1、. 第第三三讲讲 一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系 现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、 解法及应用， 而一元二次方 程的根的判断式及根与系数的关系， 在高中教材中的二次函数、 不等式及解析几何等章节有 着许多应用本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述 一、一、一元二次方程的根的判断式一元二次方程的根的判断式 一元二次方程 2 0 (0)axbxca?，用配方法将其变形为： 2 2 2 4 () 24 bbac x aa ? ? (1) 当 2 40bac?时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实数根： 2 4 2 bbac x a ? ?
2、? (2) 当 2 40bac?时，右端是零因此，方程有两个相等的实数根： 1,2 2 b x a ? ? (3) 当 2 40bac?时，右端是负数因此，方程没有实数根 由于可以用 2 4bac?的取值情况来判定一元二次方程的根的情况 因此， 把 2 4bac?叫 做一元二次方程 2 0 (0)axbxca?的根的判别式，表示为： 2 4bac? ? 【例【例 1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数： (1) 2 2310xx? ? (2) 2 4912yy? (3) 2 5(3)60xx? 解：解：(1) 2 ( 3)4 2 110? ? ? ? ? ? ?， 原方程有两个不相等的实数根
3、 (2) 原方程可化为： 2 41290yy? 2 ( 12)4490? ? ?， 原方程有两个相等的实数根 (3) 原方程可化为： 2 56150xx? 2 ( 6)45152640? ? ? ?， 原方程没有实数根 说明：说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式 【例【例 2】已知关于x的一元二次方程 2 320xxk?，根据下列条件，分别求出k的 范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根； (4) 方程无实数根 . 解：解： 2 ( 2)4 34 12kk? ? ? ? ? (1) 1 4120 3 kk?； (2
4、) 1 4120 3 kk?； (3) 1 4120 3 kk?； (4) 1 4120 3 kk? 【例【例 3】已知实数x、y满足 22 210xyxyxy? ?，试求x、y的值 解：解：可以把所给方程看作为关于x的方程，整理得： 22 (2)10xyxyy? ? 由于x是实数，所以上述方程有实数根，因此： 222 (2)4(1)300yyyyy? ? ? ?， 代入原方程得： 2 2101xxx? ? ? 综上知：1,0xy? ? 二、一元二次方程的根与系数的关系二、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程 2 0 (0)axbxca?的两个根为： 22 44 , 22 bbacbba
5、c xx aa ? ? ? ? 所以： 22 12 44 22 bbacbbacb xx aaa ? ? ? ? ?， 22222 12 22 44()(4)4 22(2 )4 bbacbbacbbacacc xx aaaaa ? ? ? ? 定理：如果一元二次方程 2 0 (0)axbxca?的两个根为 12 ,x x，那么： 1212 , bc xxx x aa ? ? 说明说明： 一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现， 所以通常把此 定理称为”韦达定理”上述定理成立的前提是0? ? 【例【例 4】若 12 ,x x是方程 2 220070xx?的两个根，试求下列各式的
6、值： (1) 22 12 xx?； (2) 12 11 xx ?； (3) 12 (5)(5)xx?； (4) 12 |xx? 分析：分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算这 里，可以利用韦达定理来解答 解解：由题意，根据根与系数的关系得： 1212 2,2007xxx x? ? ? . (1) 2222 121212 ()2( 2)2( 2007)4018xxxxx x? ? (2) 12 1212 1122 20072007 xx xxx x ? ? ? (3) 121212 (5)(5)5()2520075( 2)251972xxx xxx? ? ? (
7、4) 222 12121212 |()()4( 2)4( 2007)2 2008xxxxxxx x? 说明说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： 222 121212 ()2xxxxx x?， 12 1212 11xx xxx x ? ?， 22 121212 ()()4xxxxx x?， 2 121212 |()4xxxxx x?， 22 12121212 ()x xx xx x xx?， 333 12121212 ()3()xxxxx x xx?等等韦达定理体现了整体思想 【例【例 5】已知关于x的方程 22 1 (1)10 4 xkxk? ?，根据下列条件，分别求出k的
8、值 (1) 方程两实根的积为 5； (2) 方程的两实根 12 ,x x满足 12 |xx? 分析：分析：(1) 由韦达定理即可求之；(2) 有两种可能，一是 12 0xx?，二是 12 xx?， 所以要分类讨论 解：解：(1) 方程两实根的积为 5 22 2 12 1 (1)4(1)0 3 4 ,4 12 15 4 kk kk x xk ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以，当4k ?时，方程两实根的积为 5 (2) 由 12 |xx?得知： 当 1 0x ?时， 12 xx?，所以方程有两相等实数根，故 3 0 2 k? ?； 当 1 0x ?时， 1212 0101x
9、xxxkk? ? ?，由于 3 0 2 k? ?，故1k ? ?不合题意，舍去 综上可得， 3 2 k ?时，方程的两实根 12 ,x x满足 12 |xx? 说明：说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实 根的条件，即所求的字母应满足0? ? . 【例【例 6】已知 12 ,x x是一元二次方程 2 4410kxkxk? ?的两个实数根 (1) 是否存在实数k，使 1212 3 (2)(2) 2 xxxx? ?成立？若存在，求出k的值； 若不存在，请您说明理由 (2) 求使 12 21 2 xx xx ?的值为整数的实数k的整数值 解：解：(1) 假设存在
10、实数k，使 1212 3 (2)(2) 2 xxxx? ?成立 一元二次方程 2 4410kxkxk? ?的两个实数根 2 40 0 ( 4 )4 4 (1)160 k k kk kk ? ? ? ? ? ? ? ? ， 又 12 ,x x是一元二次方程 2 4410kxkxk? ?的两个实数根 12 12 1 1 4 xx k x x k ? ? ? ? ? ? 222 121212121212 (2)(2)2()52()9xxxxxxx xxxx x? 939 425 k k k ? ? ? ?，但0k ? 不存在实数k，使 1212 3 (2)(2) 2 xxxx? ?成立 (2) 22
11、2 121212 211212 ()44 2244 11 xxxxxxk xxx xx xkk ? ? ? ? 要使其值是整数，只需1k ?能被 4 整除，故11, 2, 4k ? ? ? ?，注意到0k ?， 要使 12 21 2 xx xx ?的值为整数的实数k的整数值为2, 3, 5? ? 说明：说明：(1) 存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明 存在，否则即不存在 (2) 本题综合性较强，要学会对 4 1k ? 为整数的分析方法 . A 组组 1一元二次方程 2 (1)210k xx? ?有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A2k ? B2,1k
12、k?且 C2k ? D2,1kk?且 2若 12 ,x x是方程 2 2630xx?的两个根，则 12 11 xx ?的值为( ) A2 B2? C 1 2 D 9 2 3已知菱形 ABCD 的边长为 5，两条对角线交于 O 点，且 OA、OB 的长分别是关于x的方 程 22 (21)30xmxm?的根，则m等于( ) A3? B5 C53?或 D53? 或 4若t是一元二次方程 2 0 (0)axbxca?的根，则判别式 2 4bac? ?和完全平方 式 2 (2)Matb?的关系是( ) AM? ? BM? ? CM? ? D大小关系不能确定 5若实数ab?，且, a b满足 22 850
13、,850aabb?，则代数式 11 11 ba ab ? ? ? 的 值为( ) A20? B2 C220?或 D220或 6如果方程 2 ()()()0bc xca xab?的两根相等，则, ,a b c之间的关系是 _ 7已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程 2 2870xx?的两个根，则这个直 角三角形的斜边长是 _ 8若方程 2 2(1)30xkxk?的两根之差为 1，则k的值是 _ 9 设 12 ,x x是方程 2 0xpxq?的两实根， 12 1,1xx?是关于x的方程 2 0xqxp? 的两实根，则p= _ ，q= _ 10已知实数, ,a b c满足 2 6,9ab ca
14、b?，则a= _ ，b= _ ，c= _ 11对于二次三项式 2 1036xx?，小明得出如下结论：无论x取什么实数，其值都不可 能等于 10您是否同意他的看法？请您说明理由 12 若0n ?，关于x的方程 2 1 (2 )0 4 xmn xmn?有两个相等的的正实数根，求 m n 的 练练 习习 . 值 13已知关于x的一元二次方程 2 (41)210xmxm? ? (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为 12 ,x x，且满足 12 111 2xx ? ?，求m的值 14已知关于x的方程 22 1 (1)10 4 xkxk? ?的两根是一个矩形两
15、边的长 (1) k取何值时，方程存在两个正实数根？ (2) 当矩形的对角线长是5时，求k的值 B 组组 1已知关于x的方程 2 (1)(23)10kxkxk? ?有两个不相等的实数根 12 ,x x (1) 求k的取值范围； (2) 是否存在实数k，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存 在，请您说明理由 2已知关于x的方程 2 30xxm?的两个实数根的平方和等于 11求证：关于x的方程 22 (3)640kxkmxmm?有实数根 3若 12 ,x x是关于x的方程 22 (21)10xkxk? ?的两个实数根，且 12 ,x x都大于 1 (1) 求实数k的取值范围； (
16、2) 若 1 2 1 2 x x ?，求k的值 . 第第三三讲讲 一元二次方程根与系数的关系习题答案一元二次方程根与系数的关系习题答案 A 组组 1 B 2 A 3A 4A 5A 62 ,acbbc?且 7 3 8 9 或3? 91,3pq? ? ? 103,3,0abc? 11正确 124 13 2 1 (1)1650 (2) 2 mm? ? ? 14 3 (1) (2)2 2 kk? B 组组 1 13 (1)1 12 kk?且 (2) 不存在 21m ? (1)当3k ?时，方程为310x ? ?，有实根；(2) 当3k ?时，0? ?也有实根 3(1) 3 1 4 kk?且 ； (2) 7k ?
