1、第5章 平面与立体表面相交5.1 平面立体的截交线5.2 回转体的截交线如图5-1所示，平面与立体表面相交，就会在立体表面产生交线，为了清楚表达立体的形状，这些交线的投影需要正确画出。这里，将切割立体的平面称为截平面，截平面与立体表面的交线称为截交线，由截交线所围成的平面图形称为断面(ABCD)。图5-1 平面与立体表面相交5.1 平面立体的截交线5.1.1 概述1.平面立体截交线的性质(1)平面立体截交线是截平面与平面立体表面的共有线，截交线上的点是截平面与立体表面的共有点，即构成截交线的点与线，既属于截平面，也属于立体表面。(2)平面立体截交线是由直线围成的平面多边形，多边形的边数取决于平
2、面立体自身的性质及截平面与立体的相对位置。多边形的边，就是截平面与立体表面的交线；多边形的顶点，就是截平面与立体上棱线的交点。3)求平面立体的截交线，可归结为求截平面与立体表面的交线，而求交线又可转化为求截平面与立体上棱线的交点问题。2.求平面立体截交线的方法和步骤(1)空间情况和投影分析。(2)作图方法。5.1.2 作图举例【例5-1】如图5-2(a)所示，已知被平面P切割的六棱柱的主视图，补画它的左视图并完成俯视图。图5-2 完成六棱柱被切割后的三视图【解】应首先补画出完整六棱柱的左视图(图5-2(b)，然后再逐步画出截交线的投影。(1)空间情况和投影分析。(2)作图方法。补画六棱柱的左视
3、图。求截交线上的点。判断可见性，完成截交线和棱线的投影。【例5-2】如图5-3(a)所示，已知四棱锥被正垂面P切割后的主视图，完成俯视图，并画出左视图。(主视图中用双点画线画出了四棱锥被截去棱线的投影，俯视图中用双点画线画出了完整棱线的投影。)【解】(1)空间情况和投影分析。(2)作图方法。作出完整四棱锥的左视图(可能变化的棱线用双点画线表示)，如图5-3(b)所示。作截交线四边形的投影。完成棱线的投影。图5-3 四棱锥被一个平面切割【例5-3】如图5-4(a)所示，试完成四棱锥被截平面P和Q切割后的三视图。【解】一个平面立体被组合的几个截平面切割时，一般应逐个分析每个截平面切割所产生的截交线
4、，再分析几个截平面之间所产生的交线，最终完成作图。(1)空间情况和投影分析。(2)作图方法。图5-4 四棱锥被两个平面切割【例5-4】如图5-5(a)所示，已知一个缺口三棱锥的主视图，试完成它的俯视图和左视图。【解】(1)空间情况和投影分析，分析方法同前例。(2)作图方法。求截交线上各点投影。判断截交线的可见性，连接截交线上各点。画出棱线投影，完成作图。图5-5 缺口三棱锥的三视图 5.2 回转体的截交线5.2.1 概述在一些零件上，平面与回转体表面相交所产生的截交线是经常见到的，如图5-6所示。图5-6 平面与回转体表面相交图例1回转体截交线的性质(1)回转体的截交线是截平面与回转体表面的共
5、有线，截交线上的点是截平面与回转体表面的共有点，即构成截交线的点和线，既属于截平面，也属于回转体表面。(2)截交线的形状取决于回转体自身的形状和截平面与回转体的相对位置。回转体的截交线可为封闭的平面曲线、直线、曲线与直线、直线与直线组成的封闭平面图形。2求回转体截交线的方法和步骤求回转体的截交线，即求截平面与回转体表面的交线。截交线即属于截平面，又属于回转体表面，而属于回转体表面的截交线本身又是由回转体表面的某些点组成的，因此求截交线归根结底还是在回转体表面取点(属于截交线上的点)的问题。(1)空间情况和投影分析。(2)作图方法。5.2.2 圆柱体的截交线平面切割圆柱体表面产生的截交线，据截平
6、面与圆柱体轴线的位置不同，有以下三种情况(见表5-1)：(1)当截平面平行于圆柱体轴线切割时，截平面与圆柱面及上、下底面相交，截交线为平行于圆柱体轴线的矩形(平行于圆柱体轴线的两条素线和截平面与上、下底面相交的两条交线所构成的矩形)。(2)当截平面垂直于圆柱体轴线切割时，截平面与圆柱面相交，截交线为垂直于圆柱体轴线的圆。(3)当截平面倾斜于圆柱体轴线切割时，截平面与圆柱面斜交，截交线为倾斜于圆柱体轴线的椭圆。【例5-5】如图5-7(a)所示，已知圆柱体被切割后的主视图和左视图，补画出俯视图。【解】因两个截平面P和Q都没有完全切割圆柱体，故可利用“截平面扩展法”，先逐个分析截平面扩大后与圆柱体表
7、面相交的截交线形式，然后再考虑由于两个截平面的相互影响，使得完整的截交线只剩下某一部分的情况，这样有助于截交线形状的分析和判断。(1)空间情况和投影分析。(2)作图方法。图5-7 求作圆柱体被切割后的俯视图【例5-6】如图5-8(a)所示，已知被切槽圆柱体的主视图和左视图，求作俯视图。【解】本例中的截平面形式和截交线分析与例5-5相似，不同的是，本例是由上下对称的水平面P和侧垂面Q共同在圆柱体上开了一个方槽。(1)空间情况和投影分析。(2)作图方法。求截交线和截平面P、Q交线的投影。整理轮廓线，判断可见性。图5-8 求作圆柱体被切槽后的俯视图【例5-7】如图5-9(a)所示，已知被切槽圆柱筒的
8、主视图和左视图，求作俯视图。【解】(1)空间情况和投影分析。本例与例5-6的区别仅在于所切割的立体是圆柱筒，因此截交线分析方法类似，不再重复。只是在分析和求作截交线时，可先考虑截平面切割圆柱体，再考虑切割圆柱孔。(2)作图方法。在画出完整的俯视图后，求作截平面P、Q切割圆柱体的完整截交线(见图5-9(b)、(c)。求作截平面P、Q切割圆柱孔的截交线(见图5-9(d)。判断可见性，整理转向轮廓线，完成作图(见图5-9(e)。图5-9 求作圆柱筒被切槽后的俯视图【例5-8】如图5-10(a)所示，根据斜截圆柱体的主视图和俯视图，补画出左视图。【解】(1)空间情况和投影分析。(2)作图方法。求特殊点
9、(见图5-10(c)。求一般点(见图5-10(d)。判断可见性，连接截交线上的点(见图5-10(e)。整理外轮廓线(见图5-10(e)。图5-10 作出斜截圆柱体的左视图【例5-9】如图5-11(a)所示，根据立体的主视图和左视图，补画出俯视图(用细实线画出了完整俯视图的轮廓线)。【解】(1)空间情况和投影分析。(2)作图方法。求圆柱被水平面P切割后产生矩形截交线的水平投影。求圆柱被正垂面Q切割产生部分椭圆截交线的水平投影。整理俯视图上的轮廓线。图5-11 作出圆柱被切割后的俯视图【例5-10】如图5-12(a)所示，根据圆柱筒被切割后的主视图和左视图，补画出俯视图。【解】(1)空间情况和投影
10、分析。(2)作图方法。在画出完整的俯视图后，求作截平面P、Q切割圆柱体的完整截交线(见图5-12(b)、(c)。求作截平面P、Q切割圆柱孔的截交线(见图5-12(d)。整理转向轮廓线，完成作图(见图5-12(e)。图5-12 作出圆柱筒被切割后的俯视图5.2.3 圆锥体的截交线平面与圆锥表面的截交线据截平面与圆锥轴线的位置不同，有五种形式：相交两直线(三角形)、圆、椭圆、抛物线、双曲线，见表5-2。【例5-11】如图5-13(a)所示，完成圆锥体被正垂面切割后的俯视图，补画左视图。图5-13 完成圆锥体被正垂面切割后的三视图【解】(1)空间情况和投影分析。(2)作图方法。求特殊点(见图5-13
11、(b)、(c)。求一般点。连接截交线椭圆上的各点，整理左视图上的外轮廓线，完成作图。【例5-12】如图5-14(a)所示，圆锥体被平行于轴线的正平面P切割，完成截交线的正面投影。【解】(1)空间情况和投影分析。(2)作图方法(见图5-14(b)、(c)。求特殊点。求一般点：因为截交线的水平投影已知，故可在俯视图上取点。用曲线依次连接各点的正面投影，完成作图。圆锥对正面的转向轮廓线未被切到，因此是完整的。图5-14 圆锥被平行于轴线的正平面切割的截交线画法【例5-13】如图5-15(a)所示，完成圆锥体被平面P和Q切割后的俯视图和左视图。【解】(1)空间情况和投影分析。(2)作图方法。求截交线的
12、水平投影和侧面投影。判断可见性，整理轮廓线，完成作图。图5-15 完成圆锥体被平面P、Q切割后的俯视图和左视图5.2.4 圆球的截交线平面与圆球相交，不论截平面处于何种位置，其截交线的实形总是圆。当截平面平行于投影面时，截交线为投影面平行圆；当截平面为投影面垂直面时，截交线的一个投影为直线，其余投影为椭圆。【例5-14】如图5-16(a)所示，求圆球被平面P、Q切割后的俯视图和左视图。【解】因为截平面P和Q分别为侧平面和水平面，因此截交线分别为侧平圆和水平圆，根据截交线圆的半径即可作出截交线的投影。作图方法和过程如图5-16(b)所示。图5-16 投影面平行面切割圆球的截交线画法【例5-15】
13、如图5-17(a)所示，已知半球被切割方槽后的主视图，试作出它的俯视图和左视图。【解】(1)空间情况和投影分析(见图5-17(a)。(2)作图方法。完成平面P产生截交线圆(水平圆)的投影(图5-17(b)。完成侧平面Q产生截交线的投影(见图5-17(c)。考虑P、Q的相互影响，确定两组截交线的范围，并判断可见性。作图结果如图5-17(d)所示。图5-17 补画半球切割方槽后的俯视图和左视图【例5-16】如图5-18(a)所示，完成圆球被正垂面P切割后的俯视图和左视图。【解】(1)空间情况和投影分析。(2)作图方法。求作特殊点(图5-18(b)、(c)。求一般点。判断可见性，完成作图。图5-18
14、 完成圆球被正垂面切割后的俯视图和左视图5.2.5 组合回转体的截交线【例5-17】如图5-19(a)所示，一个由同轴的圆柱、圆锥、圆环(内环面)和球构成的组合回转体被截平面P切割，补全该组合回转体被切割后的主视图。【解】(1)空间情况和投影分析。(2)作图方法。求各段截交线。连接截交线上的点。补全图线，完成作图。图5-19 组合回转体截交线的画法(一)【例5-18】如图5-20(a)所示，一个由同轴的圆锥、圆柱构成的组合回转体被四个平面P、Q、R、S截切，画出这个组合回转体被切割后的俯视图，并补全左视图。【解】对于这类问题，应先将组合回转体分解为单个回转体，画出截平面与单个回转体相交的截交线，从而得到整个组合回转体的截交线，然后考虑各回转体之间的交线问题。(1)空间情况和投影分析。图5-20 组合回转体截交线的画法(二)(2)作图方法(见图5-20(b)、(c)。求各段截交线。连接截交线上的点。作出截平面间的交线和两回转体之间的交线，整理转向轮廓线，完成作图。
