1、第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1.3.3 函数的最大函数的最大(小小)值与导数值与导数 基础过关练基础过关练 题组一题组一 最值的概念最值的概念 1.函数 f(x)=2x-cos x 在(-,+)上( ) A.无最值 B.有极值 C.有最大值 D.有最小值 2.设 f(x)是区间a,b上的连续函数,且在(a,b)内可导,则下列结论中正确的是 ( ) A. f(x)的极值点一定是最值点 B. f(x)的最值点一定是极值点 C. f(x)在区间a,b上可能没有极值点 D. f(x)在区间a,b上可能没有最值点 3.下图是函数 y=f(x)在区间a,b上的图象,写出函数的极大值、极小值、最
2、大值 和最小值. 题组二题组二 利用导数求函数的最值利用导数求函数的最值 4.函数 f(x)= - 在区间1,4上的最大值为( ) A.0 B. C. D. 5.(2019 内蒙古开来中学高二下期中)函数 f(x)= x 3-x2在1,3上的最小值为 ( ) A.-2 B.0 C.- D.- 6.函数 y=x 4-4x+3 在区间-2,3上的最小值为( ) A.72 B.36 C.27 D.0 7.(2019 河北石家庄高二下期末)已知函数 f(x)= x 3- x 2-2x- . (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 x-2,4时,求函数 f(x)的最大值. 8.已知函数 f(x)=
3、xe -x,求 x0,4时的最小值、最大值. 题组三题组三 函数的最值与参数函数的最值与参数 9.若函数 f(x)=x 3-x2-x+2m 在区间0,2上的最大值是 4,则 m 的值为( ) A.3 B.1 C.2 D.-1 10.(2019 东北师大附中高三模拟)已知 f(x)=- x 3+x 在区间(a,10-a2)上有最大值, 则实数 a 的取值范围是 ( ) A.a-1 B.-2a3 C.-2a1 D.-3a0),若 f(x)在(0,1上的最大值为 ,则 a= . 12.(2019 北京海淀一 o 一中学高二下期中)若函数 f(x)=2x 3-ax2+ex+1(aR)是实 数集上的单调
4、函数,则函数 f(x)在区间-1,1上的最大值与最小值的和的最小值 为 . 13.(2019 四川成都高三摸底测试)已知函数 f(x)=ax 3+ x 2-2x,其导函数为 f(x), 且 f(-1)=0. (1)求曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程; (2)求函数 f(x)在-1,1上的最大值和最小值. 14.(2019 北京西城高二下期末)已知函数 f(x)=(x+a)e x. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在区间0,4上的最小值. 题组四题组四 函数的最值与不等式问题函数的最值与不等式问题 15.(2019 内蒙古高三一模)已知函数 f(x)= - -
5、 (x2),若 f(x) - 恒成立,则 整数 k 的最大值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 16.已知 f(x)= ,x1,2,且x1,x21,2,x1x2, - - 0, f(x)g(x)恒成立 C.f(x)与 g(x)的图象有且只有一个交点 D.f(x)与 g(x)的图象有且只有两个交点 2.(2019 河南焦作高三上期中,)记曲线 f(x)=x-e -x上任意一点处的切线为直 线 l:y=kx+b,则 k+b 的值不可能为( ) A. B.1 C.2 D.3 3.()已知 f(x)=ln(x 2+1),g(x)=( ) -m,若x 10,3,x21,2,使得 f(x1)g(x2
6、),则实数 m 的取值范围是( ) A.* ) B.(- + C.* ) D.(- - + 4.()已知函数 f(x)=x 2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则 a=( ) A.- B. C. D.1 5.(2019 广东广州华南师大附中高二下期中,)已知 a,bR,直线 y=ax+b+ 与 函数 f(x)=tan x 的图象在 x=- 处相切,设 g(x)=e x+bx2+a,若在区间1,2上,不等 式 mg(x)m 2-2 恒成立,则实数 m( ) A.有最小值-e B.有最小值 e C.有最大值 e D.有最大值 e+1 6.(2019 河北枣强中学高二下期末,)已知 f(
7、x)=x 3+x 是定义在 R 上的函数, 且对于任意 x(0,),不等式 f(xsin x-1)+f(cos x-a)0 恒成立,则整数 a 的最小 值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 7.(2019 河北唐山开滦二中高二下期中,)已知直线 y=b 与函数 f(x)=2x+5 和 g(x)=ax+ln x 的图象分别交于 A,B 两点,若|AB|的最小值为 3,则 2a- b= . 8.(2019 福建厦门一中高二下期中,)已知函数 f(x)=xe x,g(x)=e2x-4a-2ex-2a,若 存在实数 x0使 f(x0)+g(x0)=- -1 成立,则实数 a 的值为
8、. 9.()若不等式 sin 3x-m+2cos2x+sin x 在区间* +上恒成立,则实数 m 的取 值范围是 . 三、解答题 10.(2019 河北武邑中学高二下期末,)已知函数 f(x)=x 3+ax2+bx(a,bR)的图 象过点 P(1,2),且在 x= 处取得极值. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)求函数 f(x)在-1,1上的最值. 11.(2019 江西新余高三下期末,)已知函数 f(x)= ,g(x)=x( - - ). (1)求函数 f(x)的最大值; (2)当 a* +时,函数 y=g(x),x(0,e有最小值,记 g(x)的最小值为
9、 h(a),求函 数 h(a)的值域. 答案全解全析答案全解全析 基础过关练基础过关练 1.A 因为 f(x)=2+sin x0 恒成立,所以函数 f(x)在(-,+)上单调递增,无极 值,也无最值. 2.C 根据函数的极值与最值的概念判断知选项 A,B,D 都不正确. 3.解析解析 观察题中函数图象可知 y=f(x)在 x1,x3处取极小值,在 x2处取极大值,所 以极小值为 f(x1), f(x3),极大值为 f(x2);比较极值和端点值可知函数的最小值是 f(x3),最大值在 b 处取得,最大值为 f(b). 4.A f(x)= - = - ,当 x1,4时,f(x)0 且只有当 x=1
10、 时,f(x)=0,所以函数 f(x)在区间1,4上是单调递减函数,故当 x=1 时, f(x)最大值= - =0. 5.D 函数 f(x)= x 3-x2,则 f(x)=x2-2x. 当 x1,2)时, f(x)0,函数 f(x)单调递增, 所以函数 f(x)在区间1,3上的最小值为 f(2)= 2 3-22=- . 6.D 因为 y=x 4-4x+3,所以 y=4x3-4. 令 y=0,解得 x=1. 当 x1 时,y1 时,y0,函数单调递增. 所以函数 y=x 4-4x+3 在 x=1 处取得极小值 0. 当 x=-2 时,y=27;当 x=3 时,y=72. 综上,当 x=1 时,函
11、数 y=x 4-4x+3 取得最小值 0. 故选 D. 7.解析解析 (1)f(x)=x 2-x-2, 当 f(x)0 时,x2; 当 f(x)0 时,-1xf(-1), 所以当 x=4 时, f(x)max= . 8.解析解析 f(x)=e -x-xe-x=(1-x)e-x. 令 f(x)=0,得 x=1. 当 x(0,1)时, f(x)0; 当 x(1,4)时, f(x)0. 当 x=1 时, f(x)取极大值. 又 f(0)=0, f(1)= , f(4)= ,且 0 , f(x)max= , f(x)min=0. 9.B f(x)=3x 2-2x-1,令 f(x)=0,解得 x=- (
12、舍去)或 x=1. 又 f(0)=2m, f(1)=2m-1, f(2)=2m+2, 则 f(2)最大,所以 2m+2=4,所以 m=1. 故选 B. 10.C f(x)=-x 2+1,令 f(x)=0,可得 x= 1,分析易得 x=1 是 f(x)=- x 3+x 的极大 值点. 因为函数 f(x)=- x 3+x 在(a,10-a2)上有最大值,所以其最大值必是区间上的极大值, 所以 a110-a 2,且 f(a)f(1),解得-2a0,f(x)= - - +a0, f(x)在(0,1上单调递增, 故 f(x)在(0,1上的最大值为 f(1)=a= . 12.答案答案 2-2 解析解析 因
13、为 f(x)=2x 3-ax2+ex+1(aR R), 所以 f(x)=6x 2-2ax+e. 若函数 f(x)=2x 3-ax2+ex+1(aR R)是实数集上的单调递减函数,则 f(x)=6x2- 2ax+e0 恒成立,不符合题意; 若函数 f(x)=2x 3-ax2+ex+1(aR R)是实数集上的单调递增函数,则 f(x)=6x2- 2ax+e0 恒成立,则 =4a 2-24e0,解得- a . 此时,函数 f(x)在区间-1,1上单调递增, 所以 f(x)的最大值为 f(1)=3+e-a, f(x)的最小值为 f(-1)=-1-e-a, 所以函数 f(x)在区间-1,1上的最大值与最
14、小值的和为 2-2a, 因为- a ,所以 2-2 2-2a2+2 , 即函数 f(x)在区间-1,1上的最大值与最小值的和的最小值为 2-2 . 13.解析解析 (1)f(x)=3ax 2+x-2, 因为 f(-1)=0, 所以 3a-1-2=0,解得 a=1. 所以 f(x)=x 3+ x 2-2x, f(x)=3x 2+x-2, 所以 f(1)=- , f(1)=2. 所以曲线 y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为 4x-2y-5=0. (2)结合(1)知,当 f(x)=0 时,解得 x=-1 或 x= . f(x), f(x)在区间-1,1上的变化情况如下表: x ) ( f
15、(x) - 0 + f(x) 极小值 所以 f(x)的极小值为 f( )=- , 又 f(-1)= , f(1)=- , 所以 f(x)max=f(-1)= , f(x)min=f( )=- . 14.解析解析 (1)f(x)=e x+(x+a)ex=(x+a+1)ex.由 f(x)0,解得 x-a-1; 由 f(x)0,解得 x-a-1. 所以函数 f(x)的单调递减区间为(-,-a-1),单调递增区间为(-a-1,+). (2)当-a-14,即 a-5 时, f(x)在0,4上单调递减, 所以 f(x)min=f(4)=(a+4)e 4. 当-a-10,即 a-1 时, f(x)在0,4上
16、单调递增,所以 f(x)min=f(0)=a. 当-5a-1 时, f(x), f(x)在区间0,4上的变化情况如下表: x 0,-a-1) -a-1 (-a-1,4 f(x) - 0 + f(x) 极小值 所以 f(x)min=f(-a-1)=-e -a-1=- . 综上,当 a-5 时, f(x)min=(a+4)e 4;当 a-1 时, f(x) min=a;当-5a - 恒成立,即 h(x)= - - - k 恒成立,即 h(x)的最小值大于 k. 而 h(x)= - - - - ,记 g(x)=x-3-ln(x-1)(x2),则 g(x)= - - 0, 所以 g(x)在(2,+)上
17、单调递增. 又 g(4)=1-ln 30, 所以 g(x)=0 存在唯一实根 a,且满足 a(4,5),a-3=ln(a-1). 当 xa 时,g(x)0,即 h(x)0, 当 2xa 时,g(x)0,即 h(x)0, 所以 h(x)min=h(a)= - - - =a-1(3,4), 故正整数 k 的最大值是 3. 16. D x1,x21,2, - - -1= - - - - 0, 令 g(x)=f(x)-x,则 g(x)= -x 在1,2上单调递减, 所以 g(x)= - -10,即 - 1 恒成立. 当 x=1 时,显然恒成立,aR R; 当 x(1,2时,a - ,令 t(x)= -
18、 ,则 t(x)= - - - ,当 x(1,2 时,t(x)0 时,g(x)0,故 g(x)在0,+)上单调递增, 所以当 x0 时,g(x)g(0)=0,即 f(x)0,所以 f(x)在0,+)上单调递增,故当 x=0 时, f(x)取得最小值,最小值为 1. (2)当 a0 时,对于任意的 x0,恒有 ax+11,又由(1)得 f(x)1,故 f(x)ax+1 恒成立. 当 a0 时,令 h(x)=e x- x 2-x-ax-1,则 h(x)=ex-x-a-1, 由(1)知 g(x)=e x-x-1 在0,+)上单调递增,所以 h(x)=ex-x-a-1 在0,+)上单调 递增, 又 h
19、(0)=-a0, 所以函数 h(x)存在唯一的零点 x0(0,2 ),当 x(0,x0)时,h(x)0,h(x)在0,x0) 上单调递减, 所以当 x(0,x0)时,h(x)h(0)=0,即 f(x)ax+1,不符合题意. 综上,a 的取值范围为(-,0. 能力提升练能力提升练 一、选择题 1.D 因为 f(x)=2x, f(1)=2,g(x)= ,g(1)=1,所以 f(x),g(x)的图象在点 (1,0)处的切线不同,选项 A 错误. f(x)g(x)f(x)-g(x)0, f(x)-g(x)=2x- = - = ( - )( ) , 因为 x( )时,f(x)-g(x)0; x= 时,f
20、(x)-g(x)=0, 所以 x= 时, f(x)-g(x)有最小值,最小值为 (ln 2-1)0 时, f(x)g(x)不恒成立,选项 B 错误. 由上可知,函数 f(x)=g(x)在(0,+)上有且只有两个零点, 所以 f(x)与 g(x)的图象有且只有两个交点. 故选 D. 2.A 设切点为(m,n), 由 f(x)=x-e -x的导数为 f(x)=1+e-x, 可得切线的斜率为 k=1+e -m, km+b=m-e -m,b=m-e-m-m(1+e-m), 即有 k+b=1-me -m, 令 g(m)=1-me -m,则 g(m)=(m-1)e-m, 即有 m1 时,g(m)单调递增,
21、m1 时,g(m) 单调递减, 即 m=1 处 g(m)取得最小值,最小值为 1- , 显然 1- . 故 k+b 的值不可能为 . 3.A f(x)= ,易得 f(x)在0,3上单调递增;g(x)=( ) ln ,易得 g(x)在 1,2上单调递减. 因为 x10,3时, f(x1)0,ln 10; x21,2时,g(x2)* - - +. 所以只需 0 -mm . 4.C 令 f(x)=0,则 x 2-2x=-a(ex-1+e-x+1). 设 g(x)=e x-1+e-x+1,则 g(x)=ex-1-e-x+1=ex-1- - = - - - ,当 g(x)=0 时,x=1. 当 x1 时
22、,g(x)1 时,g(x)0,函数 g(x)单调递增, 所以当 x=1 时,函数 g(x)取得最小值,为 g(1)=2. 设 h(x)=x 2-2x,当 x=1 时,函数 h(x)取得最小值,为-1. 若-a0,则函数 h(x)与函数-ag(x)的图象没有交点; 若-a0, 因此 g(x)在1,2上单调递增, 所以 g(x)g(1)=e-20, 从而 g(x)在1,2上是增函数, 所以 g(x)的最小值为 g(1)=e+1,最大值为 g(2)=e 2-2, 又在区间1,2上,不等式 mg(x)m 2-2 恒成立, 得 - - 解得 m-e 或 eme+1,所以 m 的最大值为 e+1,无最小值
23、. 故选 D. 6.A 由 f(x)=x 3+x 可知 f(-x)=-f(x),且 f(x)单调递增, f(xsin x-1)+f(cos x-a)0 等价于 f(xsin x-1)-f(cos x-a), 即 f(xsin -1)f(a-cos x), 所以 xsin x-1a-cos x, 可知 a+1xsin x+cos x, 设 h(x)=xsin x+cos x, 则 h(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x, 当 x= 时,h(x)=0; 当 x( )时,h(x)0,h(x)单调递增; 当 x( )时,h(x)0),则 h(x)=(2-a)- , 因为|AB|的
24、最小值为 3,又 h(x)=0 的根为 x= - ,函数 h(x)在( - )上单调递减, 在( - )上单调递增,所以 h(x)min=h( - )=6+ln(2-a)=6,所以 a=1,x2=1,b=1,2a-b=1. 8.答案答案 - 解析解析 函数 f(x)=xe x,g(x)=e2x-4a-2ex-2a, 所以 f(x)+g(x)=xe x+e2x-4a-2ex-2a. 令 h(x)=xe x,则 h(x)=ex(x+1). 令 h(x)=0,解得 x=-1, 当 x-1 时,h(x)-1 时,h(x)0,h(x)=xex单调递增, 所以 h(x)min=h(-1)=- . 又因为
25、e 2x-4a-2ex-2a=(ex-2a-1)2-1-1, 所以 f(x)+g(x)- -1, 因此只有 h(x)=xe x与 e2x-4a-2ex-2a同时取最小值时, f(x)+g(x)=- -1 才能成立. 所以,当 x=-1 时,e 2x-4a-2ex-2a也取最小值,此时 e-1-2a-1=0,即 a=- . 9.答案答案 (- ) 解析解析 因为不等式 sin 3x-m+2cos 2x+sin x 在区间* +上恒成立, 所以 msin 3x+sin2x-sin x+1 在区间* +上恒成立. 令 f(t)=t 3+t2-t+1,t=sin x,t0,1, 令 f(t)=3t 2
26、+2t-1=(3t-1)(t+1)=0,得 t= (t=-1 舍去),当 t( )时, f(t)0,函数 f(t)单调递增, 所以 f(t)min=f( )= . 所以 m0,得 x , 令 f(x)0,得-3x0, f(x)单调递增; 当 x(e,+)时, f(x)a, 所以存在 t1,e),使得 g(t)=0 且 ln t=at. 当 x(0,t)时,g(x)0,g(x)单调递增. 所以 g(x)的最小值 h(a)=g(t)=t( - - )=t( - - )=t -1 . 令 (t)= -t,t1,e),则 (t)= - , 当 x(1,e)时,(t)0,所以 (t)在1,e)上单调递减, 此时 (t)(- - +,即 h(a)(- - +. 由可知,h(a)的值域是*- - +.
