1、第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1.1 变化率与导数变化率与导数 1.1.3 导数的几何意义导数的几何意义 基础过关练基础过关练 题组一题组一 导数的几何意义导数的几何意义 1.下列说法正确的是( ) A.曲线的切线和曲线有交点,这点一定是切点 B.过曲线上一点作曲线的切线,这点一定是切点 C.若 f(x0)不存在,则曲线 y=f(x)在点(x0, f(x0)处无切线 D.若曲线 y=f(x)在点(x0, f(x0)处有切线,则 f(x0)不一定存在 2.设 f(x0)=0,则曲线 y=f(x)在点(x0, f(x0)处的切线 ( ) A.不存在 B.与 x 轴平行或重合 C.与 x
2、轴垂直 D.与 x 轴斜交 3.如果曲线 y=f(x)在点(x0, f(x0)处的切线方程为 x+2y-3=0,那么( ) A.f(x0)0 B.f(x0)0 C.f(x0)=0 D.f(x0)不存在 4.已知函数 f(x)的图象如图所示,则下列不等关系中正确的是( ) A.0f(2)f(3)f(3)-f(2) B.0f(2)f(3)-f(2)f(3) C.0f(3)f(3)-f(2)f(2) D.0f(3)-f(2)f(2)f(3) 题组二题组二 导数的物理意义与导函数导数的物理意义与导函数 5.若一物体的运动方程为 s=mt 2,在 t=1 时的速度 v=2,则 m 等于( ) A.1 B
3、. C.- D.-1 6.已知 f(x)=7x 2+8,则 f(x)的导函数 f(x)= . 7.已知 f(x)=mx 2+n,且 f(1)=-1, f(x)的导函数 f(x)=4x,则 m= ,n= . 8.一物体的运动方程为 s=3t 2+6t+1,求: (1)该物体在 t=1,t=3 时的速度; (2)该物体在 t=211,t=985 时的加速度. 题组三题组三 求曲线的切线方程求曲线的切线方程 9.若曲线 f(x)=x 2的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则 l 的方程为( ) A.4x-y-4=0 B.x+4y-5=0 C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0 10.
4、曲线 y=f(x)= x 2在点( )处的切线方程为 . 11.求曲线 y=f(x)=x 2+1 过点 P(1,0)的切线方程. 12.已知直线 l1为曲线 y=x 2+x-2 在点(1,0)处的切线,l 2为该曲线的另一条切线,且 l1l2. (1)求直线 l2的方程; (2)求由直线 l1、l2和 x 轴围成的三角形的面积. 题组四题组四 与曲线的切点相关的问题与曲线的切点相关的问题 13.已知曲线 y1=2- 与 y2=x 3-x2+2x 在 x=x 0处的切线的斜率之积为 3,则 x0的值为 ( ) A.-2 B.1 C.12 D.2 14.如图是函数 f(x)及 f(x)在点 P 处
5、切线的图象,则 f(2)+f(2)= . 能力提升练能力提升练 一、选择题 1.()已知函数 y=f(x)的图象在点(2 019,2 020)处的切线与直线 x+3y-2=0 垂直,则 f(2 019)等于( ) A.2 B.- C.-3 D.3 2.()已知曲线 y=x 3在点 P 处的切线的斜率 k=3,则点 P 的坐标是( ) A.(1,1) B.(-1,1) C.(1,1)或(-1,-1) D.(2,8)或(-2,-8) 3.()已知函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=f(x)的图象可能是( ) 4.(2019 湖北武汉高二期中,)设 f(x)存在导函数,且满足 - - =-
6、1, 则曲线 y=f(x)上点(1, f(1)处的切线的斜率为( ) A.2 B.-1 C.1 D.-2 二、填空题 5.()已知直线 x-y-1=0 与抛物线 y=f(x)=ax 2相切,则 a 的值为 . 6.()直线 y=kx+1 与曲线 y=x 3+ax+b 相切于点 A(1,3),则 2a+b 的值等 于 . 7.()若抛物线 y=x 2-x+c 上一点 P 的横坐标是-2,抛物线过点 P 的切线恰好过 坐标原点,则 c 的值为 . 三、解答题 8.()已知抛物线 y=x 2+3 与直线 y=2x+2 相交,求它们交点处抛物线的切线方 程. 9.()点 P 在曲线 f(x)=x 2+
7、1 上,且该曲线在点 P 处的切线与曲线 y=-2x2-1 相 切,求点 P 的坐标. 10.()求过点 P(3,5)且与曲线 y=x 2相切的直线方程. 11.()求曲线 y=f(x)=x 3在点(3,27)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面 积. 答案全解全析答案全解全析 基础过关练基础过关练 1.D 曲线的切线与曲线的交点不一定唯一,故 A,B 说法错误;若 f(x0)不存在,则 曲线 y=f(x)在点(x0, f(x0)处可以有切线,故 C 说法错误;若曲线 y=f(x)在点(x0, f(x0)处有切线,则 f(x0)不一定存在,D 说法正确.故选 D. 2.B 因为 f(x0)=0,
8、所以曲线 y=f(x)在点(x0, f(x0)处的切线存在,且斜率 k=f(x0)=0,故选 B. 3.B 因为切线方程 x+2y-3=0 的斜率为- ,所以 f(x0)=- 0. 4.C 割线 AB 的斜率为 - - =f(3)-f(2), f(2)为函数 f(x)的图象在点 B(2, f(2)处的切线的斜率, f(3)为函数 f(x)的图象在点 A(3, f(3)处的切线的斜率, 结合题中图象可知 0f(3)f(3)-f(2)f(2). 5.A 由题意可知,v=s(1)=2. 又 s(t)= = - = - = (2mt+mt)=2mt, s(1)=2m,2m=2,m=1,故选 A. 6.
9、答案答案 14x 解析解析 = - = - =7x+14x, 故 f(x)= = (7x+14x)=14x. 7.答案答案 2;-3 解析解析 = - = - =mx+2mx, 故 f(x)= = (mx+2mx)=2mx=4x,所以 m=2. 因为 f(1)=-1,即 2+n=-1,所以 n=-3. 综上,m=2,n=-3. 8.解析解析 (1) = - = - =3t+6t+6, 则速度 v(t)=s(t)= = (3t+6t+6)=6t+6, 所以 v(1)=6 1+6=12,v(3)=6 3+6=24,故 t=1,t=3 时的速度分别为 12,24. (2)同(1)可得,加速度 a=v
10、(t)=6,所以 t=211,t=985 时的加速度都为 6. 9.A 设切点为(x0,y0), 因为 f(x)= - = (2x+x)=2x, 又由题意可知,切线的斜率 k=4,即 f(x0)=2x0=4,所以 x0=2. 所以切点坐标为(2,4),切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0,故选 A. 10.答案答案 y=x- 解析解析 f(1)= - = = ( )=1, 曲线在点( )处的切线的斜率为 1,则切线方程为 y- =1 (x-1),即 y=x- . 11.解析解析 设切点为 Q(a,a 2+1), - = - =2a+x,当 x 趋近于 0 时,(2a+x)趋近
11、于 2a,所以所求切线的斜率为 2a.因此,切线方程为 y- (a 2+1)=2a(x-a),因为点 P(1,0)在切线上,所以-(a2+1)=2a(1-a),解得 a=1 ,所 以所求的切线方程为 y=(2+2 )x-(2+2 )或 y=(2-2 )x-(2-2 ). 12.解析解析 (1)因为 y x=1= - - - =3, 所以直线 l1的方程为 y=3(x-1),即 y=3x-3. 设直线 l2过曲线 y=x 2+x-2 上的点 B(b,b2+b-2), 则 y x=b= - - - =2b+1,所以直线 l2的方程为 y-(b 2+b-2)=(2b+1)(x-b),即 y=(2b+
12、1)x-b2-2. 因为 l1l2,所以 3 (2b+1)=-1,所以 b=- ,所以直线 l2 的方程为 y=- x- . (2)由 - - - 得 - 即直线 l1与 l2的交点坐标为( - ). 又 l1,l2与 x 轴的交点坐标分别为(1,0),(- ), 所以所求三角形的面积 S= |- | | |= . 13.B 由题意知,y1= = , y2= =3x 2-2x+2, 所以两曲线在 x=x0处的切线的斜率分别为 ,3 -2x0+2. 由题意可知, - =3,所以 x0=1. 14.答案答案 解析解析 由题图知,切线方程为 + =1, f(2)=4.5 ( - )= , f(2)=
13、- =- . f(2)+f(2)= - = . 能力提升练能力提升练 一、选择题 1.D 由题意知 f(2 019)=3,故选 D. 2.C 因为 y=x 3,所以 y= - = 3x 2+3xx+(x)2=3x2. 因为切线的斜率 k=3,所以 3x 2=3,得 x=1 或 x=-1. 当 x=1 时,y=1;当 x=-1 时,y=-1. 故点 P 的坐标是(1,1)或(-1,-1).故选 C. 3.B 由 y=f(x)的图象及导数的几何意义可知,当 x0,当 x=0 时, f(x)=0,当 x0 时, f(x)0,故选 B. 4.D - - = - - = f(1)=-1. 所以 f(1)
14、=-2. 二、填空题 5.答案答案 解析解析 设切点为 P(x0,y0), 则 f(x0)= - = - = (2ax 0+ax)=2ax0, 即 2ax0=1. 又 y0=a ,x0-y0-1=0, 联立以上三式,得 - - 解得 a= . 6.答案答案 1 解析解析 由导数的定义可求得 y=3x 2+a, 则 解得 - 所以 2a+b=1. 7.答案答案 4 解析解析 设在 P 点处切线的斜率为 k,则 k=y x=-2 = - - - - =-5, 所以切线方程为 y=-5x. 所以点 P 的纵坐标为 y=-5 (-2)=10. 将点 P(-2,10)代入 y=x 2-x+c,得 c=4
15、. 三、解答题 8.解析解析 由方程组 得 x 2-2x+1=0, 解得 x=1(二重根),y=4,所以交点坐标为(1,4), - =x+2, 当 x 趋近于 0 时,x+2 趋近于 2,所以在点(1,4)处的切线的斜率 k=2, 所以切线方程为 y-4=2(x-1), 即 y=2x+2. 9.解析解析 设 P(x0,y0),则 y0= +1. f(x0)= - =2x0, 所以在点 P 处的切线方程为 y-y0=2x0(x-x0),即 y=2x0 x+1- . 而此直线与曲线 y=-2x 2-1 相切, 所以切线与曲线 y=-2x 2-1 只有一个公共点. 由 - - - 得 2x 2+2x
16、 0 x+2- =0, 所以 =4 -8(2- )=0, 解得 x0= ,则 y0= . 所以点 P 的坐标为 , 或 - , . 10.解析解析 y= = - =2x. 设所求切线的切点为 A(x0,y0). 点 A 在曲线 y=x 2上, y0= , 又A 是切点, 过点 A 的切线的斜率 k=2x0,切线方程为 y- =2x0(x-x0),即 y=2x0 x- , 所求切线过点 P(3,5), 5=6x0- , 解得 x0=1 或 x0=5. 所求的切线有两条,方程分别为 y=2x-1 和 y=10 x-25. 11.解析解析 f(3)= - = - = (d 2+9d+27)=27, 曲线在点(3,27)处的切线方程为 y-27=27(x-3),即 27x-y-54=0. 此切线与 x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)、(0,-54). 切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S= 2 54=54.
