1、- 1 - 教师版 2015 高中数学必修 +选修知识点归纳 引言 1. 课程内容： 必修课程 由 5 个模块组成： 必修 1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂 函数） 必修 2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修 3：算法初步、统计、概率。 必修 4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角 恒等变换。 必修 5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和 基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不 等式、解三角形、 立体几何初步、 平面解析几何初步等。 不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知 识的发生
2、、 发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上 做过高的要求。 此外， 基础内容还增加了向量、算法、 概率、 统计 等内容。 选修课程 有 4 个系列： 系列 1：由 2 个模块组成。 选修 11：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及 其应用。 选修 12：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复 数、框图 系列 2：由 3 个模块组成。 选修 21：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修 22：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充 与复数 选修 23：计数原理、随机变量及其分布列，统计案 例。 系列 3：由 6 个专题组成。 选修 31：数学史选讲。 选修 32：信息安全与密码。
3、 选修 33：球面上的几何。 选修 34：对称与群。 选修 35：欧拉公式与闭曲面分类。 选修 36：三等分角与数域扩充。 系列 4：由 10 个专题组成。 选修 41：几何证明选讲。 选修 42：矩阵与变换。 选修 43：数列与差分。 选修 44：坐标系与参数方程。 选修 45：不等式选讲。 选修 46：初等数论初步。 选修 47：优选法与试验设计初步。 选修 48：统筹法与图论初步。 选修 49：风险与决策。 选修 410：开关电路与布尔代数。 2重难点及考点： 重点： 函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线， 立体几何，导数 难点： 函数、圆锥曲线 高考相关考点： 集合与简易逻辑: 集
4、合的概念与运算、简易逻辑、充 要条件 函数： 映射与函数、 函数解析式与定义域、值域与最 值、反函数、 三大性质、 函数图象、指数与指 数函数、对数与对数函数、函数的应用 数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、 数列 求和、数列的应用 三角函数： 有关概念、 同角关系与诱导公式、和、差、 倍、半公式、求值、化简、证明、三角函 数的图象与性质、三角函数的应用 平面向量： 有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积 及其应用 不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、 不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用 直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、 线性规划、圆、直线与圆的位置关系 圆
5、锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、 直线与圆锥 曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用 直线、平面、简单几何体：空间直线、直线与平面、 平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量 排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理 及其应用 概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正 态分布 导数：导数的概念、求导、导数的应用 复数：复数的概念与运算 必修 1 数学知识点 第一章：集合与函数概念 1.1.1 、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体 叫做集合。 集合三要素： 确定性、 互异性、 无序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集 合相等。 3、 常见集合
6、： 正整数集合： * N或N， 整数集合：Z， 有理数集合：Q，实数集合： R. 4、集合的表示方法：列举法、描述法. 1.1.2 、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中任意 一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合 B的子集。记作BA. 2、 如果集合BA，但存在元素Bx，且Ax， 则称集合A是集合 B的真子集 . 记作： A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集. 记作：. 并规 定：空集合是任何集合的子集. - 2 - 4、 如果集合A 中含有 n 个元素，则集合A有 n 2个子 集，21 n 个真子集 . 1.1.3 、集合间的基本运算 1、 一般
7、地， 由所有属于集合A或集合 B的元素组成的 集合，称为集合A与 B的并集 . 记作：BA. 2、 一般地， 由属于集合A且属于集合B的所有元素组 成的集合，称为A与 B的交集 . 记作：BA. 3、全集、补集？|, U C Ax xUxU且 1.2.1 、函数的概念 1、 设 A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集 合 B中都有惟一确定的数xf和它对应，那么就 称BAf :为集合A 到集合B 的一个函数，记 作：Axxfy,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、 对应关系、 值域 . 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一 致，则称这
8、两个函数相等. 1.2.2 、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. 1.3.1 、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1) 定义法： 设 2121 ,xxbaxx 、那么 ,)(0)()( 21 baxfxfxf在上是增函数； ,)(0)()( 21 baxfxfxf在上是减函数 . 步骤：取值作差变形定号判断 格 式 ： 解 ： 设baxx, 21 且 21 xx， 则 ： 21 xfxf= (2) 导数法： 设函数)(xfy在某个区间内可导， 若0)(xf，则)(xf为增函数； 若0)(xf，则)(xf为减函数 . 1.3.2 、奇偶性 1、
9、 一般地，如果对于函数xf的定义域内任意一个 x，都有xfxf，那么就称函数xf为偶 函数 . 偶函数图象关于y轴对称 . 2、 一般地，如果对于函数xf的定义域内任意一个 x，都有xfxf，那么就称函数xf为 奇函数 . 奇函数图象关于原点对称. 知识链接：函数与导数 1、函数)(xfy在点 0 x处的导数的几何意义： 函数)(xfy在点 0 x处的导数是曲线)(xfy在 )(,( 00 xfxP处的切线的斜率)( 0 xf，相应的切线方 程是)( 000 xxxfyy. 2、几种常见函数的导数 C0； 1 )( nn nxx； xxcos)(sin ； xxsin)(cos ； aaa x
10、x ln)( ； xx ee )(； ax x a ln 1 )(log ； x x 1 )(ln 3、导数的运算法则 （1） ()uvuv. （2） ()uvuvuv. （3） 2 ( )(0) uu vuv v vv . 4、复合函数求导法则 复合函数( ( )yf g x的导数和函数 ( ),( )yf u ug x的导数间的关系为 xux yyu， 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的 乘积 . 解题步骤 : 分层层层求导作积还原. 5、函数的极值 (1) 极值定义： 极值是在 0 x 附近所有的点，都有 )(xf )( 0 xf ， 则)( 0 xf是函数)(xf的极大值；
11、 极值是在 0 x附近所有的点，都有)(xf)( 0 xf， 则)( 0 xf 是函数 )(xf 的极小值 . (2) 判别方法： 如果在 0 x附近的左侧)( xf0，右侧)( xf0， 那么)( 0 xf 是极大值； 如果在 0 x附近的左侧)( xf0，右侧)( xf0， 1a10a 图 象 -1 -4-2 0 1 -1 -4-2 0 1 性 质 (1) 定义域： R （2）值域：（0，+） （3）过定点（ 0，1） ，即 x=0 时， y=1 4 在 R 上是增函数（4）在 R上是减函数 (5)0,1 x xa; 0,01 x xa (5)0,01 x xa; 0,1 x xa - 3
12、 - 那么)( 0 xf是极小值 . 6、求函数的最值 (1) 求( )yf x在( , )a b内的极值（极大或者极小值） (2) 将( )yf x的各极值点与( ),( )f af b比较，其中 最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。 注： 极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）； 最值是在整体区间上对函数值进行比较( 整体性质 ) 。 第二章：基本初等函数（） 2.1.1 、指数与指数幂的运算 1、 一般地， 如果ax n ，那么x叫做a的n次方根。 其中 Nnn, 1. 2、 当n为奇数时，aa nn ； 当n为偶数时，aa nn . 3、 我们规定： mn m n aa 1, 0
13、 * mNnma； 0 1 n a a n n ； 4、 运算性质： Qsraaaa srsr , 0； Qsraaa rs s r , 0； Qrbabaab rrr , 0, 0. 2.1.2 、指数函数及其性质 1、记住图象：1, 0 aaay x 2、性质： 2.2.1 、对数与对数运算 1、指数与对数互化式：log x a aNxN； 2、对数恒等式： logaN aN. 3、基本性质：01loga，1log a a . 4、运算性质：当0,0,1,0NMaa时： NMMN aaa logloglog； NM N M aaa logloglog ； MnM a n a loglog.
14、 5、换底公式： a b b c c a log log log 0, 1,0, 1,0bccaa. 6、重要公式：loglog n m a a m bb n 7、 倒数关系： a b b a log 1 log1, 0,1,0bbaa. 2.2.2、对数函数及其性质 1、记住图象：1, 0logaaxy a 2、性质： 2.3 、幂函数 1、几种幂函数的图象： 1a10a 图 象 2.5 1.5 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -1 0 1 1 2.5 1.5 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -1 0 1 1 性 质 (1) 定义域：（0， +） （2）值
15、域： R （3）过定点（ 1，0） ，即 x=1 时， y=0 （4）在（0，+）上 是增函数 （4）在（ 0，+）上 是减函数 (5)0log, 1xx a ； 0log, 10 xx a (5)0log, 1xx a ； 0log, 10 xx a 0a1 1 y=a x o y x 0a1 1 y=logax o y x - 4 - 第三章：函数的应用 3.1.1 、方程的根与函数的零点 1、方程 0 xf 有实根 函数xfy的图象与x轴有交点 函数xfy有零点 . 2、 零点存在性定理： 如果函数xfy在区间ba,上的图象是连续不断 的一条曲线，并且有0bfaf，那么函数 xfy在区间
16、ba,内有零点，即存在bac,， 使得0cf，这个c也就是方程0 xf的根 . 3.1.2 、用二分法求方程的近似解 1、掌握二分法. 3.2.1 、几类不同增长的函数模型 3.2.2 、函数模型的应用举例 1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函 数拟合，最后检验. 必修 2 数学知识点 第一章：空间几何体 1、空间几何体的结构 常见的多面体有：棱柱、棱锥、 棱台；常见的旋转体 有：圆柱、圆锥、圆台、球。 棱柱： 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并 且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些 面所围成的多面体叫做棱柱。 棱台： 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面 与截面
17、之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 2、空间几何体的三视图和直观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心 投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下 的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。 3、空间几何体的表面积与体积 圆柱侧面积；lrS2 侧面 圆锥侧面积：lrS侧面 圆台侧面积：lRlrS侧面 体积公式： hSV柱体 ；hSV 3 1 锥体 ； hSSSSV 下下上上台体 3 1 球的表面积和体积： 32 3 4 4RVRS 球球 ，. 第二章：点、直线、平面之间的位置关系 1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么 这条直线在此平面内。 2、公理2：过不在一条直线上
18、的三点，有且只有一个 平面。 3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么它们有且只有一条过该点的公共直线。 4、公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那 么这两个角相等或互补。 6、线线位置关系：平行、相交、异面。 7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、 直线和平面相交。 8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行： 判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 则该直线与此平面平行（简称线线平行， 则线面平行） 。 性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的 任一平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面 平行，则线
19、线平行） 。 10、面面平行： 判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平 行，则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行） 。 性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交， - 5 - 那么它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。 11、线面垂直： 定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直 线，那么就说这条直线和这个平面垂直。 判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂 直，则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线 面垂直）。 性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直： 定义： 两个平面相交， 如果它们所成的二面角是直二 面角，就说这两个平面互相垂直。 判定：一个
20、平面经过另一个平面的一条垂线，则这 两个平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。 性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交 线的直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直，则 线面垂直）。 第三章：直线与方程 1、倾斜角与斜率： 12 12 tan xx yy k 2、直线方程： 点斜式： 00 xxkyy 斜截式：bkxy 两点式： 121 121 yyyy xxxx 截距式：1 xy ab 一般式：0CByAx 3、对于直线： 222111 :,:bxkylbxkyl有： 21 21 21/ bb kk ll； 1 l和 2 l相交 12 kk； 1 l和 2 l重合 21 21 bb kk
21、； 1 2121 kkll. 4、对于直线： 0: ,0: 2222 1111 CyBxAl CyBxAl 有： 1221 1221 21/ CBCB BABA ll； 1 l和 2 l相交 1221 BABA； 1 l和 2 l重合 1221 1221 CBCB BABA ； 0 212121 BBAAll. 5、两点间距离公式： 2 12 2 1221yyxxPP 6、点到直线距离公式： 22 00 BA CByAx d 7、两平行线间的距离公式： 1 l：0 1 CByAx与 2 l：0 2 CByAx平行， 则 22 21 BA CC d 第四章：圆与方程 1、圆的方程： 标准方程：
22、222 rbyax 其中 圆心为( , )a b，半径为r. 一般方程：0 22 FEyDxyx. 其中 圆心为(,) 22 DE ， 半径为 221 4 2 rDEF . 2、直线与圆的位置关系 直线0CByAx与圆 222 )()(rbyax 的位置关系有三种: 0相离rd; 0相切rd; 0相交rd. 弦长公式： 22 2drl 22 1212 1()4kxxx x - 6 - 3、两圆位置关系： 21O Od 外离：rRd； 外切：rRd； 相交：rRdrR； 内切：rRd； 内含：rRd. 3、空间中两点间距离公式： 2 12 2 12 2 1221 zzyyxxPP 必修 3 数学
23、知识点 第一章：算法 1、算法三种语言： 自然语言、流程图、程序语言； 2、流程图中的图框： 起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等 规范表示方法； 3、算法的三种基本结构： 顺序结构、条件结构、循环结构 当型循环结构 直到型循环结构 顺序结构示意图： （图 1） 条件结构示意图： IF-THEN-ELSE 格式： （图 2） IF-THEN 格式： （图 3） 循环结构示意图： 当型 （WHILE型）循环结构示意图： （图 4） 直到型 （UNTIL型）循环结构示意图： （图 5） 4、基本算法语句： 输入语句的一般格式：INPUT“提示内容”；变量 输出语句的一般格式：PRINT“提
24、示内容”；表达式 赋值语句的一般格式：变量表达式 （ “=”有时也用“” ）. 条件语句的一般格式有两种： IF THEN ELSE语句的一般格式为： IF THEN语句的一般格式为： 循环语句的一般格式是两种： 当型循环（ WHILE ）语句的一般格式： 直到型循环（UNTIL）语句的一般格式： IF 条件THEN 语句 1 ELSE 语句 2 END IF IF 条件 THEN 语句 END IF （图 3） （图 2） WHILE 条件 循环体 WEND （图4） DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 （图5） 语句 n+1 语句 n 满足条件？ 语句 1 语句 2 是 否 满足条件
25、？ 语句 是 否 满足条件？ 循环体 是 否 满足条件？ 循环体 是 否 - 7 - 算法案例： 辗转相除法结果是以相除余数为0 而得到 利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下： ） ：用较大的数m除以较小的数n 得到一个商 0 S和 一个余数 0 R； ） ：若 0 R 0，则 n 为 m ，n 的最大公约数； 若 0 R 0，则用除数n 除以余数 0 R得到一个商 1 S和一个余数 1 R； ） ：若 1 R0，则 1 R为 m ，n 的最大公约数； 若 1 R 0，则用除数 0 R除以余数 1 R得到一个商 2 S和一个余数 2 R； 依次计算直至 n R0，此时所得到的 1n R 即为所
26、求 的最大公约数。 更相减损术结果是以减数与差相等而得到 利用更相减损术求最大公约数的步骤如下： ） ：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。 若是，用2 约简；若不是，执行第二步。 ） ：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与 所得的差比较， 并以大数减小数。继续这个操作， 直到 所得的数相等为止，则这个数 （等数） 就是所求的最大 公约数。 进位制 十进制数化为k 进制数 除 k 取余法 k 进制数化为十进制数 第二章：统计 1、抽样方法： 简单随机抽样（总体个数较少） 系统抽样（总体个数较多） 分层抽样（总体中差异明显） 注意：在N个个体的总体中抽取出n 个个体组成样本， 每个个体被
27、抽到的机会（概率）均为 N n 。 2、总体分布的估计： 一表二图： 频率分布表数据详实 频率分布直方图分布直观 频率分布折线图便于观察总体分布趋势 注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。 茎叶图： 茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的 分布，以及中位数、众位数等。 个位数为叶， 十位数为茎， 右侧数据按照从小到大书 写，相同的数据重复写。 3、总体特征数的估计： 平均数： n xxxx x n321 ； 取值为 n xxx, 21的频率分别为n ppp, 21， 则其平 均数为 nn pxpxpx 2211 ； 注意：频率分布表计算平均数要取组中值。 方差与标准差：一组样本数
28、据 n xxx, 21 方差： 2 1 2 )( 1 n i i xx n s； 标准差： 2 1 )( 1 n i ixx n s 注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。 平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳 定水平。 线性回归方程 变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； 制作散点图，判断线性相关关系 线性回归方程：abxy（最小二乘法） 1 2 2 1 n ii i n i i x ynxy b xnx aybx 注意：线性回归直线经过定点),(yx。 第三章：概率 1、随机事件及其概率： 事件： 试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表 示； 必然事件、不可能事件、随机
29、事件的特点； 随机事件A的概率： 1)(0,)(AP n m AP. 2、古典概型： 基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果； 古典概型的特点： 所有的基本事件只有有限个； 每个基本事件都是等可能发生。 古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件 共有 n 个，事件 A包含了其中的m个基本事件， 则事件 A发生的概率 n m AP)(. 3、几何概型： 几何概型的特点： 所有的基本事件是无限个； 每个基本事件都是等可能发生。 几何概型概率计算公式： 的测度 的测度 D d AP)(； 其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、体 积等。 4、互斥事件： - 8 - 不可能同时发生
30、的两个事件称为互斥事件； 如果事件 n AAA, 21任意两个都是互斥事件，则称 事件 n AAA, 21 彼此互斥。 如果事件A， B互斥，那么事件A+B发生的概率，等 于事件 A，B发生的概率的和， 即：)()()(BPAPBAP 如果事件 n AAA, 21 彼此互斥，则有： )()()()( 2121nn APAPAPAAAP 对立事件： 两个互斥事件中必有一个要发生，则称这 两个事件为对立事件。 事件 A的对立事件记作A )(1)(, 1)()(APAPAPAP 对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事 件。 必修 4 数学知识点 第一章：三角函数 1.1.1 、任意角 1、 正
31、角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角终边相同的角的集合： Zkk ,2 . 1.1.2 、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的 角. 2、 r l . 3、弧长公式：R Rn l 180 . 4、扇形面积公式：lR Rn S 2 1 360 2 . 1.2.1 、任意角的三角函数 1、 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 yxP,，那么： x y xytan,cos,sin 2、 设点,A xy为角终边上任意一点，那么： （设 22 rxy） sin y r ，cos x r ，tan y x ，cot x y 3、sin，cos，tan 在四个象限的符号和
32、三角函数线的画法. 正弦线： MP; 余弦线： OM; 正切线： AT 5、 特殊角 0， 30， 45， 60， 90， 180， 270 等的三角函数值. 0 6432 2 3 3 4 3 2 2 sin cos tan 1.2.2 、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：1cossin 22 . 2、 商数关系： cos sin tan. 3、 倒数关系：tancot1 1.3 、三角函数的诱导公式 （概括为“ 奇变偶不变，符号看象限”Zk） 1、 诱导公式一： .tan2tan ,cos2cos ,sin2sin k k k （其中：Zk） 2、 诱导公式二： .tantan ,c
33、oscos ,sinsin 3、诱导公式三： .tantan ,coscos ,sinsin 4、诱导公式四： .tantan ,coscos ,sinsin 5、诱导公式五： .sin 2 cos ,cos 2 sin 6、诱导公式六： .sin 2 cos ,cos 2 sin T M AO P x y - 9 - 1.4.1 、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定 义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇 偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图. sinyx在0, 2 x上的五个关键点为： 3 0 010-120
34、 22 （ ， ）（ ， ， ） （ ， ， ）（ ，） （ ， ） . 1.4.3 、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象： y=tanx 3 22 -3 2 - - 2 o y x 2、记住余切函数的图象： y=cotx 3 2 2 2 - - 2 o y x 3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 周期函数定义：对于函数xf，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 xfTxf，那么函数xf就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期 . 图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质 xysinxycosxy
35、tan 图象 定义域 RR , 2 |Zkkxx 值域-1,1 -1,1 R 最值 max min 2,1 2 2,1 2 xkkZy xkkZy 时， 时， max min 2,1 2,1 xkkZy xkkZy 时， 时， 无 周期性2T2TT 奇偶性奇偶奇 1 -1 y=cosx -3 2 -5 2 -7 2 7 2 5 2 3 2 2 -2 -4 -3 -24 3 2 - o y x 1 -1 y=sinx -3 2 -5 2 -7 2 7 2 5 2 3 2 2 -2 -4-3 -2432 - o y x - 10 - 单调性 Zk 在 2,2 22 kk 上单调递增 在 3 2,2
36、 22 kk 上单调递减 在2,2kk上单调递增 在2,2kk上单调递减 在 (,) 22 kk 上单调递增 对称性 Zk 对称轴方程： 2 xk 对称中心(,0)k 对称轴方程：xk 对称中心(,0) 2 k 无对称轴 对称中心, 0)( 2 k 1.5 、函数xAysin的图象 1、对于函数： sin0,0yAxB A有：振幅 A，周 期 2 T， 初相， 相位x， 频率 2 1 T f. 2、能够讲出函数xysin的图象与 sinyAxB的图象之间的平移伸缩变 换关系 . 先平移后伸缩： sinyx平移|个单位sinyx （左加右减） 横坐标不变 sinyAx 纵坐标变为原来的A倍 纵坐
37、标不变 sinyAx 横坐标变为原来的 1 |倍 平移|B个单位 sinyAxB （上加下减） 先伸缩后平移： sinyx横坐标不变sinyAx 纵坐标变为原来的A倍 纵坐标不变sinyAx 横坐标变为原来的 1 |倍 平移个单位sinyAx （左加右减） 平移|B个单位 sinyAxB （上加下减） 3、三角函数的周期，对称轴和对称中心 函数sin()yx， xR及函数cos()yx， xR(A,为常数，且A0) 的周期 2 | T；函 数tan()yx，, 2 xkkZ(A, ,为 常数，且A0)的周期 | T. 对 于s i n ()yAx和cos()yAx来 说， 对称中心与零点相联系
38、，对称轴与最值点联系. 求函数sin()yAx图像的对称轴与对称中心， 只需令() 2 xkkZ与()xkkZ 解出x即可 . 余弦函数可与正弦函数类比可得. 4、由图像确定三角函数的解析式 利用图像特征： maxmin 2 yy A， maxmin 2 yy B. 要根据周期来求,要用图像的关键点来求. 1.6 、三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题. 第三章、三角恒等变换 3.1.1 、两角差的余弦公式 记住 15的三角函数值： sincostan - 2 - 124 26 4 26 32 3.1.2 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、sincoscossinsin 2、
39、sincoscossinsin 3、sinsincoscoscos 4、sinsincoscoscos 5、 tantan 1 tantan tan. 6、 tantan 1 tantan tan. 3.1.3 、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、cossin22sin， 变形 ： 1 2 sincossin2. 2、 22 sincos2cos 1cos2 2 2 sin21. 变形如下： 升幂公式： 2 2 1cos22cos 1cos22sin 降幂公式： 2 2 1 cos(1cos2 ) 2 1 sin(1cos2 ) 2 3、 2 tan1 tan2 2tan. 4、 sin21c
40、os2 tan 1cos2sin 2 3.2 、简单的三角恒等变换 1、 注意正切化弦、平方降次. 2、辅助角公式 )sin(cossin 22 xbaxbxay （ 其 中 辅 助 角所 在 象 限 由 点( , )a b的 象 限 决 定,tan b a ). 第二章：平面向量 2.1.1 、向量的物理背景与概念 1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度. 2、 既有大小又有方向的量叫做向量. 2.1.2 、向量的几何表示 1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三 个要素：起点、方向、长度. 2、向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称 模） ，记作AB；长度为零的向量叫做
41、零向量；长 度等于 1 个单位的向量叫做单位向量. 3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共 线向量） . 规定：零向量与任意向量平行. 2.1.3 、相等向量与共线向量 1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 2.2.1 、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则. 2、baba. 2.2.2 、向量减法运算及其几何意义 1、 与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量 . 2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则. 2.2.3 、向量数乘运算及其几何意义 1、 规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运 算叫做向量的数乘. 记作： a，它的长度和方向
42、规定如下： aa, 当0时, a的方向与a的方向相同；当 - 3 - 0时, a的方向与a的方向相反 . 2、 平面向量共线定理：向量0aa与b共线，当 且仅当有唯一一个实数，使ab. 2.3.1 、平面向量基本定理 1、 平面向量基本定理：如果 21,e e是同一平面内的两 个不共线向量， 那么对于这一平面内任一向量 a， 有且只有一对实数 21, ，使 2211 eea. 2.3.2 、平面向量的正交分解及坐标表示 1、yxjy i x a,. 2.3.3 、平面向量的坐标运算 1、 设 2211 ,yxbyxa，则： 2121 ,yyxxba， 2121 ,yyxxba， 11, y x
43、a， 1221 /yxyxba. 2、 设 2211 ,yxByxA，则： 1212 ,yyxxAB. 2.3.4 、平面向量共线的坐标表示 1、设 332211 ,yxCyxByxA，则 线段 AB中点坐标为 22 2121 , yyxx ， ABC的重心坐标为 33 321321 , yyyxxx . 2.4.1 、平面向量数量积的物理背景及其含义 1、cosbaba. 2、a在b方向上的投影为：cosa. 3、 22 aa. 4、 2 aa. 5、0baba. 2.4.2、 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设 2211 ,yxbyxa，则： 2121 yyxxba 2 1 2
44、1 yxa 1212 00aba bxxy y 1221 / /0ababx yx y 2、 设 2211 ,yxByxA，则： 2 12 2 12 yyxxAB. 3、 两向量的夹角公式 1212 2222 1122 cos x xy ya b a bxyxy 4、点的平移公式 平移前的点为( , )P x y（原坐标），平移后的对应点 为(,)P xy（新坐标） ，平移向量为( , )PPh k， 则 . xxh yyk 函数( )yf x的图像按向量( , )ah k平移后的 图像的解析式为().ykf xh 2.5.1 、平面几何中的向量方法 2.5.2 、向量在物理中的应用举例 知识
45、链接：空间向量 空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得. 下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行 总结归纳 . 1、直线的方向向量和平面的法向量 直线的方向向量： 若 A、B是直线l上的任意两点， 则AB为直线l的 - 4 - 一个方向向量； 与AB平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量 . 平面的法向量： 若向量n所在直线垂直于平面，则称这个向量 垂直于平面，记作n，如果n，那么向量 n 叫做平面的法向量 . 平面的法向量的求法（待定系数法）： 建立适当的坐标系 设平面的法向量为( , , )nx y z 求出平面内两个不共线向量的坐标 123123 (,),(,)aa aa
46、bb b b 根据法向量定义建立方程组 0 0 n a n b . 解方程组， 取其中一组解， 即得平面的法向量 . （如图） 2、 用向量方法判定空间中的平行关系 线线平行 设直线 12 ,l l的方向向量分别是a b、，则要证明 1 l 2 l，只需证明ab，即()akb kR . 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。 线面平行 （法一） 设直线l的方向向量是a，平面的法向 量是u，则要证明l，只需证明au，即 0a u . 即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面 的法向量垂直且直线在平面外 （法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可 以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线
47、 向量即可 . 面面平行 若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要 证，只需证uv，即证uv. 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。 3、用向量方法判定空间的垂直关系 线线垂直 设直线 12 ,ll的方向向量分别是a b、，则要证明 12 ll，只需证明ab，即0a b . 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。 线面垂直 （法一） 设直线l的方向向量是a，平面的法向 量是u， 则要证明l， 只需证明au， 即au. （法二） 设直线l的方向向量是a，平面内的两 个相交向量分别为 mn、 ，若 0 ,. 0 a m l a n 则 即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的 法向量共线直线的方
48、向向量与平面内两条不共线 直线的方向向量都垂直。 面面垂直 若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要 证，只需证uv，即证0u v. 即：两平面垂直两平面的法向量垂直。 4、利用向量求空间角 求异面直线所成的角 已知,a b为两异面直线，A，C与 B，D分别是,a b上 的任意两点，,a b所成的角为， 则cos. AC BD AC BD 求直线和平面所成的角 定义： 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成 的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角 求法： 设直线l的方向向量为a，平面的法向量 - 5 - 为u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为， 则为的余角或的补角 的余角 . 即有： coss
49、.in a u a u 求二面角 定义： 平面内的一条直线把平面分为两个部分， 其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面 角的棱，每个半平面叫做二面角的面 二面角的平面角是指在二面角l的棱上 任 取 一 点O， 分 别 在 两 个 半 平 面 内 作 射 线 lBOlAO,，则AOB为二面角l的平 面角 . 如图： 求法：设二面角l的两个半平面的法向量 分 别 为m n、， 再 设m n、的 夹 角 为， 二 面 角 l的平面角为，则二面角为m n、 的夹角 或其补角. 根据具体图形确定是锐角或是钝角： 如果是锐角，则coscos m n m n ， 即arccos m n m n ； 如果是钝角，则 coscos m n m n ， 即arccos m n m
