 正态分布的概率 例5设XN(10,1). (1)证明:P(1X2)=P(18X19). (2)设P(X2)=a,求P(10X18). (1)证明:因为XN(10,1),所以正态曲线f(x)关于直线x=10对称,而区 间(1,2)和(18,19)关于直线x=10
15、对称, 故P(1X2)=P(18X19). (2)解:因为 P(X2)+P(2X10)=1 2,P(X2)=a, 所以 P(2X10)=1 2-a. 又 P(2X10)=P(10X18), 所以 P(10X18)=1 2-a. 方法技巧 正态分布的概率求法 (1)利用“3”原则,记住正态总体在三个区间内取值的概率. (2)利用数形结合.由于正态分布密度曲线具有对称性,因此常结合 图象,利用对称性,解决某一区间内的概率. 变式训练5为了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明 他们的体重X(kg)服从正态分布N(,22),且正态分布密度曲线如图 所示.若体重大于58.5 kg,小于或等于62.5 kg属于正常情况,则这1 000名男生中属于正常情况的人数约是( ) A.997 B.954 C.819 D.683 解析:由题意,可知=60.5,=2,故P(58.5X62.5)= P(-X+)0.682 7,1 0000.682 7683,故这1 000名男生中属 于正常情况的人数约是683. 答案:D
