1、青白江区“零点五诊”数学（理科）考试题第 1 页（共 4页） 青白江区高青白江区高 20182018 级级“零点五诊零点五诊”检测检测 数数学学( (理理科科) ) 本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。 注意事项：注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，若需改动，用橡皮擦擦干净后， 再选择其它答案标号。 3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5.考试结
2、束后，只将答题卡交回。 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的 1设集合 A=1，3，5，7，B=x|2x5，则 AB= A3，5B(3，5)C3，4，5D3，5 2在复平面内，复数 2 1 i i (i为复数单位)对应的点在 A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 3下图为某地区 2007 年2019 年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图 根据该折线图，下列结论正确的是 A财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余
3、额均呈增长趋势 B财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同 C财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量 D城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大 4二次项 6 1 x x 的展开式中常数项为 A5B10C15D20 青白江区“零点五诊”数学（理科）考试题第 2 页（共 4页） 5已知x、y满足的约束条件 0 230 0 x xy y ，则 22 xy 的最小值为 A 3 5 5 B 2 5 5 C 3 D 5 6数列 n a是等差数列， 1 1a ，且 125 ,a a a构成公比为 q 的等比数列，则q A1 或 3B0 或 2C3D2 7 双
4、曲线 C: 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为 F(3， 0)， 且点 F 到双曲线 C 的一条渐近线的距离为 1， 则双曲线 C 的离心率为 A 2 B 3 2 4 C 2 3 3 D2 3 8在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，点 M 是棱 AD 上一动点，则下列选项中不正确的是 A异面直线 1 AD与 1 AB所成的角的大小 3 B直线 1 AM与平面 11 BBCC一定平行 C三棱锥 1 BBCM的体积为定值 4 D 1 ABD M 9已知函数( )21 x f xex（其中e为自然对数的底数） ，则( )yf x图象大致为 ABCD 10若函数
5、 2 ( )f xax与函数( )lng xx存在公共点P m n,，并且在P m n,处具有公共切线，则 实数a A 1 e B 2 e C 1 2e D 3 2e 11.在正项等比数列 n a中， 1 1a ，前三项的和为 7，若存在,m nN 使得 1 4 mn a aa，则 19 mn 的最小值为 A 2 3 B 4 3 C 8 3 D 11 4 12已知定义在R上的函数 fx满足 12f，对任意的实数 1 x， 2 x且 12 xx， 12 f xf x 12 xx，则不等式1f xx的解集为 A, 2 B, 11, C( ) 2,+D, 22, 青白江区“零点五诊”数学（理科）考试
6、题第 3 页（共 4页） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 13已知a 、b 为单位向量，a ，b = 3 ，则2ab _ 14已知 2 5 4a ， 1 3 25b ， 4 3 2c ，将 a，b，c 从小到大排序为_ 15已知圆柱的高为2 5，侧面积为8 5，它的两个底面的圆周在球心为 O，半径为 R 的同一个球的 球面上，则该球 O 的表面积为_ 16.已知有相同焦点 1 F、 2 F的椭圆和双曲线交于点 P， 12 | |POFF， 椭圆和双曲线的离心率分别是 1 e、 2 e，那么 22 12 11 ee _
7、（点 O 为坐标原点） 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17172121 题为必考题，每个试题考题为必考题，每个试题考 生都必须作答，第生都必须作答，第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分分 17 （本小题满分 12 分） 改革开放以来，中国快递行业持续快速发展，快递业务量从上世纪 80 年代的 153 万件提升到 2018 年 的 507.1 亿件，快递行业的发展也给我们的生活带来了很大便利.已知某市某
8、快递点的收费标准为:首重(重 量小于等于 1kg)收费 10 元，续重 5 元/kg(不足 1kg 按 1kg 算). (如:一个包裹重量为 2.5kg，则需支付首付 10 元，续重 10 元，一共 20 元快递费用) （1）若你有三件礼物 A,B,C 重量分别为 0.4kg,1.2kg,1.9kg，要将三个礼物分成两个包裹寄出(如:A,B 合为一个包裹，C 一个包裹)，那么如何分配礼物，使得你花费的快递费最少？ （2）为了解该快递点 2019 年的揽件情况，在 2019 年内随机抽查了 30 天的日揽收包裹数(单位:件)， 得到如下表格: 包裹数(单位:件)(0,100(100,200(20
9、0,300(300,400 天数(天)81282 现用这 30 天的日揽收包裹数估计该快递点 2019 年的日揽收包裏数.若从 2019 年任取 4 天，记这 4 天 中日揽收包裹数超过 200 件的天数为随机变量 X，求 X 的分布列和期望. 18 （本小题满分 12 分） 在三角形ABC中， 内角A、 B、 C 对应的边分别为a、b、c， 已知coscos2bCcB， 3 sin 2 bCa （1）求ABC 的面积； （2）若 :3:1b c ，求角 A 的大小 19 （本小题满分 12 分） 青白江区“零点五诊”数学（理科）考试题第 4 页（共 4页） 如图甲，在直角梯形 ABCD 中，
10、ABCD，ABBC，CD=2AB=2BC=4，过 A 点作 AECD，垂足为 E， 现将ADE 沿 AE 折叠，使得 DEEC取 AD 的中点 F，连接 BF，CF，EF，如图乙 （1）求证:BC平面 DEC； （2）求二面角 C-BF-E 的余弦值. 20 （本小题满分 12 分） 已知函数( )1 lnf xaxx （aR） （1）讨论函数( )f x在定义域内的极值点的个数； （2）若函数( )f x在1x 处取得极值，x （0，） ，( )2f xbx恒成立，求实数b的最大值 21 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 2 2 C:1 2 x y的右焦点为 F，直线2lx ：被称作为椭圆
11、 C 的一条准线，点 P 在椭圆 C 上(异 于椭圆左、右顶点)，过点 P 作直线:m ykxt与椭圆 C 相切，且与直线l相交于点 Q. （1）求证：PFQF； （2）若点 P 在 x 轴的上方，当PQF 的面积最小时，求直线 m 的斜率 k 的平方. （二（二）选考题选考题：共共 1010 分分，请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答 如果多做如果多做，则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分 作答作答 时时，用用 2B2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. . 22 （本小题满分 10 分）选修 44：坐标
12、系与参数方程 在平面直角坐标系0 x y中，曲线 C 的方程为 1 cos sin x y (为参数，且 (0, ) )，若点 M 为曲线 C 上的动点，直线 OM 交直线2x 于点 P.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）写出曲线 C 的极坐标方程及点 P 轨迹的极坐标方程； （2）当PM3时，求点 P 的极坐标. 23 （本小题满分 12 分）选修 45：不等式选讲 设函数 11fxxx 的最大值为 M. （1）求 M 的值； （2）设正数, ,a b c满足Mabc ，求证: 4 3 abacbc. 青白江区“零点五诊”数学（理科）答案第 1 页（共 7页） 青白
13、江区高 2018 级“零点五诊”检测 数学（理科）参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 123456789101112 ADDDAABCCCDC 11.由 2 60qq，解得2q =(舍负)，又由 1 4 mn a aa，得6mn，所以 19 mn 1198 () 63 mn mn ， 当且仅当 3 2 m ， 9 2 n 时， 等号成立， 但是 m， * nN ， 故2m ， 4n 时，最小值为 11 4 ，故选 D 12.解：设 1F xf xx，则11F xf xx， 111 10Ff ， 对任意的 1 x， 2 x且 12 xx， 1212 f xf
14、xxx， 得 1122 11f xxf xx ， 即 12 F xF x，所以 F x在R上是增函数， 不等式1f xx即为 11F xF，所以11x ，2x . 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.714.acb 15.3616. 5 16.设椭圆的长半周长为 1 a，双曲线的实半轴长为 2 a，它们的半焦距都为c， 并设 12 ,PFm PFn，根据椭圆的定义和双曲线的定义可得 12 2 ,2mna mna，在 1 POF中，由余弦定理得 222 1111 2cosPFOFOPOF OPPOF，即 222 1 422 cosmccccPOF 在 2 POF中，
15、由余弦定理得 222 2222 2cosPFOFOPOF OPPOF， 即 222 1 422 cosnccccPOF.由 12 POFPOF,两式相加，则 222 10mnc .又由 2 2222 12 222mnmnmnaa，所以 222222 1212 22105aacaac，所以 22 12 22 5 aa cc ，即 22 12 11 5 ee . 三、解答题：共 70 分，第 1721 题为必考题，第 22、23 题为选考题 青白江区“零点五诊”数学（理科）答案第 2 页（共 7页） 17 （12 分） 解： （1）A,B 一个包裹，C 一个包裹时，需花费 15+15=30(元)1
16、 分 A,B 一个包裹，B 一个包裹时，需花费 20+15=35(元)2 分 B,C 一个包裹，A 一个包裹时，需花费 25+10=35(元)3 分 综上，A,B 一个包裹，C 一个包裹时花费的运费最少，为 30 元.4 分 （2）由题意知，每日揽包裹数超过 200 件的概率为 1 3 .5 分 X 可取 1 0,1,2,3,4,4, 3 XB .6 分 则 X 的分布列为 11分 14 4 33 E X 这 4 天中日揽收包裹数超过 200 件的天数期望为 4 3 .12 分 18 （12 分） 解： （1）coscos2bCcB， 222222 2 22 abcacb bc abac 2分
17、 解得：2a 3 分 又 3 sin3 2 bCa 11 sin233 22 ABC SabC 5 分 （2） 由（1）和余弦定理可得: 22 3 2cos4 1 sin3 2 bc bcbcA bcA 7 分 X01234 P 16 81 32 81 8 27 8 81 1 81 青白江区“零点五诊”数学（理科）答案第 3 页（共 7页） 化简得： 2 2 sin2 23cos2 cA cA 消去c，可得sin 3cos2AA 9 分 即sin1 3 A 10 分 0,A 32 A 解得： 6 A 12 分 19.（12 分） （1）证明：在图甲中，直角梯形ABCD中，/AB CD，ABBC
18、 BCCD1 分 AECD/BC AE2 分 在图乙中，AECE，AEDE，又CEDEE AE 平面DCE3 分 /BC AE BC 平面DCE；4 分 （2）解：224CDABBC =ABCEDE BC 2 5 分 又ABCE，ABBC 四边形ABCE是正方形6 分 建立如图所示的空间坐标系 E-xyz. 则 C(0，2，0)，B(2，2，0)，D(0，0，2)，A(2，0，0)，F(1，0，1).7 分 (1EF,0,1) uur ， (2EB,2,0) uur ， (1, 2, )CF- 1 uur ， (2CB,0,0) uur 8 分 设平面 EFB 的法向量 1111 ( ,)nx
19、 y z ur ，则有 11 11 0 +0 xz xy 取 1 1x ， 得平面 EFB 的一个法向量 1 (1,-1,-1)n ur 9 分 设平面 BCF 的法向量为 2222 (,)nxyz ，则有 2 222 0 20 x xyz 取 2 1y ， 得平面 BCF 的一个法向量 2 (0,1,2)n 10 分 青白江区“零点五诊”数学（理科）答案第 4 页（共 7页） 12 12 12 1 215 cos 553 n n n n nn ， ur uu r ur uu r uruu r 11 分 由题意二面角 C-BF-E 为锐角 二面角C-BF-E的余弦值为 15 5 12分 20.
20、（12 分） 解： （1）由题知， fx的定义域为（0，） ， 11ax fxa xx .1 分 当0a 时， 0fx 在（0，）上恒成立. 函数 fx在（0，）上单调递减. fx在（0，）上没有极值点.3 分 当0a 时，由 0fx ，得 1 0 x a ；由 0fx ，得 1 x a . fx在（0， 1 a ）上递减，在（ 1 a ，）上递增 即 fx在 1 x a 处有极小值.5分 综上，当0a 时， fx在（0，）上没有极值点； 当0a 时， fx在（0，）上有一个极值点.6 分 （2）函数 fx在1x 处取得极值， 110fa ，则1a ，从而 1 lnf xxx .7 分 2fx
21、bx恒成立 1ln 1 x b xx 恒成立.8 分 令 1ln 1 x g x xx ，则 2 ln2x gx x 9 分 令 0gx ，得 2 xe . 则 g x在（0， 2 e）上递减，在（ 2 e，）上递增. 10 分 2 2min 1 e1 e g xg 11 分 即 2 1 1 e b . 青白江区“零点五诊”数学（理科）答案第 5 页（共 7页） 故实数b的最大值是 2 1 1 e .12 分 21.（12 分） （1）证明：由题意得,点 F 的坐标为（1，0） ，设 P（x0,y0). 由 2 2 1 2 x y ykxt ， 得 222 214220kxktxt1 分 直线
22、m与椭圆 C 相切 2 222 164 21220k tkt 即 22 21tk 2分 0 22 222 21 ktktk x ktt ， 2 0 22 21 2121 k tt yt kkt . 即点 P 的坐标为 21 , k tt .3 分 当2x 时，可求得点 Q 的坐标为(2,2)kt， 2121 FP1, kkt tttt ，FQ(1,2)kt .4 分 22 FP FQ0 ktkt tt 故 PFQF.5 分 （2）解：点 P 在x轴上方， 22 21tk 1t 由（1）知 2 (2)1 |FP| kt t ； 2 |FQ|(2)1kt 6 分 PFQF 2 PQF 1(2)1
23、| | 22 kt SFPFQ t 2 34131 2 222 tktt k tt 7分 当0k 时，由（1）知 2 1 2 t k ， 2 PQF 31 21 22 t St t 函数 2 31 ( )21(1) 22 t f ttt t 单调递增 PQF (1)1Sf .8 分 青白江区“零点五诊”数学（理科）答案第 6 页（共 7页） 当k0时，由（1）知 2 2 PQF 131 ,21 222 tt kSt t 令 2 31 ( )21(1) 22 t g ttt t 则 2 22 22 321312 ( ) 222 11 ttt g t tt tt 9 分 由 2 2 22 2262
24、 22 2 4 4 42 31 3122351 24141 1 t tttttt ttttt t 4 4 222 22 422 1(25)(25)141 4 (1)41 ttttt ttt t t 10分 当 25t 时， ( ) 0g t ，此时函数( )g t单调递增； 当1 25t 时，( )0g t ，此时函数g( ) t单调递减. 函数( )g t即 PQF S 的最小值 ( 25)g(1)1g. 11 分 此时， 22 2521tk ，解得 2 51 2 k . 综上，当PQF的面积最小时，直线m的斜率的平方为 51 2 .12 分 22 【选修 44：坐标系与参数方程】 （10
25、分） 解: （1）由题意知，曲线 C 的普通方程为 2 2 110 xyy.1 分 C 的极坐标方程为 2cos(0,) 2 2 分 又点 P 的普通方程为20 xy， 点P轨迹的极坐标方程为cos2,)(0 2 .4分 （2）设点 M 10 , ，点 P 20 (,) ， 则 102 0 2 2cos cos ， 由PM3可得 21 3， 即 0 0 2 2cos3 cos .6 分 0 0, 2 00 1 cos, 23 8分 青白江区“零点五诊”数学（理科）答案第 7 页（共 7页） 2 2 4 cos 3 ，故点P的极坐标为4, 3 .10 分 23 【选修 45：不等式选讲】 （10 分） （1）解:由题意知， 2,1, 2 , 11, 2,1, x f xxx x 2 分 即当1x 时， fx=2； 当11x 时， 22f x ；4 分 当1x 时， fx=2 当1x 时， fx有最大值M2.5 分 （2）证明:02abc ， 2 4abc，6 分 222 24abcabacbc7 分 又由柯西（或基本）不等式知 222 abcabacbc 8 分 34,abacbc 4 3 abacbc.10分
