1、第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1.3.1 综合拔高练综合拔高练 五年高考练五年高考练 考点考点 1 1 函数的导数与单调性函数的导数与单调性 1.(2016 课标全国,12,5 分,)若函数 f(x)=x- sin 2x+asin x 在(-,+) 单调递增,则 a 的取值范围是( ) A.-1,1 B.*- + C.*- + D.*- - + 2.(2017 山东,10,5 分,)若函数 e xf(x)(e=2.718 28是自然对数的底数)在 f(x)的定义域上单调递增,则称函数 f(x)具有 M 性质.下列函数中具有 M 性质的是 ( ) A.f(x)=2 -x B.f(x)=
2、x2 C.f(x)=3 -x D.f(x)=cos x 考点考点 2 2 函数的导数与不等式函数的导数与不等式 3.(2015 福建,10,5 分,)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)=-1,其导函数 f(x)满足 f(x)k1,则下列结论中一定错误的是( ) A.f( ) - C.f( - ) - 4.(2017 江苏,11,5 分,)已知函数 f(x)=x 3-2x+ex- ,其中 e 是自然对数的底 数.若 f(a-1)+f(2a 2)0,则实数 a 的取值范围是 . 考点考点 3 3 导数与单调性的综合运用导数与单调性的综合运用 5.(2019 课标全国,20,12 分,)
3、已知函数 f(x)=2sin x-xcos x-x, f(x)为 f(x)的导数. (1)证明:f(x)在区间(0,)存在唯一零点; (2)若 x0,时, f(x)ax,求 a 的取值范围. 6.(2019 课标全国,20,12 分,)已知函数 f(x)=ln x- - . (1)讨论 f(x)的单调性,并证明 f(x)有且仅有两个零点; (2)设 x0是 f(x)的一个零点,证明曲线 y=ln x 在点 A(x0,ln x0)处的切线也是曲线 y=e x的切线. 7.(2016 北京,18,13 分,)设函数 f(x)=xe a-x+bx,曲线 y=f(x)在点(2, f(2) 处的切线方程
4、为 y=(e-1)x+4. (1)求 a,b 的值; (2)求 f(x)的单调区间. 8.(2018 课标全国,21,12 分,)已知函数 f(x)= x 3-a(x2+x+1). (1)若 a=3,求 f(x)的单调区间; (2)证明:f(x)只有一个零点. 三年模拟练三年模拟练 一、选择题 1.(2019 福建福州高二上期末,)若函数 f(x)的导函数 f(x)的图象如图所示, 则函数 f(x)的图象最有可能是( ) 2.(2019 广东佛山三中高二下段考,)已知 f(x)=1+x-sin x,则 f(2), f(3), f()的大小关系正确的是( ) A.f(2)f(3)f() B.f(
5、3)f(2)f() C.f(2)f()f(3) D.f()f(3)f(2) 3.(2019 河北深州中学高二下期末,)已知定义在 R 上的连续奇函数 f(x)的 导函数为 f(x),当 x0 时, f(x)+ 0,则使得 2xf(2x)+(1-3x)f(3x-1)0 成立 的 x 的取值范围是( ) A.(1,+) B.(- )(1,+) C.( ) D.(-,1) 4.(2019 河北张家口高三上期末,)已知 a 为实数, f(x)=ax 3+3x+2,若 f(- 1)=-3,则函数 f(x)的单调递增区间为( ) A.(- , ) B.(- ) C.(0, ) D.(- ) 5.(2019
6、 云南昆明高二下期中,)定义在0,+)上的函数 f(x)的导函数 f(x) 满足(x+1)f(x)ln(x+1)+f(x)0f(1) B.2f(3)f(1)0 C.2f(3)0f(1) D.2f(3)f(1)1 的解集为 . 8.(2018 安徽蒙城第一中学月考,)已知函数 f(x)=ax 2-xln x 在* )上单 调递增,则实数 a 的取值范围是 . 三、解答题 9.(2019 河北沧州高二上期末,)已知函数 f(x)=x(eln x+1)+2,g(x)=x(e 2- x+e). (1)求函数 f(x)在点(e, f(e)处的切线方程; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)求证:当
7、 x(0,+)时, f(x)- g(x)0 恒成立. 答案全解全析答案全解全析 五年高考练五年高考练 1.C 由题意,得 f(x)=1- cos 2x+acos x0 对 xR R 恒成立, 故 1- (2cos 2x-1)+acos x0,即 acos x- cos 2x+ 0 恒成立. 设 t=cos x,则 t-1,1,则- t 2+at+ 0 对 t-1,1恒成立. 令 g(t)=- t 2+at+ , 则 - - 解得- a . 故选 C. 2.A 对于 A,令 g(x)=e x2-x,则 g(x)=ex( - - )=e x2-x( )0,则 g(x) 在 R R 上单调递增, f
8、(x)具有 M 性质,同理可得选项 B,C,D 均不符合要求,故选 A. 3.C 由已知条件,构造函数 g(x)=f(x)-kx,则 g(x)=f(x)-k0,故函数 g(x)在 R R 上单调递增,且 - 0,故 g( - )g(0),所以 f( - )- - -1,则 f( - ) - ,所以结论 中一定错误的是选项 C,选项 D 不确定;构造函数 h(x)=f(x)-x,则 h(x)=f(x)- 10,所以函数 h(x)在 R R 上单调递增,且 0,所以 h( )h(0),即 f( )- -1,即 f( ) -1,选项 A,B 无法判断,故选 C. 4.答案答案 *- + 解析解析 因
9、为函数 f(x)的定义域为 R R,关于原点对称, f(-x)=-x 3+2x+ -e x=-f(x),所 以函数 f(x)是奇函数. 因为 f(x)=3x 2-2+ex+e-x3x2-2+2 - 0(当且仅当 ex=e-x,即 x=0 时,等号成立), 所以函数 f(x)在 R R 上单调递增. 又 f(a-1)+f(2a 2)0,即 f(2a2)f(1-a),所以 2a21-a,即 2a2+a-10, 解得-1a ,故实数 a 的取值范围为*- +. 5.解析解析 (1)证明:设 g(x)=f(x), 则 g(x)=cos x+xsin x-1,g(x)=xcos x. 当 x( )时,g
10、(x)0;当 x( )时,g(x)0,g()=-2,故 g(x)在(0,)上存在唯一零点. 所以 f(x)在(0,)上存在唯一零点. (2)由题设知 f()a, f()=0,可得 a0. 由(1)知, f(x)在(0,)只有一个零点,设为 x0,且当 x(0,x0)时, f(x)0; 当 x(x0,)时, f(x)0,所以 f(x)在(0,1),(1,+)上单调递增. 因为 f(e)=1- - 0,所以 f(x)在(1,+)上有唯一零点 x 1,即 f(x1)=0.又 0 0, 所以 f(x)与 1-x+e x-1同号. 令 g(x)=1-x+e x-1,则 g(x)=-1+ex-1. 当 x
11、(-,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,+)上单调递增. 故 g(1)=1 是 g(x)在区间(-,+)上的最小值. 从而 g(x)0,x(-,+). 综上可知, f(x)0,x(-,+), 故 f(x)的单调递增区间为(-,+). 8.解析解析 (1)当 a=3 时, f(x)= x 3-3x2-3x-3, f(x)=x2-6x-3. 令 f(x)=0,解得 x=3-2 或 x=3+2 . 当 x(-,3-2 )(3+2 ,+)时,f(x)0; 当 x(3-2 ,3+2 )时, f(x)0,所以 f(x)=0 等价于 -3a=0. 设 g(x)= -3a,则 g(x)= = 0,当且仅
12、当 x=0 时,g(x)=0, 所以 g(x)在(-,+)上单调递增,故 g(x)至多有一个零点,从而 f(x)至多有一个 零点. 又 f(3a-1)=-6a 2+2a- =-6( - ) - 0,所以 f(x)有一个零点. 综上, f(x)只有一个零点. 三年模拟练三年模拟练 一、选择题 1.A 导函数 f(x)的零点有两个,其中一个小于零,另一个等于零,且函数 f(x)的 图象的变化趋势是先减后增再减,因此应选 A. 2.D f(x)=1+x-sin x,则 f(x)=1-cos x0,所以函数 f(x)为增函数. 因为 23f(3)f(2). 3.C 当 x0 时, f(x)+ 0,所以
13、 xf(x)+f(x)0, 令 g(x)=xf(x),则 g(x)在(0,+)上单调递增, 因为 f(x)为奇函数,所以 g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以 g(x)为偶函数, 则 g(x)在(-,0)上单调递减, 所以 2xf(2x)+(1-3x)f(3x-1)0 等价于 g(2x)g(3x-1), 所以|2x|3x-1|,解得 x0 得- x ,所以函数 f(x)的单调递增区间为(- ),故选 B. 5.D 由(x+1)f(x)ln(x+1)+f(x)0(x0),得 f(x)ln(x+1)+f(x) =f(x)ln(x+1)0(x0). 设 g(x)=f(x)ln(x+
14、1),则 g(x)g(1)g(3),即 0f(1)ln 2f(3)ln 4,即 2f(3)f(1)0,所以 f(x)为增函数,当 x(0,+)时, f(x)1 得-2x2- 63,解得-3x-2 或 2x0,解得 x1,令 g(x)1,所以 g(x)在* )上递增,在(1,+) 上递减,故 g(x)max=g(1)= ,故 a ,所以实数 a 的取值范围是* ). 三、解答题 9.解析解析 (1)f(x)=exln x+x+2,x(0,+), f(x)=eln x+e+1. f(e)=2e+1. 又f(e)=e 2+e+2, y-(e 2+e+2)=(2e+1)(x-e),即(2e+1)x-y
15、-e2+2=0. 函数 f(x)的图象在点(e, f(e)处的切线方程为(2e+1)x-y-e 2+2=0. (2)函数 f(x)的定义域为(0,+), f(x)=eln x+e+1. 当 f(x)0 时,x( - - ,+);当 f(x)0,得 xln x - , 要证 f(x)- g(x)0 恒成立,即证 xln x - 恒成立. 令 h(x)=xln x,t(x)= - ,x(0,+). h(x)=ln x+1, 当 x 时,h(x)0,h(x)为增函数; 当 0x 时,h(x)0,h(x)为减函数. h(x)h( )=- . 又t(x)= - , 当 0x0,t(x)为增函数; 当 x1 时,t(x) - 恒成立. 当 x(0,+)时, f(x)- g(x)0 恒成立.
