1、第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 高中数学 选修2-2 人教A版 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 1.综合法的定义 一般地,利用 已知条件 和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的 推理论证 ,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法. 2.基本模式 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论,则综合法 可用框图表示为: 3.综合法的书写形式一般为“因为,所以”(或“”). 1 |综合法 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概
2、念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 2 | 分析法 1.分析法的定义 一般地,从要证明的 结论 出发,逐步寻求使它成立的 充分 条件,直至最 后,把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法 叫做分析法. 2.基本模式 用Q表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为: 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 1.综合法是由果导因的逆推证法.( ) 2.综合法、分析法是直接证明的方法.( ) 3.综合法的推理过程实际上是寻找相应必要条件的过程,分析法的推理过程实际上 是寻求使结论成立的充分条件的过程
3、.( ) 判断正误，正确的画“ ” ，错误的画“ ” . 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 综合法处理问题的三个步骤 1 |综合法的应用 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 ()设数列an的前n项和为Sn,且(3-m)Sn+2man=m+3(nN*),其中m为非零常数, 且m-3. (1)求证:数列an是等比数列; (2)若数列an的公比q=f(m),数列bn满足b1=a1,bn=f(bn-1)(nN*且n2),求证:数列 是等差数列. 3 2 1 n b 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运
4、动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 证明证明 (1)由(3-m)Sn+2man=m+3, 得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3, 两式相减,得(3+m)an+1=2man, =(m-3), 又m为非零常数,数列an是等比数列. (2)(3-m)Sn+2man=m+3, (3-m)a1+2ma1=m+3, 又m-3,a1=1,b1=a1=1, 由(1)可得q=f(m)=(m-3), 1n n a a 2 3 m m 2 3 m m 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 当nN*且n2时,bn=f(bn-1)=, bnbn-1+3
5、bn=3bn-1,又易知bn0, -=, 数列是首项为1,公差为的等差数列. 3 2 3 2 -1 -1 2 3 n n b b 1 n b -1 1 n b 1 3 1 n b 1 3 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 跟踪训练跟踪训练1()已知a,b,c为不全相等的正实数,求证:+3. 证明证明 +=+-3, 因为a,b,c为不全相等的正实数, 所以+2,+2,+2,且上述三式等号不能同时成立, 所以+-36-3=3, 即+3. -bc a a -ca b b -ab c c -bc a a -ca b b -ab c c b a a b
6、 c b b c a c c a b a a b c b b c a c c a b a a b c b b c a c c a -bc a a -ca b b -ab c c 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 当不知从何处入手解决某些证明问题时,特别是对于条件简单而结论复杂的 题目,运用分析法更容易证明.另外,对于一些含有分式、根式、对数式的等式或不 等式的证明题,有时条件较少,不方便用综合法证明,常考虑用分析法证明. 2 |分析法的应用 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 ()当a2时,求
7、证:-. 证明证明 要证-, 只需证+, 即证(+)2(+)2, 即证a+1+a-2+2a+a-1+2, 即证, 即证(a+1)(a-2)a(a-1), 即证-20,显然成立, 所以-0时,用分析法证明如下: 要证(a+b), 只需证()2, 即证a2+b2(a2+b2+2ab), 即证a2+b22ab. a2+b22ab对一切实数恒成立, (a+b)成立. 综上所述,不等式得证. 22 ab 22 ab 2 2 22 ab 2 2 22 ab 2 2 () 2 ab 1 2 22 ab 2 2 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 3 |综合法
8、与分析法的综合应用 当所证结论与所给条件之间的关系不明确时,常采用分析法证明,但更多的时 候是将综合法与分析法结合使用,先看条件能够提供什么,再看结论成立需要什么, 从两头向中间靠拢,逐步接通逻辑思路. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 ()已知x0,y0,nN*,且x+y=1,求证:+. 1nx1ny 2(2)n 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 x0,y0,且x+y=1, =(当且仅当x=y时取等号), 即xy,即4xy1成立, 故原不等式成立. xy 2 xy1 2 1 4 证明证明
9、要证+, 只需证(+)22, 即证nx+1+2+ny+12(n+2), 即证n(x+y)+2+22(n+2), 将x+y=1代入, 整理得2n+2, 即证4(n2xy+n+1)(n+2)2(nN*), 即证4xy1. 1nx1ny 2(2)n 1nx1ny 2(2)n (1)(1)nxny 2 ()1n xyn xy 2 1n xyn 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 跟踪训练跟踪训练3()当x1时,求证:2x2+2x+2+. 2 1 x 1 x x 1 x 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第二章第二章 推理与证明推理与证明 证明证明 x1, 要证2x2+2x+, 只需证2x4+12x3+x, 即证2x3(x-1)x-1, x1,只需证2x31, x1, 2x321,故2x2+2x+得证. 令x=(t1),则2()2+2+,即2t+2+, 2x+2+. 综上,2x2+2x+2+. 2 1 x 1 x 2 1 x 1 x tt 2 1 () t t 1 t 1 t t 1 t 1 x x 1 x 2 1 x 1 x x 1 x
