1、第二章第二章 推理与证明推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 2.1.2 演绎推理演绎推理 基础过关练基础过关练 题组一题组一 演绎推理的意义演绎推理的意义 1.下列说法正确的是( ) A.演绎推理推出的结论一定正确 B.演绎推理是由特殊到一般的推理 C.演绎推理就是合情推理 D.演绎推理是由一般到特殊的推理 2.(2019 山西大学附属中学高二月考)下面几种推理过程为演绎推理的是( ) A.某校高三有 8 个班,1 班有 51 人,2 班有 53 人,3 班有 52 人,由此推测各班人数 都超过 50 B.由三角形的性质,推测空间四面体的性质 C.平行四边形的对角线互相平
2、分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分 D.在数列an中,a1=1,an= ( - - ),可得 a2=1,a3=1,由此归纳出数列an的通 项公式为 an=1 3.(2019 广东台山华侨中学高二期中)论语子路篇中说:“名不正,则言不顺;言 不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所 措手足.”所以,名不正,则民无所措手足.上述推理用的是 ( ) A.类比推理 B.演绎推理 C.归纳推理 D.以上都不对 题组二题组二 三段论推理三段论推理 4.(2019 山西应县一中高二期末)有一段演绎推理是这样的:“若直线平行于平面, 则该直线平行于平面内所有直线
3、,已知直线 a平面 ,直线 b平面 ,则直线 b直 线 a.”其结论显然是错误的,这是因为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 5.(2019 辽宁凤城一中高二月考)用安梦怡是高二(1)班的学生,安梦怡是独生 子女,高二(1)班的学生都是独生子女,写一个“三段论”形式的推理,则大前提,小 前提和结论分别为( ) A. B. C. D. 6.有一段演绎推理是这样的:“幂函数 y=x a在(0,+)上是增函数,已知 y= 是幂函数, 则 y= 在(0,+)上是增函数.”其结论显然是错误的,这是因为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以
4、上错误 7.(2019 河北鹿泉一中高二月考)有一段“三段论”,其推理是这样的:“对于可导函数 f(x),若 f(x0)=0,则 x=x0是函数 f(x)的极值点,因为函数 f(x)=x 3满足 f(0)=0, 所以 x=0 是函数 f(x)=x 3的极值点.”以上推理( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.没有错误 题组三题组三 演绎推理的应用演绎推理的应用 8.设 ,为两两不重合的平面,l,m,n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题: 若 ,则 ; 若 m,n,m,n,则 ; 若 ,l,则 l; 若 =l,=m,=n,l,则 mn. 其中真命题的个数是( ) A.1
5、 B.2 C.3 D.4 9.(2019 北师大附中高二期末)数学老师给出一个定义在 R 上的函数 f(x),甲、乙、 丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质: 甲:函数在(-,0)上单调递减; 乙:函数在0,+)上单调递增; 丙:函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称; 丁:f(0)不是函数的最小值. 老师说:“你们四位同学中恰好有三个人说的正确.”则说法错误的同学是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 10.(2019 重庆八中高二月考)今年六一儿童节,阿曾和爸爸、妈妈、妹妹小丽来到 游乐园玩儿.一家四口走到一个抽奖台前各抽一次奖,抽奖前,爸爸、妈妈、阿曾 和小丽对抽奖结果进行了预
6、测,预测结果如下: 妈妈说:“小丽能中奖.” 爸爸说:“我或妈妈能中奖.” 阿曾说:“我或妈妈能中奖.” 小丽说:“爸爸不能中奖.” 抽奖结果揭晓后,一家四口只有一位家庭成员中奖,且只有一位家庭成员的预测结 果是正确的,则中奖的是( ) A.妈妈 B.爸爸 C.阿曾 D.小丽 11.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:“你们四 人中有 2 位优秀,2 位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看 甲的成绩.”看后甲对大家说:“我还是不知道我的成绩.”根据以上信息,则( ) A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D
7、.乙、丁可以知道自己的成绩 12.(2019 黑龙江牡丹江一中高二期末)有编号依次为 1、2、3、4、5、6 的 6 名学 生参加数学竞赛选拔,另有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将获得第一名.甲猜不 是 3 号就是 5 号;乙猜 6 号不可能;丙猜是 1 号、2 号、4 号中的一位;丁猜 2 号、 3 号、4 号都不可能.若以上四位老师只有一位猜对,则猜对者是 (填甲、 乙、丙、丁). 13.已知 E、F 分别是平行六面体 ABCD-A1B1C1D1的棱 AB,C1D1上的点,且 = =2, 求证: =- . 14.已知函数 f(x),对任意 x,yR,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),且
8、当 x0 时, f(x)0, f(1)=-2. (1)求证:f(x)为奇函数; (2)求 f(x)在-3,3上的最大值和最小值. 15.若数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2SnSn-1=0(n2 且 nN *),a 1= . (1)求证: 为等差数列; (2)求数列an的通项公式. 16.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面为矩形,平面 PCD平面 ABCD,PCPD,PD=AD,E 为 PA 的中点. (1)求证:PC平面 BDE; (2)求证:DE平面 PAC. 答案全解全析答案全解全析 基础过关练基础过关练 1.D A 错,只有前提和推理形式都正确,其结论才一定正确,否则
9、,就不正确;合情 推理是由部分到整体、由个别到一般的推理或由特殊到特殊的推理,演绎推理是 由一般到特殊的推理,所以 B,C 均错,D 正确. 2.C A 是由特殊到一般的推理,是归纳推理,属于合情推理; B 是由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质,是由特殊到特殊的推理,为类比 推理,属于合情推理; C 为三段论,是由一般到特殊的推理,是演绎推理; D 为不完全归纳推理,属于合情推理. 3.B 名不正言不顺;言不顺事不成;事不成礼乐不兴;礼乐不兴刑罚不中;刑 罚不中民无所措手足,所以名不正民无所措手足,这符合演绎推理的模式.故选 B. 4.A 大前提:若直线平行于平面,则该直线平行于平面内所
10、有直线; 小前提:已知直线 a平面 ,直线 b平面 ; 结论:直线 b直线 a. 因为大前提是错误的,所以该结论是错误的,正确叙述是“若直线平行于平面,过该 直线作平面与已知平面相交,则交线与该直线平行”. 5.D 由题意,利用三段论的形式可得演绎推理的过程如下: 大前提:高二(1)班的学生都是独生子女; 小前提:安梦怡是高二(1)班的学生; 结论:安梦怡是独生子女.故选 D. 6.A 因为当 ax0时和当 xx0时的导函数的 值异号,那么 x=x0是函数 f(x)的极值点. 而大前提“对于可导函数 f(x),若 f(x0)=0,则 x=x0是函数 f(x)的极值点”不是真命 题,大前提错误.
11、 8.B ,则 与 相交或平行,故不正确;不正确,与 有可能相交; 正确;利用线面平行的性质定理可知正确.故选 B. 9.B 先假设甲、乙的说法正确,由此判断出丙、丁的说法错误,与已知矛盾,由此 判断甲、乙两人有一人说法错误,丙、丁的说法正确.而乙、丙的说法相互矛盾, 由此确定乙的说法错误. 10.B 由四人的预测可得下表: 中奖人 预测结果 爸爸 妈妈 阿曾 小丽 爸爸 妈妈 阿曾 小丽 若爸爸中奖,仅有爸爸预测正确,符合题意; 若妈妈中奖,爸爸、阿曾、小丽预测均正确,不符合题意; 若阿曾中奖,阿曾、小丽预测均正确,不符合题意; 若小丽中奖,妈妈、小丽预测均正确,不符合题意. 综上可知,只有
12、爸爸中奖,且只有爸爸一人预测正确. 11.D 由题意可知,甲看乙、丙的成绩,不知道自己的成绩,说明乙、丙两人是一 位优秀一位良好,则乙看了丙的成绩,可以知道自己的成绩,丁看了甲的成绩,也可 以知道自己的成绩.故选 D. 12.答案答案 丁 解析解析 若甲老师猜对,其他三位老师全部猜错,则乙老师猜错,即 6 号获得第一名, 这与甲老师的猜测矛盾,这种情况不可能; 若乙老师猜对,其他三位老师全部猜错,则 6 号不可能,由于甲老师猜错,则 3 号和 5 号都不可能,由于丙老师猜错,则 1 号、2 号、4 号都不可能,故没有人能获得第 一名,这种情况不可能; 若丙老师猜对,其他三位老师全部猜错,则 1
13、 号、2 号、4 号中的某一位获得第一 名,由于甲老师猜错,则 3 号和 5 号都不可能,由于乙老师猜错,则 6 号获得第一名, 矛盾,这种情况不可能; 若丁老师猜对,其他三位老师全部猜错,则 1 号、5 号、6 号中的某一位获得第一 名,由于甲老师猜错,则 3 号和 5 号都不可能,由于乙老师猜错,则 6 号获得第一名, 由于丙老师猜错,则 1 号、2 号、4 号都不可能,所以 6 号获得第一名. 综上,猜对者是丁. 13.证明证明 如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,连结 A1E,FC,作 FKDD1,交 CD 于点 K,连结 AK,则有 A1A 平行且等于 FK,则四边
14、形 A1AKF 为平行四边形,从而 A1F 平行且等于 AK. 因为 = =2,所以 AE=2EB,C1F=2FD1,所以 CK=2KD,所以 AE 平行且等于 CK,所 以四边形 AECK 为平行四边形, 所以 AK 平行且等于 CE,所以 A1F 平行且等于 EC.(传递性关系推理) 因为 与 方向相反,所以 =- . 14. 解析解析 (1)证明:对任意 x,yR, f(x+y)=f(x)+f(y)都成立,令 x=y=0,得 f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),f(0)=0.令 y=-x,则 f(x-x)=f(x)+f(-x)=0,f(-x)= -f(x),f(x)为奇函数. (2
15、)任取 x1,x2R,且 x10 时,f(x)0, f(x2-x1)0,即 f(x2)-f(x1)0,f(x)为减函数,f(x)在-3,3上的最大值为 f(-3),最小值为 f(3), 又f(3)=f(2)+f(1)=3f(1)=-6, f(-3)=-f(3)=6,函数 f(x)在-3,3上的最大 值为 6,最小值为-6. 15.解析解析 (1)证明:当 n2 时,由 an+2SnSn-1=0,得 Sn-Sn-1=-2SnSn-1,又易知 Sn0,所以 - - =2, 又 = =2,故 是首项为 2,公差为 2 的等差数列. (2)由(1)可得 =2n,所以 Sn= , 当 n2 且 nN *
16、时,a n=Sn-Sn-1= - - = - , 上式在 n=1 时不成立, 所以 an= - 16.证明证明 (1)如图,设 ACBD=O,连结 OE. 底面 ABCD 是矩形,O 是 AC 的中点, 又 E 为 PA 的中点, OE 是PAC 的中位线,PCOE, 又PC平面 BDE,OE平面 BDE, PC平面 BDE. (2)平面 PCD平面 ABCD,平面 PCD平面 ABCD=CD,ADCD,AD平面 ABCD, AD平面 PCD, PC平面 PCD,PCAD. 又PCPD,PD平面 PAD,AD平面 PAD,PDAD=D,PC平面 PAD, DE平面 PAD,PCDE. PD=AD,E 是 PA 的中点,DEPA, 又PA平面 PAC,PC平面 PAC,PAPC=P,DE平面 PAC.
