1、第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 高中数学 选修2-2 人教A版 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1 |函数f(x)在闭区间a,b上的最值 名称 定义 记法 说明 最 值 最大值 若f(x)f(x0),则称函数f(x)在点 x0处取得 最大值 f(x)max=f(x0) 若x0a,b,xa, b, f(x)f(x0) 恒成立,则x0为最大值点 或最小值点 最小值 若f(x)f(x0),则称函数f(x)在点 x0处取得 最小值 f(x)min=f(x0) 最值点 最大值点 与 最小值点 统称为最值点 1.3.3 函数的最大
2、(小)值与导数 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 2 |求可导函数y=f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤 (1)求函数y=f(x)在区间(a,b)内的 极值 ; (2)将函数y=f(x)的 各极值 与 端点 处的函数值f(a), f(b)比较,其中最大 的一个是 最大值 ,最小的一个是 最小值 . 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1.函数的最大值为a,则其值域为(-,a.( ) 提示:最值和值域是函数的两个不同的概念,如果自变量是整数,则值域不能用区间 表示,故错误. 2.函数f
3、(x)在区间a,b上的最大值和最小值,一定在区间端点处取得.( ) 3.开区间上的单调连续函数无最值.( ) 提示:若单调函数有最值,则一定在区间端点处取得,但开区间上的单调连续函数在 端点处无函数值,所以无最值,故正确. 4.在定义域内,若函数有最值与极值,则极大(小)值就是最大(小)值.( ) 提示:y最大值y极值,y最小值y极值,故错误. 判断正误，正确的画“ ” ，错误的画“ ”. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 5.函数在给定区间上若有最值,则最大(小)值最多有一个;若有极值,则可有多个. ( ) 提示:最值是区间上的整体概念
4、,最大(小)值最多有一个;极值是区间内局部最值,可 以有多个. 6.若函数y=f(x)在区间a,b上连续,则一定有最值;若可导,则最值点为极值点或区间 端点.( ) 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1 |含参数的函数的最值问题 对于含有参数的函数的最值问题,由于参数的取值范围不同,会导致函数的单 调性的变化,从而导致最值的变化,所以解决此类问题常常需要分类讨论,并结合不 等式等知识进行求解. 有关含有参数的函数的最值问题,一般有两类:一类是求含有参数的函数的最值;另 一类是由最值求参数的值或取值范围.在解题时,先分清类型,再通过分类讨论
5、思想 逐步破解. 求解函数在固定区间上的最值,需注意以下几点: (1)对函数进行准确求导,并检验 f(x)=0的根是否在给定区间内. (2)研究函数的单调性,确定极值和端点函数值. (3)比较极值与端点函数值的大小,确定最值. (4)解决含参数的函数的最值问题,需要根据所给区间进行分类讨论求解. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 ()已知函数f(x)=mx3-6mx2+n+1,x-1,2的最小值为-28,最大值为4,求实数m, n的值. 解析解析 由题设知m0,否则f(x)=n+1为常数函数,与题设矛盾. 求导得 f(x)=3mx2-12
6、mx=3mx(x-4), 令 f(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去). 当m0,且x变化时, f(x), f(x)的变化情况如下表: x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2 f(x) + 0 - f(x) -7m+n+1 单调递增 n+1 单调递减 -16m+n+1 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 由表可知,当x=0时, f(x)取得极大值n+1,也就是函数在-1,2上的最大值, f(0)=n+1=4,n=3. 又f(-1)=-7m+4f(2)=-16m+4, f(2)=-16m+4=-28,解得m=2. 当m0时,同理可得,当
7、x=0时, f(x)取得极小值n+1,也就是函数在-1,2上的最小值, f(0)=n+1=-28,n=-29. 又f(-1)=-7m-280)在区间(0,+)上的最小值为1,求实数a的值. 解析解析 (1)g(x)=(x0),则g(1)=1,所以函数y=g(x)在点A(1,0)处的切线方程 为y=x-1. (2)h(x)=f(x-a)-g(x+a) =ex-a-ln(x+a)(a0), h(x)=ex-a-, 因为y=ex-a在区间(0,+)上单调递增,y=在区间(0,+)上单调递减,所以h(x)单 1 x 1 xa 1 xa 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导
8、数及其应用导数及其应用 调递增,所以存在唯一的x0(0,+),使得h(x0)=0,即=(*), 所以x(0,x0)时,h(x)0,h(x)单调递增,所以h(x)min =h(x0)=-ln(x0+a). 由(*)式得h(x)min=h(x0)=-ln(x0+a),即-ln(x0+a)=1,显然x0+a=1是方程的解, 又因为y=-ln x单调递减,所以方程-ln(x0+a)=1有且仅有唯一的解x0+a=1,把x0 =1-a代入(*)式,得e1-2a=1,所以a=,即所求实数a的值为. 0- ex a 0 1 xa 0- ex a 0 1 xa 0 1 xa 1 x 0 1 xa 1 2 1 2
9、 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 2 |与最值有关的综合问题 利用函数的导数与最值,可以处理有关函数图象、不等式等综合问题,特别是 有关不等式恒成立问题,是近几年来高考的重点、热点和难点,经常以高考压轴题 的形式出现. 处理不等式恒成立问题的方法: (1)取主元(给定范围内任意取值的变量),结合参数分类,利用最值或数形结合解决. (2)分离变量,在定义域内,对于任意的x,都有f(x)a( f(x)a)恒成立,一般转化为 f(x)mina( f(x)maxa)来解决. 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及
10、其应用导数及其应用 ()设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(xR,t0). (1)求f(x)的最小值h(t); (2)若h(t)-2t+m对t(0,2)恒成立,求实数m的取值范围; (3)若对任意的t1,t2(0,2),都有h(t1)0), 当x=-t时, f(x)取得最小值f(-t)=-t3+t-1, 即h(t)=-t3+t-1. (2)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,t(0,2), 由g(t)=-3t2+3=0,得t=1或t=-1(不合题意,舍去). 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 当t变化时,g(
11、t),g(t)的变化情况如下表: g(t)在(0,2)内有最大值g(1)=1-m. h(t)-2t+m对t(0,2)恒成立, g(t)0对t(0,2)恒成立,1-m1. m的取值范围为(1,+). (3)h(t)=-t3+t-1,t(0,2), h(t)=-3t2+1, t (0,1) 1 (1,2) g(t) + 0 - g(t) 单调递增 极大值1-m 单调递减 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 当t2时,h(t)m-4. 由题意可知m-4, 解得m+3=. 实数m的取值范围为. 3 3 3 3 3 9 3 3 2 3-9 9 2 3
12、-9 9 2 3 9 2 327 9 2 327 , 9 令h(t)=0,得t=或t=-(舍去). 又当0t0,h(t)单调递增; 3 3 3 3 3 3 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 跟踪训练跟踪训练2()已知函数f(x)=(x-4)ex-2+mx(mR). (1)当x2时, f(x)0恒成立,求实数m的取值范围; (2)证明:当a0,1)时,函数g(x)=(x2)有最小值,设g(x)的最小值为h(a),求 函数h(a)的值域. -2 2 e- ( -2) x axa x 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一
13、章 导数及其应用导数及其应用 解析解析 (1)f(x)=(x-4)ex-2+mx0对任意的x(2,+)恒成立, 等价于ex-2-m对任意的x(2,+)恒成立, 设(x)=ex-2=ex-2(x2), 则(x)=ex-2= ex-20, 故(x)在(2,+)上单调递增, 所以当x2时,(x)(2)=-1, 所以-m-1,即m1. 所以实数m的取值范围为1,+). (2)证明:g(x)=(x2), 则g(x)= =(x2). -4x x -4x x 4 1- x 2 44 1- xx 2 2 ( -2)x x -2 2 e- ( -2) x axa x -2 3 ( -4)e ( -2) x xa
14、x x -2 3 ( -4)e ( -2) x x xa x x 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 记F(x)=ex-2+a(x2), 由(1)知F(x)在(2,+)上单调递增, 又F(2)=-1+a0,F(4)=a0, 所以存在唯一的正实数x0(2,4,使得F(x0)=+a=0, 所以当x(2,x0)时,F(x)0,g(x)0, g(x)0,函数g(x)在(x0,+)上单调递增. 所以g(x)在(2,+)内有最小值, 即g(x0)=, 即h(a)=. 由F(x0)=0得-a=, 所以h(a)=g(x0)=,x0(2,4. -4x x 0 0 -4x x 0-2 ex 0-2 0 2 0 e- (-2) x axa x 0-2 0 2 0 e- (-2) x axa x 0 0 -4x x 0-2 ex 0 1 x 0-2 ex 第第1讲讲 描述运动的基本概念描述运动的基本概念 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 令u(x)=ex-2(20, 函数u(x)在区间(2,4上单调递增, 所以u(2)u(x)u(4), 即函数h(a)的值域为. 1 x 2 -1x x 2 1 e , 2 4
