1、高一年级数学期中试题 第 1 页，总 9 页 华中师大一附中20202021 学年度上学期期中检测 高一年级数学试题 试卷总分 150 分 考试时间 120 分钟 一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选 项符合题目要求. 1已知 A3，0，1 ，B4，3，1，则 AB 的真子集的个数为 （） A3 B7 C15 D31 2钱大姐常说“便宜没好货” ，她这句话中， “不便宜”是“好货”的 （） A充分条件 B必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3已知函数 ( )f x的定义域为( 1,1) ，函数 ( )(21)g xfx ，
2、则函数 ( )g x的定义域为 （） A( 1,1) B(0, 1) C( 3,1) D( ( 3), (1)ff 4若正实数 a，b 满足1ab，则 12 ab 的最小值为 （） A4 2 B6 C2 2 D3 2 2 5函数 2 ( )= 4f xxx的单调递减区间是 （） A(,2 B2,) C0，2 D2，4 6若关于x 的不等式 2 |1|2|1()xxaaa R的解集为空集，则实数 a 的取值范围是（） A10a B01a C12a D1a 7 已知函数 ( )f x是定义在R 上的偶函数， 且在(0,)上单调递减，( 2)0f ， 则不等式 ( )0 xf x 的解集为 （） A
3、( , 2)(0,2) B(, 2)(2,) C( 2,0)(0,2) D( 2,0)(2,) 8已知函数 2 ( )2 +1,0,2f xxxx ，函数( )1, 1,1g xaxx ，对于任意 1 0,2x ，总存 在 2 1,1x ，使得 21 ()()g xf x成立，则实数 a 的取值范围是 （） A(, 3 B3,) C(, 33,) D(, 3)(3,) 二、多选题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有若干个选 项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分. 9已知 a，b，c 为互不相等的正数，且 2
4、2 2acbc，则下列关系中可能成立的是 （） Aabc Bcba Cbac Dacb 高一年级数学期中试题 第 2 页，总 9 页 10下列各结论中正确的是 （） A “0ab ”是“ 0 a b ”的充要条件 B函数 2 2 1 2 2 yx x 的最小值为 2 C命题“1x ， 2 0 xx”的否定是“ 0 1x， 2 00 0 xx” D若函数 2 1yxax有负值，则实数 a 的取值范围是2a 或2a 11定义域为 R 的函数 ( )f x满足()( )( )f xyf xf y ，且当0 x 时， ( )0f x 以下结论正 确的是 （ ） A ( )f x为奇函数 B( )f x
5、为偶函数 C ( )f x为增函数 D( )f x为减函数 12设定义域为 R 的函数 1 , 1 |1|( ) 1, 1 x xf x x ，若关于 x 的方程 2 ( )( )0f xaf xb有且仅 有三个不同的实数解 x1，x2，x3，且 x1 x2 0)， 若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（乙工程队的整体报价比甲 工程队的整体报价更低） ，试求实数 a 的取值范围 22 （本题满分 12 分）若函数 ( )yf x 自变量的取值区间为a, b时，函数值的取值区间恰为 2 2 , b a ，就称区间a, b为 ( )yf x 的一个“和谐区间” 已知函数 ( )g
6、x是定义在R上的奇函数， 当 (0,)x时，( )3g xx （1）求 ( )g x的解析式； （2）求函数 ( )g x在(0,)内的“和谐区间” ； （3）若以函数 ( )g x在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数( )yh x 的图像，是否存 在实数 m，使集合 2 ( , )|( )( , )|x yyh xx yyxm恰含有 2 个元素若存在，求出 实数 m 的取值集合；若不存在，说明理由 高一年级数学试题参考答案 一、单选题 1C2B3B4D 5D6A7A8C 二、多选题 9BC10AD 11 AC 12ABD 三、填空题 13-1,0,2 14 3 ,0 4 15二 16
7、1 2 a 或1a 高一年级数学期中试题 第 5 页，总 9 页 四、解答题 17解： |1| 2 | 13Ax xxx ， 2 分 26 |1 |24 4 x Bxxx x 4 分 （1） | 12ABxx 7 分 （2） |34BAxx 10 分 18解： |2310Axxxa ， 2 |20Bxxaxa . 2 2 17 20 24 aaa ， 2 2aa. 2 |2Bx axa. 2 分 p 是 q 的充分条件，AB. 3 分 当1a 时，312a ，A ，不符合题意； 5 分 当1a 时，312a ， |231Axxa ，要使AB， 则 2 1 2 312 a a aa 12a. 8
8、 分 当1a 时，312a ， |312Axax ，要使AB， 则 2 1 31 22 a aa a 1 1 2 a. 11 分 综上所述，实数 a 的取值范围是 1 ,1)(1,2 2 . 12 分 19 （1）解法一：因为函数( )f x是定义在-1,1上的奇函数， 高一年级数学期中试题 第 6 页，总 9 页 则 00 11 f f ，得 0 1 2 n mn ，解得 2 0 m n ， 2 分 经检验2m ，0n 时， 2 2 1 x f x x 是定义在 1,1 上的奇函数. 3 分 法二： ( )f x是定义在 1,1 上的奇函数，则 fxf x ， 即 22 11 mxnmxn
9、xx ，则0n ， 所以 2 1 mx f x x ，又因为 11f，得2m ，所以2m ，0n . 3 分 设 12 , 1,1x x 且 12 xx ，则 22 1212212112 12 222222 121212 222 (1)2(1)2()(1) 11(1)(1)(1)(1) xxx xx xxxx x f xf x xxxxxx 12 11xx 22 211 212 0,10,(1)(1)0 xxx xxx 12 0f xf x 12 f xf x f x 在 1,1 上是增函数6 分 （2）由（1）知 2 2 1 x f x x ， f x在 1,1 上是增函数， 又因为 f x
10、是定义在1,1 上的奇函数， 由 2 110f af a ，得 2 11f afa ， 7 分 2 2 111 111 11 a a aa ， 10 分 即 2 02 02 21 a a a ，解得01a 故实数a的取值范围是0，1) 12 分 20 （1）解法一：对任意的1,2x，恒有 2 2f xx，即 22 (1)2xaxx， 高一年级数学期中试题 第 7 页，总 9 页 整理得 2 3(1)0 xax对任意的1,2x恒成立， 2 分 构造函数 2 3(1)g xxax，其中1,2x，则 max0g x，即 10 20 g g ， 4 分 即 3(1)0 122(1)0 a a ，解得5
11、a ，因此，实数 a 的取值范围是5,. 6 分 解法二：对任意的1,2x，恒有 2 2f xx，即 22 (1)2xaxx， 整理得 2 3(1)0 xax对任意的1,2x恒成立， 2 分 max 1(3 )6ax 5 分 因此，实数 a 的取值范围是 5,. 6 分 （2） 2 2 2 1 1 (1) 24 a a f xxaxx 2a 1 0 2 a 7 分 当 1 2 2 a ，即23a时，函数 yf x在 1 0, 2 a 上单调递增， 在 1,2 2 a 上单调递减，此时 2 1 1 24 a a g af ； 9 分 当 1 2 2 a ，即3a 时， yf x在0, 2上单调递
12、增， 此时 222g afa 11 分 综上所述， 2 (1) ,23 ( ) 4 22,3 a a g a aa 12 高一年级数学期中试题 第 8 页，总 9 页 分 21 （1）设甲工程队的总造价为 y 元， 则 7216 3006400144001800()14400(36)yxxx xx ， 2 分 1616 1800()14400180021440028800 xx xx ， 4 分 当且仅当 16 x x ，即 x=4 时等号成立 5 分 故当左右两侧墙的长度为 4 米时，甲工程队的报价最低，最低报价为 28800 元 6 分 （2）由题意可得 161800 (1) 1800()
13、14400 ax x xx 对任意的3,6x恒成立 故 2 (4)(1)xax xx ，从而 2 (4) 1 x a x 恒成立， 8 分 令1xt ， 22 (4)(3)9 6 1 xt t xtt ，4,7t 又 9 6yt t 在4,7t为增函数，故 min 49 4 y. 11 分 所以 a 的取值范围为 49 (0,) 4 12 分 22 （1）因为( )g x为R上的奇函数，(0)0g 又当 (0,)x 时， ( )3g xx 所以，当 (,0)x 时， ( )()(3)3g xgxxx ； 3,0 ( )0,0 3,0 xx g xx xx 3 分 （2）设0ab， ( )g x
14、在(0,)上递单调递减， 2 ( )3 2 ( )3 g bb b g aa a ，即, a b是方程 2 3x x 的两个不等正根 0ab 1 2 a b ( )g x在(0,)内的“和谐区间”为1,2 6 分 高一年级数学期中试题 第 9 页，总 9 页 （3）设a, b为 ( )g x的一个“和谐区间”，则 22 ab ba ，a，b 同号 当0ab时，同理可求 ( )g x在(,0) 内的“和谐区间”为 2, 1 1,23, ( ) 2, 13, h xx xx x 8 分 依题意，抛物线 2 yxm与函数( ) h x的图象有两个交点时，一个交点在第一象限， 一个交点在第三象限 因此，m 应当使方程 2 3xmx 在1,2内恰有一个实数根，并且使方程 2 3xmx ，在 2, 1 内恰有一个实数. 由方程 2 3xmx ，即 2 30 xxm在1,2内恰有一根， 令 2 ( )3F xxxm，则 (1)10 (2)30 Fm Fm ，解得31m ； 由方程 2 3xmx ，即 2 30 xxm在 2, 1 内恰有一根， 令 2 ( )3G xxxm，则 ( 1)30 ( 2)50 Gm Gm ，解得53m . 综上可知，实数 m 的取值集合为 3 12 分 （用图象法解答也相应给分）
