1、马鞍山市第二中学马鞍山市第二中学 2020-2021 学年度第一学期高二年级学年度第一学期高二年级 10 月月考月月考 高二理科数学高二理科数学 满分：150 分 考试时间：120 分钟 注意事项：注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 第第 I 卷（选择题）卷（选择题） 一、单选题（共一、单选题（共 12 题，每题题，每题 5 分，共分，共 60 分）分） 1若集合 2 30Mx xx， 2 log2Nxx，则MN （ ） A 2 B(0,4) C(,4) D0,4) 2已知向量( ,1)am，(2, 3)b ，若 2abb，则m（ ） A 19
2、 4 B19 4 C 2 3 D 2 3 3不等式 31 1 2 x x 的解集是（ ） A 3 2 4 xx B 3 2 4 xx C 3 2 4 x xx 或 D2x x 4ABC中角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 2 cos 22 Bac c ，则ABC的形状为（ ） A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形 5已知 ( , )(3)34( , )7(5)80 x ymxymx yxm y ，则直线(3)34mxym 与坐标轴围成的三角形面积是（ ） A2 B4 C128 7 D2 或128 7 6一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 7 3
3、 B 8 3 C3 D10 3 7 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图为直角梯形OABC ， 且2OA ，1OC ，A B 平行于 y 轴，则这个平面图形的面积为（ ） A5 B5 2 C 5 2 D 5 2 2 8若实数 x，y 满足 30 2 20 xy x xy ，则24zxy的最小值为（ ） A12 B3 C3 D24 9从正方体六个表面中，任取两个面是平行的概率为（ ） A 1 4 B 1 3 C 1 5 D 1 6 10已知函数 1 2 1 2log,1 8( ) 2 ,12 x xx f x x ，若( )( )()f af b ab，则ba的取值范围为（ ） A 3 0, 2
4、 B 7 0, 4 C 9 0, 8 D 15 0, 8 11若直线:3l ykx与直线30 xy相交，且交点在第一象限，则直线 l 的倾斜角的取值范围是 （ ） A0 ,60 B30 ,60 C30 ,90 D60 ,90 12若 P 为直线30 xy上一个动点，从点 P 引圆 2 220 xyx的两条切线 PM，PN（切点为 M， N） ，则线段 MN 的长度的取值范围是（ ） A 7,2) B 7,2 C 14 ,2 2 D 14 ,2 2 第卷（非选择题）第卷（非选择题） 二、填空题（共二、填空题（共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13一个圆锥的底面面积是 S
5、，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积是_ 14 已知正四棱柱的底面边长为3cm， 侧面的对角线长是3 5cm， 则这个正四棱柱的体积是_ 3 cm 15圆心在直线4yx ，且与直线10 xy 相切于点3, 2P的圆的标准方程为_ 16已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为2 3，其内有 2 个不同的小球，球 1 O与三棱锥 11 A CB D的 四个面都相切，球 2 O与三棱锥 11 A CB D的三个面和球 1 O都相切，则球 2 O的表面积等于_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 题，其中题，其中 17 题题 10 分，分，18 题至题至 22 题均为题均为 12 分
6、，共分，共 70 分解答应写出文字说明、分解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 ）证明过程或演算步骤 ） 17 （本题满分 10 分） 已知两点2,1A ，4,3B，两直线 1:2 310lxy ， 2: 10lxy 求： （1）过点 A 且与直线 1 l平行的直线方程； （2）过线段 AB 的中点以及直线 1 l与 2 l的交点的直线方程 18 （本题满分 12 分） 已知ABC的三个顶点1,0A ，1,0B，3,2C，其外接圆为圆 H （1）求圆 H 的方程； （2）若直线 l 过点 C，且被圆 H 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程 19 （本题满分 12 分） 如图，在ABC中，
7、已知5 6AB ，D 是 BC 边上的一点，120ADC，14AC ，6DC （1）求角 B 的大小； （2）求ABD的面积 20 （本题满分 12 分） 设数列 n a的前 n 项和为 2 2 n Sn， n b为等比数列，且 11 ab， 2211 baab （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）设 n n n a c b ，求数列 n c的前 n 项和 n T 21 （本题满分 12 分） 某品牌饮料原来每瓶成本为 10 元，售价为 15 元，月销售 8 万瓶 （1）据市场调査，若售价每提高 1 元，月销售量将相应减少 2000 瓶，要使月总利润不低于原来的月总 利润（月总利
8、润=月销售总收入-月总成本） ，该饮料每瓶售价最多为多少元？ （2） 为提高月总利润， 厂家决定下月进行营销策略改革， 计划每瓶售价(16)x x 元， 并投入 33 (16) 4 x 万元作为营销策略改革费用 据市场调查， 每瓶售价每提高 1 元， 月销售量将相应减少 2 0.45 (15)x 万 瓶，则当每瓶售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润 22 （本题满分 12 分） 已知点 00 ,E x y在圆 22 (2)40 xy上运动，2,6F ，点,G x y为线段 EF 的中点 （1）求点,G x y的轨迹方程； （2）记,G x y的轨迹图形中心为 H，若 B 点
9、为1,0，C 点为3,2对于线段 BH 上的任意点 P，若在 以 C 为圆心的圆上都存在不同的两点 M，N，使得点 M 是线段 PN 的中点，求圆 C 的半径 r 的取 值范围 高二年级高二年级 10 月月考理科数学参考答案月月考理科数学参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B B B A B B A C B C C 132S 1454 15 22 (1)(4)8xy 16 1D 【详解】 解： 2 30Mx xx，0,3M ， 2 log2Nxx， 04Nxx， 0,4MN ，故选：D 2B 【详解】 由题意2(22,5)abm，(2)abb， 2(22) 15
10、0m，解得 19 4 m 故选：B 3B 【详解】 31 1 2 x x ， 31 10 2 x x ， 31 2 0 2 xx x ，即 43 0 2 x x ， (43)(2)0 20 xx x ，解得 3 2 4 x， 故选 B 4B 5A 【解析】 因为 ( , )(3)34( , )7(5)80 x ymxymx yxm y 中， 所以 3134 758 mm m ，解得2m 所以直线方程为20 xy它与坐标轴的交点为2,0与0, 2 直线20 xy与坐标轴围成的三角形面积是 1 2 22 2 故选：A 6B 7 【答案】B 【详解】 根据斜二测画法的规则可知： 水平放置的图形 OA
11、BC 为一直角梯形， 由题意可知上底为2OA，高为2 2AB ，下底为2 1 3BC ， 该图形的面积为 1 (32) 2 25 2 2 S ， 故选 B 8A 【解析】 解：由约束条件 30 2 20 xy x xy 作出可行域如图， 联立 2 20 x xy ，解得(2, 4)A 化24zxy为 24 xz y 由图可知，当直线 24 xz y 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小， z 有最小值为2 24 412 故选：A 9C 10B 【详解】 函数( )f x的图象如下图所示 设 f af bk，则(2,4k 由 1 2 2log ak，2bk，得 2 1 2 k a ， 2 lo
12、gbk， 2 2 1 log 2 k bak 设函数 2 2 1 ( )log 2 x g xx ，(2,4x， g x在2,4上单调递增， (2)( )(4)gg xg，即 7 0( ) 4 g x， 7 0, 4 ba ，故选：B 11C 【解析】 联立方程 3 30 ykx xy 得交点 33 33 , 11 k kk ，由交点在第一象限知： 33 0 1 33 0 1 k k k 解得 3 3 k ， 即 3 tan 3 ，是锐角，故3090， 选 C 12C 【详解】 设圆 22 :20C xyx， 22 (1)1xy，圆心1,0C，1r ， 要使|MN的长度最小，则MCN最小，即M
13、CP最小 因为 | tan| PM MCPPM r ， 所以当|PM最小时，|MN最小 又因为 2 |1PMPC， 所以当|PC最小时，|MN最小 因为 min 4 |2 2 1 1 PC ， 所以 12 cos 42 2 MCP， 2 3 cos2cos1 4 MCNMCP 则 22 min 314 |112 1 1 42 MN 当点 P 在直线30 xy无限远取值时，180MCN，|MN 直径 2， 所以 14 | 2 2 MN故选：C 132S 【解析】 底面 2 S， S r ，底面周长2 r， 2lr，2lr，侧面积2S 1454 【解析】 Aa设正四棱柱的高为 h 得到 2 93
14、56hh， 故得到正四棱柱的体积为9 654V 故答案为 54 15 22 (1)(4)8xy 【解析】 试题分析：可设圆标准方程： 222 ()()xaybr， 则根据题意可列三个条件，4ba， |1| 2 ab r ， 22 (3)(2)rab， 解方程组可得1a ，4b，2 2r ，即得圆方程 试题解析：设 222 ()()xaybr， 则4ba， |1| 2 ab r ， 22 (3)(2)rab， 解得1a ，4b，2 2r ， 所以 22 (1)(4)8xy 16 【详解】 因为正方体 1111 ABCDABC D的棱长为2 3， 所以三棱锥 11 A CB D是边长为2 6的正四
15、面体， 11 CB D的高为3 2， 设底面 11 CB D的中心为O，连接CO， 则 2 3 22 2 3 CO ，24 84AO ， 则球 1 O是三棱锥 11 A CB D的内切球设其半径为 1 R， 则有 111111 1 11 4 33 A CB DCB DCB D VSAOSR ， 所以 1 1 1 4 RAO，所以球 1 O的体积为 4 3 ， 又球 2 O与三棱锥 11 A CB D的三个面和球 1 O都相切， 则设面MNP平面 11 CB D， 且球 1 O和球 2 O均与平面 MNP 相切于点 E，如下图所示， 则球 2 O是三棱锥A MNP的内切球设其半径为 2 R， 故
16、 1 22AEAOR， 因此在正四面体A MNP中， 2 11 42 RAE， 所以球 2 O的表面积为. 17 （1）2370 xy； （2）30 xy 【试题解析】 （1）设与 1:2 310lxy 平行的直线方程为：230 xyc， 将2,1A 代入，得4 30c ，解得7c ， 故所求直线方程是：2370 xy （2）( 2,1)A ，(4,3)B，线段 AB 的中点是1,2M， 设两直线的交点为 N，联立 2310 10 xy xy ， 解得交点2,1N， 则 2 1 1 12 MN k ， 故所求直线的方程为：2(1)yx ，即30 xy 18 （1） 22 (3)10 xy； （
17、2）3x 或4360 xy 【解析】 （1）方程为 22 (3)10 xy； （2）线段 AB 的垂直平分线方程为0 x，线段 BC 的垂直平分线方程为30 xy， 所以ABC外接圆圆心0,3H，半径 22 1310， 圆 H 的方程为 22 (3)10 xy， 设圆心 H 到直线 l 的距离为 d， 因为直线 l 被圆 H 截得的弦长为 2，所以 2 ( 10)13d 当直线 l 垂直于 x 轴时，显然符合题意，即3x 为所求； 当直线 l 不垂直于 x 轴时，设直线方程为23yk x， 则 2 |31| 3 1 k k ，解得 4 3 k ， 综上，直线 l 的方程为3x 或4360 xy
18、 19 （1）45B； （2） 7525 3 2 【解析】 （1）在ACD中，120ADC，14AC ，6DC ， 由余弦定理 222 2cosACADDCAD DCADC， 得 222 626cos12014ADAD， 整理得 2 61600ADAD， 所以10AD，或16AD（舍去） 在ABD中，5 6AB ，18012060ADB， 由正弦定理 sinsin ABAD ADBB ，得 5 610 sin60sin B ， 所以 10sin602 sin 25 6 B ， 因为0120B，所以45B； （2）在ABD中，60ADB，45B， 所以18075BADADBABD， 则sin75
19、sin 4530sin45 cos30cos45 sin30 62 4 ， 又因为5 6AB ，10AD， 所以，ABD的面积 11627525 3 sin755 6 10 2242 ABD SAB AD 20 （1）42 n an， 1 2 4 n n b ； （2） 1 (65)45 9 n n Tn 【解析】 解： （1）当2n时， 22 1 22(1)42 nnn aSSnnn ， 当1n 时， 11 2aS满足上式， 故 n a的通项式为42 n an 设 n b的公比为q，由已知条件 2211 baab知， 1 2b ， 1 2 21 1 2 b b aa ，所以 2 1 1 4
20、a q a ， 1 1 1 1 2 4 n n n bbq ，即 1 2 4 n n b （2） 1 1 42 (21)4 2 4 n n n n n an cn b ， 121 12 1 3 45 4(21)4n nn Tcccn 221 41 43 45 4(23)4(21)4 nn n Tnn 两式相减得： 1231 312 4444(21)4 nn n Tn 1 (65)45 9 n n 1 (65)45 9 n n Tn 21 【答案】 （1）50 元； （2）当每瓶售价 18 元时，下月的月总利润最大，最大总利润为 46.3 万元 【详解】 解： （1）设每瓶定价为 t 元，依题意
21、， 有8(15) 0.2(10)5 8tt ， 整理得 2 657500tt，解得1550t 因此要使销售的总收入不低于原收入，每瓶定价最多为 50 元 （2）设每瓶定价为(16)x x 元，月总利润为 f x，则 2 0.4533 ( )(10) 8(15)(16) (15)4 f xxxx x 0.4533 (10) 8132 (15)4 xx x 10.454.5 52 41515 x x xx 10.45(15 15)4.5 (15 15)52 41515 x x xx 12.25 (15)47.8 415 x x 12.25 2(15)47.8 415 x x 46.3 当且仅当 1
22、2.25 (15) 415 x x ，即 2 (15)9x， 153x或153x（舍去） ，18x 因此当每瓶售价 18 元时，下月的月总利润最大，最大总利润为 463 万元 22 【答案】 （1） 22 (3)10 xy； （2） 104 10 35 r 【详解】 （2）直线 BH 的方程为330 xy， 设( , )(01)P m nm，( , )N x y， 因为点 M 是线段 PN 的中点，所以, 22 mx ny M ， 又 M，N 都在半径为 r 的圆 C 上， 所以 222 22 2 (3)(2) 32 22 xyr mxny r ， 222 222 (3)(2) (6)(4)4 xyr xmynr 因为关于 x，y 方程组有解， 即以3,2为圆心，r 为半径的圆与以6,4mn为圆心，2r为半径的圆有公共点， 所以 2222 (2)(3 6)(24)(2 )rrmnrr ， 又330mn ， 所以 222 1012109rmmr对0,1m成立 而 2 ( )101210f mmm在0,1上的值域为 32 ,10 5 ， 所以 2 32 5 r 且 2 109r 又线段 BH 与圆 C 无公共点， 所以 222 (3)(3 32)mmr对0,1m成立， 即 2 32 5 r ，故圆 C 的半径 r 的取值范围为 10 4 10 , 35
