1、第 1 页 共 4 页 常州市“教学研究合作联盟” 2020 学年度第一学期期中质量调研 高二年级数学试题 常州市“教学研究合作联盟” 2020 学年度第一学期期中质量调研 高二年级数学试题 2020 年 11 月 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共8小题小题,每小题每小题5分分,共共40分在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目 要求 分在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目 要求 1 “0 x ,2sinxx”的否定是() A0 x ,2sinxxB0 x ,2sinxx C 0 0 x, 00 2sinxxD 0 0 x, 00 2sinxx 2不等式 5 0 3 x x
2、 - + 的解集为() A.(, 35,) B. 3,5 C.(, 3)5,) D.35(， 3设aR,则“1a ”是“ 2 1a ”的() A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要 4观察数列1,ln2,sin3,4,ln5,sin6,7,ln8,sin9则该数列的第23项等于() A.sin21B.ln20C.sin24D.ln23 5 算法统宗是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠 算和数学知识起到了很大的作用,是东方古代数学的名著,在这部著作中,许多数学问 题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿,若
3、问生年总 不知,自长排来差三岁,共年二百一十六,借问大儿多少岁,各儿岁数要谁推.这位公公 年龄最大的儿子年龄为() A.9岁B.12岁C.21岁D.36岁 6不等式 22 (9)(3)10axax 的解集是空集,则实数a的范围为() A. 9 ( 3, ) 5 B. 9 3, ) 5 C. 9 3, 5 D. 9 3, )3 5 7已知实数a,b满足0ab ,则 2 22 aa abab 的最大值为() A 3 2 B 1 4 C 1 3 D 2 3 第 2 页 共 4 页 8已知函数 ln 2 eex f xx ex ,若 220182019 2020202020202020 eeee ff
4、ff 2019 2 ab,其中0b ,则 1 2 a ab 的最小值为() A 3 4 B 5 4 C2D 2 2 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共4小题,每小题小题,每小题5分,共分,共20分在每小题给出的选项中有多项符合要求全部 选对的得 分在每小题给出的选项中有多项符合要求全部 选对的得5分,部分选对的得分,部分选对的得3分,有选错的得分,有选错的得0分分 9.如果0ab,那么下列不等式正确的() A. 11 ab B. 22 acbc C. 11 ab ba D. 22 aabb 10.已知aZ,关于x的一元二次不等式 2 20 xxa的解集中有且仅有3个整数,则a的值
5、 可以是() A.3B.2C.1D.0 11.已知数列 n a为等差数列,其前n项和为 n S,且 137 24aaS,则以下结论正确的有() A. 14 0aB. 14 S最小C. 1116 SSD. 27 0S 12.将 2( 3)nn 个数排成n行n列的一个数阵,如下图： 111213 2122232 3132333 13 1 2 n n nnnn n n aaa aaaa aaaa aa a aa 该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的 等比数列（其中0m ）.已知 11 3a, 6113 1aa,记这 2 n个数的和为S.下列结论
6、正确的有() A.2m B. 7 67 13 2a C. 1 (21) 2 j ij ai D. (2) 21 n Sn n 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共4小题,每小题小题,每小题5分,共分,共20分,第 16 题第一空分,第 16 题第一空2分,第二空分,第二空3分.分. 13.已知不等式 2 50 xaxb的解集为|14x xx或,则ab 14.已知数列 n a为等差数列, n S为 n a的前n项和,若 2 13a, 3 24a,则 4 S的取值范围 是 15.已知0,0 xy且26xyxy,若 2 1xymm恒成立,则非零整数m的取值 集合是 第 3 页 共 4 页 16.
7、对于数列 n a,若任意 * ,()m nNmn,都有 mn aa t mn （t为常数）成立,则称数列 n a具有 性质( )p t. （1）若数列 n a的通项公式为3n n a ,且具有性质( )p t,则t的最大值为； （2）若数列 n a的通项公式为 n a an n ,且具有性质(9)p,则实数a的取值范围是 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共6小题共小题共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分 10 分）（本小题满分 10 分） 已知集合 22 |8120Ax xaxa,其中0a ；集合 |(
8、1)(2)0Bxxx=- （1）若1,a 求AB； （2）若:p xA,:q xB,且 p 是 q 的必要不充分条件,求实数a的取值范围 18.（本小题满分 10 分）（本小题满分 10 分） 已知等差数列 n a的前n项和为 n S, n b是各项均为正数的等比数列, 14 ab, , 2 8b , 13 34bb,是否存在正整数k,使得数列 1 n S 的前k项和 3 4 k T ,若存在,求出k的最小值；若不存在, 说明理由. 从 4 20S , 33 2Sa, 342 3aab这三个条件中任选一个补充到上面问题中并作答. （注：如果选择多个条件分别解答（注：如果选择多个条件分别解答,按
9、第一个解答计分.）按第一个解答计分.） 19.（本小题满分 12 分）（本小题满分 12 分） 已知函数( ) xa f x xb （, a b为常数）. （1）若1b ,解关于x的不等式(2)0f x； （2）若2a ,当 1,2x 时, 2 1 ( ) () f x xb 恒成立,求b的取值范围. 第 4 页 共 4 页 20.（本小题满分 12 分）（本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S, 1 1 232 n nn Sa +, * nN,且 1 a, 2 6a ,29成等差数列 （1）求 1 a的值； （2）证明：数列 3 n n a 为等差数列,并求数列 n a
10、的通项公式； （3）设 3( ) 1 21 n n a bg n lo ,若对任意的 * nN,不等式()()1260 nn bnn b 恒成立,试求实数 的取值范围 21.（本小题满分 12 分）（本小题满分 12 分） 党中央、国务院对节能减排高度重视,各地区、各部门认真贯彻党中央、国务院关于“十三五”节能减排 的决策部署,把节能减排作为转换发展方式,经济提质增效,建设生态文明的重要抓手,取得重要进展.新能 源汽车环保、节能、以电代油,减少排放,既符合我国国情,也代表了汽车产业发展的方向.为了响应国家节 能减排的号召,2020年常州某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析:全年需投入
11、固定成本 2500万元.每生产x（百辆）新能源汽车,需另投入成本( )C x万元,且 2 10500 ,040 ( ) 10000 9014300,40 xxx C x xx x .由市场调研知,每辆车售价9万元,且生产的车辆当年能全部销售 完. （1）请写出2020年的利润( )L x（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式； （利润销售成本） （2）当2020年产量为多少百辆时,企业所获利润最大?并求出最大利润. 22.（本小题满分 14 分）（本小题满分 14 分） 已知各项均为正数的数列 n a的前n项和为 n S,且满足 3332 1212 () nn aaaaaa, * nN. （
12、1）求证： 2 2 nnn aSa； （2）设 1 () 2 2 n nn ca,其前n项和为 n T,求 n T； （3） 在 （2） 的条件下， 设 3 2 2 n n n T b ,求使不等式 12 111 11121 n pn bbb 对一切2n 且 * nN均成立的最大整数p. 第 1 页 共 6 页 常州市“教学研究合作联盟” 2020 学年度第一学期期中质量调研 常州市“教学研究合作联盟” 2020 学年度第一学期期中质量调研 高二数学参考答案及评分标准高二数学参考答案及评分标准 一、单项选择题一、单项选择题:本大题共本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40
13、 分分. DDBDDBCA 一、多项选择题一、多项选择题:本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. CDBCDACDACD 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.第第 16 题第一空题第一空2分，第二空分，第二空3分）分） 13.314.6,14 15. 116.(1) 6 (2) 16a 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(本小题满分 10 分) 解：由已知，0a
14、所以 22 |8120Ax xaxa |(2 )(6 )0 xxa xa|26x xaxa或 |(1)(2)0Bxxx=- |12xx= 2 分 (1)当 1a 时 |26Ax xx或 4 分 |12Bxx 所以 |12ABxx 5 分 (2) |26Ax xaxa或 ， 6 分 |12Bxx 由已知，p是q的必要不充分条件，可知BA ，7 分 所以2216aa或所以 1 1 6 aa或 9 分 所以 1 01 6 aa或 10 分 18(本小题满分 10 分) 解设等比数列 n b的公比为q（0q ） ，则 1 8 b q ， 3 8bq，于是 8 3 84q q ， 即 2 620qq，解
15、得 1 2 q ， 2 3 q （舍去）. 2 分 若选：则 14 2ab， 41 4 3 420 2 Sad ，解得2d 4 分 所以 2 (1) 22 2 n n n Snnn ，6 分 第 2 页 共 6 页 1111 (1)1 n Sn nnn ，于是 12 111111111 +(1)()()1 22311 k k T SSSkkk 8 分 令 13 1 14k ，解得3k ，9 分 因为k为正整数，所以k的最小值为4. 10 分 若选：则 14 2ab， 11 3 2 32(2 ) 2 adad ，解得 1 2ad.4 分 下同. 若选：则 14 2ab， 11 3(2 )(3 )
16、8adad，解得 4 3 d .4 分 于是 2 (1)424 2 2333 n n n Snnn ， 6 分 1313 11 () 2(2)42 n Sn nnn ， 于是 31111111 (1)()()() 4324112 k T kkkk 3111 (1) 4212kk 9311 () 8412kk ，8 分 令 3 4 k T ，得 111 122kk ，得 2 40kk 所以 117 2 k 或 117 2 k 9 分 又k为正整数，解得3k ，所以k的最小值为3.10 分 19(本小题满分 12 分) 解： （1）( ) xa f x xb ， 1b 所以 ( ) 1 xa f
17、x x 所以 22 (2)0 2 11 xaxa f x xx 等价于( 1)(2)0 xxa 1 分 当12a时，即1a 时，不等式的解集为|21xax3 分 当12a时，即1a 时，不等式的解集为4 分 第 3 页 共 6 页 当12a时，即1a 时，不等式的解集为|12xxa6 分 （2）因为2a , 2 1 ( ) () f x xb ， 所以 2 21 ()(2)1 () x xb x xbxb 7 分 显然xb ；由1,2x 时不等式恒成立，可知 2,1b ；8 分 当12x 时， 2 21 2 xx b x 9 分 令21,4tx ， 11 ( )()2220p ttt tt 1
18、0 分 （当且仅当 1 t t 即1t 时取等号） 所以0b ，11 分 又因为 2,1b 综上所述，1b .12 分 20（本小题满分 12 分） 解（1）在 1* 1 232, n nn SanN 中 令1n ，得 2 12 232,Sa即 21 27aa，又 21 2629aa 则由解得 1 1a . 2 分 （2）当2n时，由 1 1 1 232 232 n nn n nn Sa Sa ，得到 1 233 , n nn aa 则 1 1 2 (2) 333 nn nn aa n 4 分 又 2 9a ，则 21 21 2 333 aa 满足前式5 分 3 n n a 数列是以 1 3
19、为首项， 2 3 为公差的等差数列，6 分 1221 (1) 3333 n n an n 所以， 即 1 (21) 3n n an .7 分 （3）由（2）得 n bn当1260 nn bnn b恒成立时，即 2 11 260nn（ * nN ）恒成立8 分 设 2 11 26f nnn（ * nN ） ， 当1时， 60f nn 恒成立，则1满足条件； 9 分 第 4 页 共 6 页 当1时，由二次函数性质知不恒成立； 10 分 当1时，由于对称轴x 12 0 2(1) ，则 f n在1,上单调递减， 1340f nf 恒成立，则1满足条件，11 分 综上所述，实数的取值范围是1,.12 分
20、 （或分参，酌情给分） 21（本小题满分 12 分） 解（1）当040 x时， 22 ( )9 100105002500104002500L xxxxxx ；2 分 当40 x时， 1000010000 ( )9 100901430025001800L xxxx xx ；4 分 所以 2 104002500,040 ( ) 10000 1800,40 xxx L x xx x 5 分 （2）当040 x时， 2 ( )10(20)1500L xx ， 当20 x=时， max ( )1500L x；7 分 当40 x时， 1000010000 ( )180018002L xxx xx 1800
21、2001600.9 分 （当且仅当 10000 x x 即100 x 时，“”成立）10 分 因为16001500 所以， 当100 x 时， 即 2020 年生产 100 百辆时， 该企业获得利润最大， 且最大利润为 1600 万元.11 分 答： （1）2020年的利润 ( )L x （万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为 2 104002500,040 ( ) 10000 1800,40 xxx L x xx x （2） 当100 x 时， 即 2020 年生产 100 百辆时， 该企业获得利润最大， 且最大利润为 1600 万元.12 分 第 5 页 共 6 页 22 （本小题满分
22、 14 分） 解（1） 3332 1212 () (*) nn aaaaaa 3332 121121 () (2) nn aaaaaan 所以 322 12121 ()() nnn aaaaaaa (2) nnn aSa 2 分 又0 n a 所以 2 2(2) nnn aSa n，又因为由(*)式可得 1 1a 满足前式3 分 所以 2* 2() nnn aSa nN 4 分 （2）由（1）得 2 111 2(2) nnn aSan ，所以 11 ()(1)0 nnnn aaaa 又0 n a ，所以 1 0 nn aa ，所以 1 1 nn aa 所以 n a是以 1 位首项，1 为公差的
23、等差数列.所以1 (1) 1 n ann 6 分 所以 1 2 2 n n cn 123 1351 2222 2222 n n Tn 231 1331 22222 2222 nn n Tnn 7 分 得： 231 1 1 2222 2 nn n Tn 231 1 222221 2 nn n 1 2 12 1 213223 122 n nn nn . 2323 n n Tn8 分 （3） 2323 2221 22 n n n nn nT bn 9 分 由题意得 12 1111 111 21 n p bbbn 对 * 2,nnN恒成立，10 分 记 12 1111 111 21 n F n bbbn 第 6 页 共 6 页 则 121 12 11111 1111 123 1111 111 21 nn n bbbbF nn F n bbbn 2 2 22484 48 1 3 2123 nnn nn nn 0F n ， 1F nF n，即 F n是随 n 的增大而增大12 分 F n的最小值为 8 25 15 F，所以 8 5 15 p ，13 分 又pZ，所以 max 1p.14 分
