1、. 第一章第一章 因式分解因式分解 第第 2 讲讲 十字相乘法十字相乘法-精讲深剖精讲深剖 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及 各种恒等变形中起着重要的作用，是继续高中数学学习的一项基本技能。 因式分解的方法较多， 除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外， 还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等。 【知识梳理知识梳理】 1.乘法公式：初中已经学习过了下列乘法公式：来源:163文库来源:学.科.网 Z.X.X.K （1）平方差公式 22 ()()ab abab?； （2）完全平方公式 222
2、 ()2abaabb? （3）立方和公式 2233 ()()ab aabbab?； （4）立方差公式 2233 ()()ab aabbab?； 2把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式 3因式分解与整式乘法的区别和联系：因式分解与整式乘法是互逆关系 （1）整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式； （2）因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘 4因式分解的思路： （1）先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式； （2）再看能否使用公式法；学科+网 （3）用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的； （4）因式分解的最后结果必须是几个整
3、式的乘积，否则不是因式分解； （5）因式分解的结果必须进行到每个因式在要求的范围内（比如有理数范围内）不能再分解为止 5因式分解的解题步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式） 、三检查（彻底分解） 来 源:学#科#网 【精讲深剖精讲深剖】 1对于二次项系数为对于二次项系数为 1 的二次三项式的二次三项式 2 ()xp q xpq+型的因式分解型的因式分解来源来源:163文库 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：二次项系数是 1；常数项是两个数之积；一次项 系数是常数项的两个因数之和。 . 即； 22 ()()()()()xpq xpqxpxqxpqx xpq xpxp xq?
4、 注：这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数， 通常借助画十字交叉线的办法来确定，故称为十字相乘法。 【典例解析】【典例解析】把下列各式因式分解： (1) 2 56xx?； (2) 2 1312xx?； (3) 2 524xx?； 【变式训练变式训练】 1.把下列各式因式分解： （1）?65 2 xx_。 （2） 2 76xx+ =_。 （3）?65 2 xx_。 （4）?65 2 xx_。 （5）?axax1 2 _。 （6）?1811 2 xx_。 （7） 2 12xx-+-_。 （8） 22 6xxyy?_。 （9）若?42 2 ?xxb
5、axx则 ?a， ?b。 （10）? 3 4 2 ?xxxx 2对于对于一般二次三项式一般二次三项式 2 axbxc?型的因式分解型的因式分解 因为， 2 1122121 22 11 2 ()()()a xca xca a xaca c xcc? 反过来，就得到； 2 1 21 22 11 21122 ()()()aa xaca c xcca xca xc? 我们发现，二次项系数a分解成 12 a a，常数项c分解成 1 2 c c，把 1212 , ,a a c c写成 11 22 ac ac ?，这里按斜 线交叉相乘， 再相加， 就得到 1 22 1 a ca c?， 如果它正好等于 2
6、axbxc?的一次项系数b， 那么 2 axbxc? 就可以分解成 1122 ()()a xca xc?，其中 11 ,a c位于上一行， 22 ,a c位于下一行。 . 【典例解析】【典例解析】把下列各式因式分解：学科+网 (1) 2 1252xx?； (2) 22 568xxyy? 【变式训练变式训练】 1.把下列各式分解因式： (1) 22 45mmnn?； (2) 42 718xx? ； (3) 2 673xx?； (4) 22 3352baba?； （5） 22 82615xxyy? ； (6) 2 7()5()2abab? 来源:学,科,网 给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的学 习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到 的高度，而是继续不断的攀登。-高斯
