1、. 第三章第三章 二次函数二次函数 第第 2 讲讲 二次函数的二次函数的最值最值-精讲深剖精讲深剖 二次函数 2 (0)yaxbxc a?是初中函数的主角，所蕴含的函数性质丰富，也是高中学习的重要基 础当自变量x在某个范围内取值时，求函数y的最大（小）值，这类问题称为最值问题问题最值问题 在实际生活中也有广阔的应用 【知识梳理】【知识梳理】 1.二次函数解析式的三种形式： 一般式：yax2bxc(a0).学！科网 顶点式：ya(xm)2n(a0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2为 f(x)的零点. 2.二次函数的图象和性质 解析式来 源:Z*xx*
2、k.Com yax2bxc(a0) yax2bxc(a0) 图象 对称性 函数的图象关于 x b 2a对称 3.二次函数的最值 （1） .当 a0 时， 函数 yax2bxc 图象开口向上； 顶点坐标为 2 4 (,) 24 bacb aa ? ?， 对称轴为直线 x 2 b a ； 当 x 2 b a ?时，y 随着 x 的增大而减小；当 x 2 b a ?时，y 随着 x 的增大而增大；当 x 2 b a ?时，函数取最 小值 y 2 4 4 acb a ? （2） .当 a0 时， 函数 yax2bxc 图象开口向下； 顶点坐标为 2 4 (,) 24 bacb aa ? ?， 对称轴为
3、直线 x 2 b a ； 当 x 2 b a ?时，y 随着 x 的增大而增大；当 x 2 b a ?时，y 随着 x 的增大而减小；当 x 2 b a ?时，函数取最 大值 y 2 4 4 acb a ? 【典例解析】【典例解析】求下列函数的最值 . （1）当22x? ?时，求函数 2 23yxx?的最大值和最小值； （2）当12x?时，求函数 2 1yxx? ?的最大值和最小值。 【分析】作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、 最小值及函数取到最值时相应自变量x的值 【解析】（1）作出函数的图象当1x ?时， min 4y? ?，当2x ?
4、?时， max 5y? （2）作出函数的图象当1x ?时， min 1y? ?，当2x ?时， max 5y? ? 【解题反思】由上述两例可以看到，二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段那 么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异下面 给出一些常见情况： 【变式训练【变式训练】1.当0x ?时，求函数(2)yxx? ?的取值范围 【点评】本题看似不是最值问题，但只要求出了最值，函数的取值范围自然可确定。 . 2.当1txt? ?时，求函数 2 15 22 yxx?的最小值(其中t为常数
5、) 【分析】由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置 (3) 当对称轴在所给范围右侧即110tt? ?时： 当1xt? ?时， 22 min 151 (1)(1)3 222 yttt? 综上所述： 2 2 1 3,0 2 3,01 15 ,1 22 tt yt ttt ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【点评】本题所给的x取值范围不确定，但函数确定，即对称轴固定，可分情况讨论x取值相对于对称轴的 位置即：在轴的左、右、包含对称轴三种情况求出最值，为轴定x取值变问题。 3.提出问题：当 x0 时如何求函数 y=x+的最大值或最小值？ 分析问题：前面我们刚
6、刚学过二次函数的相关知识，知道求二次函数的最值时，我们可以利用它的图象进 行猜想最值，或利用配方可以求出它的最值 例如我们求函数 y=x2（x0）的最值时，就可以仿照二次函数利用配方求最值的方法解决问题；y=x 2=（）222+11=（1）21 即当 x=1 时，y 有最小值为1来源:163文库 解决问题 借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数 y=x+（x0）的最大（小）值 （1）实践操作：填写下表，并用描点法画出函数 y=x+（x0）的图象： . x 1 2 3 4 y （2）观察猜想：观察该函数的图象，猜想 当 x= 时，函数 y=x+（x0）有最 值（填“大”或“小”） ，是 （3）推
7、理论证：利用上述例题，请你尝试通过配方法求函数 y=x+（x0）的最大（小）值，以证明你的 猜想 知识能力运用： 直接写出函数 y=2x（x0） 当 x= 时， 该函数有最 值 （填“大”或“小”） ， 是 学！科网 【分析】 （1）由 x 的值计算出 y 的值，填表即可；用描点法画出图象即可； （2）用配方法得出 y=x+=（）2+2，即可得出结果； （3）用配方法得出 y=2x=（）22，即可得出结果 【解析】 （1）当 x=时，y=x+=+4=4； 当 x=时，y=x+=+3=3；来源:学_科_网 Z_X_X_K 当 x=时，y=x+=+2=2； 当 x=1 时，y=x+=1+1=2； 当 x=2 时，y=x+=2+=2； 当 x=3 时，y=x+=3+=3； 当 x=4 时，y=x+=4+=4； 填表如下： . x 1 2 3 4 y 1 4 4 1 3 3 1 2 2 2 1 2 2 1 3 3 1 4 4 来源:163文库来源:学+科+网 Z+X+X+K 函数图象如图所示： 【点评】本题是函数综合题目，考查了用描点法画函数的图象、函数的最值问题、配方法的应用；本题综 合性强，难度较大，用配方法求出函数的最值是解决问题的关键 给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的学 习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到 的高度，而是继续不断的攀登。-高斯 .
