1、对数函数及其性质 银川高级中学 宋 XX 一、一、 学习内容解析学习内容解析 对数函数及其性质 是选自普通高中实验教科书人教 A 版必修第二 章第二节的内容。函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。而对数函 数是学生学习了函数的概念、性质以及指数函数及其性质后，学习的第二个 基本初等函数，是高中阶段要研究的重要的基本初等函数之一，是函数学习 的第二阶段， 是对函数概念的再认识阶段。 它是一种新的函数模型， 在人口、 考古、地震、pH 的测定等问题中有着广泛的应用。 对数函数及其性质教学时数安排是 3 课时，本节课是第一课时，它 涉及对数函数的概念的建立、图象的绘制、基本性质以及简单应用，属于
2、概 念性知识。教材从具体实例了解对数函数模型的实际背景，学习对数概念， 进而学习一类新的基本初等函数对数函数。由于对数式与指数式的对应 关系， 对数函数与指数函数有着很多对应的性质。 对数函数同指数函数一样， 是以对数概念和运算法则作为基础展开的，并且对数函数的研究过程同指数 函数的研究过程是一样的。教材的目的就是让学生对建立和研究一个具体的 函数的方法有较完整的认识。一方面对数函数的学习可以进一步深化对函数 概念、性质以及研究方法的理解，另一方面也为后续研究幂函数、三角函数 等初等函数打下基础。基于以上分析，我确立本节课的教学重点是： 教学重点：对数函数的定义、图象和性质。教学重点：对数函数
3、的定义、图象和性质。 突破重点的策突破重点的策略：引导学生再现指数函数的学习经验，提供情景抽象出略：引导学生再现指数函数的学习经验，提供情景抽象出 对数函数， 同时类比指数函数的学习过程， 整体上确定研究内容与研究方法，对数函数， 同时类比指数函数的学习过程， 整体上确定研究内容与研究方法， 在师生共同加以确认后组织学生进行自主探究。在师生共同加以确认后组织学生进行自主探究。 二、二、 学习目标设置学习目标设置 结合课程标准和学生实际确立本节课的学习目标如下： 1、 从具体实例中抽象出对数函数特征，并用数学符号表示，初步理解对数 函数的概念，发展学生的数学抽象素养。 2、 类比指数函数的研究过
4、程，经历设计对数函数的研究方案并实施，获得 对数函数的性质，发展学生的几何直观素养和数学抽象素养。 3、 在经历对数函数的研究过程中，对建立和研究一个具体的函数的方法有 较完整的认识，同时发展思维，促进自主学习能力的提升。 三、三、 学生学情分析学生学情分析 1、 学生已有认知基础 （1） 学生已经学习了函数的概念、表示方法和性质，知道函数的研究 内容是函数的概念、性质以及应用。 （2） 学生经历了指数函数的概念、性质以及简单应用的研究过程，初 步建立了研究一个具体的函数的一般方法。 （3） 学生学习了对数的定义、对数式和指数式的互化、对数运算性质 以及对数的初步应用，具备了进行对数运算的能力
5、。 （4） 学生具有一定的分析问题和解决问题的能力，他们也知道将问题 作类比和转化，这些无疑都为本节课知识的生长点提供有力条件。 2、 达成目标所需要的认知基础 本节课是学生学习研究的第二个基本初等函数，虽然在前面学生已 经初步建立了研究一个具体函数的一般方法，而本节课的目的是通过对 对数函数的研究使学生对建立和研究一个具体的函数的方法有较完整的 认识，这就需要学生具备较好的归纳、研究问题以及操作实施的能力， 并且主动参与探究过程。基于以上分析，确立本节课的教学难点为： 教学难点：亲自操作、主动探究对数函数的性质的过程教学难点：亲自操作、主动探究对数函数的性质的过程. 突破难点的策略：引导学生
6、类比指数函数的研究方法，设计研究对数突破难点的策略：引导学生类比指数函数的研究方法，设计研究对数 函数的研究方案并实施，从总体上认识研究的目标和手段函数的研究方案并实施，从总体上认识研究的目标和手段，同时重视交流过同时重视交流过 程。程。 四、四、 教学策略分析教学策略分析 本节课采用类比与自主探究学习相结合的方式，具体落实如下： 1、适时回顾经验：引导学生梳理学习指数函数的经验，然后自己设计研究对 数函数的方案并亲自操作主动探究； 2、及时组织交流：探究对数函数图像和性质时，学生自选底数，开展自主探 究，并通过汇报交流，促进学生分析问题和解决问题的能力的提高； 3、加强性质应用：引导学生类比
7、指数函数的性质的应用思考对数函数性质的 简单应用，并自主举例加以说明。 在研究过程中，力图促进学生学习方法和思维能力的提升，具体着力于以下 两个方面： 1、自主研究前，教师引导学生明确研究的内容和方法，并能保证学生学习的 时间和思维的空间。 2、研究过程中，引导学生经历知识的发生过程以及完善过程，促进学生的思 维能力的提高。 五、五、 教学过程设计教学过程设计 (一一)、梳理经验、形成方法、梳理经验、形成方法 【问题 1】 ：我们在前面已经学习了一类新的函数指数函数，请同学们回 顾我们的研究过程，想一想，对于指数函数，我们是怎么研究的？（可以引 导学生从研究内容和研究过程两个方面回顾并梳理到黑
8、板上） 【教师引言】同学们都说的很好，同学们是从两个角度对指数函数的研究过 程进行了梳理： 1、研究内容：指数函数的定义、性质以及应用。 2、研究方法：借助指数函数的图象和解析式来研究它的性质. 具体实施过程如下： 画出几个具体的指数函数的图象，观察图象的共同特征，归纳获得指数函数 这一类函数的一般性质:定义域、值域、单调性、奇偶性、最值等. 【设计意图】 引导学生再现指数函数的学习过程， 同时梳理学生的学习经验， 为学生自主设计研究对数函数的性质的思路方案做铺垫。 (二二)、创设情境、建构概念、创设情境、建构概念 【教师引言】本节课我们要继续采用这样的线索来学习新的函数模型，下面 请同学们先
9、看一个实例。 某细胞分裂是，有 1 个分裂为两个，2 个分裂为 4 个以此类推，一个 这样的细胞分裂 1 次得到 2 个细胞，分裂 2 次得到 4 个细胞，分裂 3 次得到 8 个细胞. 如果设 x 表示分裂成的细胞个数，y 表示分裂次数，试写出 x 与 y 的关系式。 【思考 1】 ：对于 y x2和y = 2这两个表达式有什么不同的看法？ 【设计意图】在学生体会到这两个表达式都能刻画细胞个数 x 与分裂次数 y 之间的关系后，提出这个思考，获得函数y = 2，同时引导学生明确现 实生活中存在着这样的函数，所以我们有必要来研究它，体会研究知识的必 要性. 【问题 2】 ：这个函数有什么特点？
10、你能举出类似的函数吗？你能写出这类 函数的一般形式吗？ 【设计意图】通过学生举例归纳出对数函数的一般形式，获得对数函数的概 念，同时在学生举例之后，明确我们可以逐个去研究这几个函数，但从高效 的角度研究这一类函数更合适经济. 【思考 2】 ： 对于这个一般式y = 中包含了三个量， 其中x代表什么？y 代表什么？底数的取值范围是什么？ 【思考 3】 ：对数函数y = 的定义域是什么？为什么？ 【设计意图】因为函数的定义域是研究函数的基础，所以有必要引导学生明 确函数的自变量以及定义域。在探究指数函数概念时，学生对指数函数中底 数的取值范围的探讨很彻底，所以在这里没必要深入探究。只需体会指数 式
11、与对数式的互化等价性，再一次体会函数概念的建构过程。对数函数的定 义域为正实数集，因为对数的真数要大于 0，因为对数的真数是指数式中的 幂。这是学生容易忽视的，在这里再一次体会这一点。 (三三)、制定策略、制定策略 、自主探究、自主探究 【教师引言】对于对数函数我们已经获得了它的定义，下面我们有必要对它 进行进一步的研究,你认为我们需要研究哪些内容？如何来研究？ 【问题 3】 ：对于对数函数，需要研究哪些内容？如何来研究？ 【设计意图】引导学生类比指数函数性质的研究过程，自主设计研究对数函 数性质的思路方案.同时引导学生从研究内容、研究方法以及具体的实施过 程来梳理，然后师生共同确认之后，学生
12、亲自操作实施。这样做有利于学生 感受研究问题的过程. 【自主探究】【自主探究】按照设计的方案步骤，独立探究对数函数的图象和性质。 【设计意图】学生在探究指数函数的图象和性质时，初步经历了探究一个新 函数图象和性质的过程，有了必要的经验，学生可以独立探究，这样做的目 的就是使得学生再一次经历探究一个新函数的过程， 较完整的体会探究新函 数的思路和方法.通过学生亲自操作，参与研究过程，对建立和研究一个具 体的函数的方法有较完整的认识，同时发展思维，促进自主学习能力和操作 实施能力的提升。 (四四)、展示交流，形成结论、展示交流，形成结论 【展示交流】请几位同学展示探究结果。 【设计意图】展示学生结
13、论和思考问题的过程，汇报交流，将函数图象的直 观感知和数学理性思维相结合，对观察所得的结论进行有序归纳，并对结论 进行适当的说明。 教师引导学生将函数图象的直观反映和数学理性思维相结 合，对观察的结论进行适当地说明，提升学生的理性思维能力，体会数形结 合的数学思想方法. 同时这个过程也是类比学习的经验积累阶段. (五五)、新知应用、巩固深化、新知应用、巩固深化 【教师引言】以上我们类比指数函数性质的研究过程研究了对数函数的性质， 下面同样的类比指数函数性质的应用，想一想，利用对数函数的性质可以解决 哪些问题？ 【问题 4】 ：类比指数函数性质的应用，利用对数函数的性质可以解决哪些问 题？请举例
14、说明. 学生举例之后，出示例 1. 例例 1 1、比较下列各组数中两个值的大小 （1）8.5log和3.4log 22 ; （2）2.7log和1.8log 0.30.3 ; （3）2.7log和1.8log 5.10.3 . 【设计意图】 学生已经熟练掌握了利用指数函数的单调性解决比较两个幂的大 小问题，引导学生类比并自主举例，这样设计的目的是为了促进学生的自主学 习能力， 引导学生再次体会函数的单调性是研究不等关系的工具以及用函数的 思想来解决问题的方法.同时对于函数问题的解决遇到困难时，我们应回到概 念、图象和性质中寻找突破口. (六六)、概括总结，形成经验、概括总结，形成经验 【问题
15、5】：对于对数函数，我们研究了哪些内容？ 【问题 6】：回顾我们的研究过程，我们是如何研究对数函数的？ 【设计意图】 ：课堂小结的目的在于整理本节课所学知识与方法，回顾学习过 程。在函数的概念、表示和性质的学习过程中，引导学生明确了研究函数的内 容分别是概念、性质以及应用；在指数函数及其性质的学习过程中，引导学生 初次通过类比明确研究内容和研究方法，然后组织学生的学习探究活动，使学 生初次感受了研究函数的一般方法；再通过对数函数及其性质的学习，引导学 生再现指数函数的学习经验，自主设计方案并实施。在前面这些学习过程的基 础上，再通过小结使学生对研究函数的一般方法以及研究内容加深认识，同时 也积
16、累了类比的经验。 （七） 、分层作（七） 、分层作业，巩固提高业，巩固提高 必做题：课本74习题 2.2A 组 7、8 选做题：在指数函数y = 2中，x 为自变量，y 是应变量，如果把 y 当成自变 量，x 当因变量，那么 x 是 y 的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果 不是请说明理由. （八） 、板书设计（八） 、板书设计 对数函数及其性质课例点评对数函数及其性质课例点评 银川高级中学 孟振中 本节课宋老师能够从研究学情出发，从认知规律和认知发展来设计教学，重 视对数函数概念的形成过程的教学；学生利用描点法作图，引导学生体会到了底 数 a 的变化对图象的影响，引导学生进行观察，分析
17、，对比，归纳等过程，最终 形成了 a1，0a1 两种情况下的图象；通过与指数函数的对比，利用数形结合 的思想，让学生自主探究，交流，获得了对数函数的性质，使学生对对数函数的 概念又有了更深刻的理解，教学中能够引导学生从各个不同的角度思考问题，注 重学生探究精神的培养。整个教学中重视学生学习方式的改变，把学习能力的培 养当成一项重要的任务来完成，在展示交流环节充分展示学生思考问题的过程， 这样做对所有学生而言都是一种帮助； 重视学生综合素质的培养， 从读， 思， 看， 想，画，说等方面训练学生的各种技能，增加了学生动手的机会，减轻了学习压 力，增强了学生学习的信心。 最后肯定指数函数的研究过程与对数函数的研究过程是一致的， 并提到这样 的学习过程以后会多次经历，引导学生充分经历研究函数的过程，体会研究函数 对数函数及其性质 指数指数函数的学习过程： 研究内容：研究内容：指数函数的定义、 性质、应用。 定义域 值域 单调性 奇偶性 最值 定点 研究方法：借助图象和解析式研究方法：借助图象和解析式 一、对数函数的定义 例题： 的一般方法，这正是这节课的最高追求!
