1、第 5 章大数定律和中心极限定理第一节知识梳理第一节知识梳理第二节重点解析第二节重点解析第三节典型例题第三节典型例题第四节习题全解第四节习题全解第一节第一节 知知 识识 梳梳 理理 第二节第二节 重重 点点 解解 析析1.大数定律1)切比雪夫不等式定理：设随机变量X的均值E(X)及方差D(X)都存在，则对于任意给定的0，有不等式成立，称上式为切比雪夫不等式。2()D XP XE X2()1D XP XE X 或2)切比雪夫大数定律定理：设相互独立的随机变量序列X1，X2，Xn，分别具有均值E(X1)，E(X2)，E(Xn)，及方差D(X1)，D(X2)，D(Xn)，若存在常数C，使D(Xk)C
2、(k=1，2，)，则对于任意给定的0，有1111lim1nnkknkkPXE Xnn3)伯努利大数定律与辛钦大数定律定理1：设m是n次独立重复伯努利试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意给定的0，有lim1nmPpn定理2：（辛钦大数定律）设相互独立的随机变量序列X1，X2，Xn，有相同的分布，且E(Xk)=(k=1，2，)存在，则对于任意给定的0，有11lim1nkknXnP2.中心极限定理定理1：（林德贝格勒维中心极限定理）设相互独立的随机变量序列X1，X2，Xn，服从同一分布，且E(Xk)=，D(Xk)=20(k=1，2，)，则对于任意x，随机变量序列的分布
3、函数Fn(x)在n时趋于标准正态分布函数，即有nnXYnkkn1 2121limlimed2ntkxknnnXnFxPxtn定理2：（棣莫弗拉普拉斯中心极限定理）设mA表示n次独立重复伯努利试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率,则对于任意区间(a，b，恒有221limed21tbAanmnpP abtnpp第三节第三节 典典 型型 例例 题题【例5.1】设随机变量X与Y的数学期望分别为2和2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，根据切比雪夫不等式估计P|X+Y|6。解 由题意知E(X)=2，E(Y)=2，D(X)=1，D(Y)=4，XY=0.5所以E(X+Y)=E(X)+
4、E(Y)=0 2XYD XYD XD YD XD Y1 420.51 23 故2316612PXY【例5.2】设在n次伯努利试验中，每次试验事件A出现的概率均为0.7，要使事件A出现的频率在0.680.72之间的概率不少于0.90，问至少要进行多少次试验？（1）用切比雪夫不等式估计；（2）用中心极限定理计算。解 （1）因为20.7 0.30.680.720.70.0210.900.02nnnPPnn 所以n5250。（2）因为0.720.700.680.700.680.720.7 0.30.7 0.3nPnnn0.02210.900.21 n 所以n1412.04。【例5.3】抽样检查产品质量
5、时，如果发现有多于10个的次品，则拒绝接受这批产品。设某批产品的次品率为10%，问至少应抽取多少个产品检查，才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9？解 令X=发现的次品数，则Xb(n，0.1),所以PX10=0.9,即100.111010.90.1 0.9nP Xn 亦即100.10.10.1 0.9nn查表得100.11.280.1 0.9nn 解以上方程得n147【例5.4】计算器在进行加法时，将每一加数舍入最靠近它的整数,设所有舍入误差是独立的，且在(0.5，0.5)上服从均匀分布。（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）最多可有几个数相加使得误差总和的
6、绝对值小于10的概率不小于0.90？解 设每个加数的舍入误差为Xi，由题设知Xi独立同分布，且XiU(0.5，0.5)，因此，可利用独立同分布的中心极限定理，即林德贝格勒维中心极限定理，来进行近似计算。令Xi同上所设，由于XiU(0.5，0.5),从而20.50.511212iD X0iE X，（1）记X为将1500个数相加的误差总和，则有，从而由林德贝格勒维中心极限定理知近似地服从N(0，1)，故15001iiXX1500 01150012X 15115PXPX 1515112525125XP 11.341.34 221.340.1802即误差总和的绝对值超过15的概率约为0.1802。【例
7、5.5】有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3 m，现在从这批木柱中随机地取100根，求其中至少有30根短于3 m的概率。解 记X为被抽取的100根木柱长度短于3 m的根数，则Xb(100，0.2)。于是由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理得3030P XPX 30 100 0.2100 0.2100 0.2100 0.2 0.8100 0.2 0.8100 0.2 0.8XP 302012.516 1 0.99380.0062【例5.6】设某种器件使用寿命（单位：小时）服从指数分布，平均使用寿命为20小时，具体使用时是当一器件损坏后立即更换一新器件，如此继续，已知每一器件的进价为a元，试求
8、在年计中应为此器件作多少元预算，才可以有95%的把握保证一年够用（假定一年的工作时间为2000小时）。解 设第i个器件的使用寿命为Xi，由于Xi服从参数为的指数分布，且E(Xi)=20，所以，从而12021400iD X20iE X，由林德贝格勒维中心极限定理知200012000nnP YP Y 2020002012020nYnnPnn 20002010.9520nn 故1000.95nn查表得1001.64nn即n118因此每年应为此器件至少作出118a元的预算，才能有95的把握保证一年够用。第四节第四节 习习 题题 全全 解解5.1 （1）设随机变量序列X1，X2，Xn，是相互独立的，对于
9、每一个固定的n，Xn的分布律为试证明随机变量序列X1，X2，Xn，服从大数定律。（2）设随机变量序列X1，X2，Xn，独立同分布，且E(Xk)=，D(Xk)=20(k=1，2，)，试证明随机变量序列Yn依概率收敛。121nnkkYkXn n证明 （1）因为2121222012220nnnnnnE X 2221212222201 2221nnnnnnE X 所以221nnnD XE XE X由于该随机变量序列相互独立，且期望与方差均存在，满足切比雪夫大数定律的条件。由切比雪夫大数定律知,对于任意0有111111limlim01nnnkkknnkkkPXE XPXnnn取常数列an=0，则有11l
10、im1nknnkPXan（2）因为112211nnnkkkkE YEkXkE Xn nn n1122112nknnkn nn n2222112211nnnkkkkD YDkXk D Xn nnn22221212 2126311n nnnn nnn由切比雪夫不等式得2222 2131nnnnD YnP YE YP Yn n而，同时P|Yn|0,所以222 21lim031nnn nlim0nnP Y 即lim1nnP Y5.2 设随机变量服从参数为2的泊松分布，用切比雪夫不等式估计P|X2|4。解 由随机变量服从参数为2的泊松分布可知E(X)=2，D(X)=2，所以22441427 10.875
11、168D XP XP XE X 5.3 设随机变量X1，X2，X100独立同分布，E(Xk)=，D(Xk)=16，求P|X|1。解 由林德贝格勒维中心极限定理可得10010011111100100100kkkkP XPXPX100100111001001002.52.5100 16100 16100 16kkkkXXPP2.52.522.512 0.9938 10.9876 5.4 K.皮尔逊掷均匀硬币12 000次，求出现正面的频率与0.5的差不超过0.01的概率。解 设在12 000次中正面的次数为X，则Xb(12 000，)。由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理可得12110.011200012
12、000 0.011200022XPPX11120001200012000 0.012222303055111111120001200012000222222XXPP2223030230155522.1912 0.9857 10.9714 5.5 假设生男孩的概率为0.515，某医院今年共出生500个新生婴儿，求该医院今年出生的新生婴儿中男婴人数多于女婴人数的概率。解 设新生婴儿中男婴人数为X，则Xb(500，0.515)，E(X)=257.5，D(X)=124.8875P男婴人数多于女婴人数=PX250=1PX250由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理可得257.5250257.512501124.8
13、875124.8875XP XP 250257.5110.67124.88750.670.7486 5.6 某车间有同型车床200台，假设每台开动的概率为0.7，且开关是相互独立的，开动每台的耗电量为15 kW，试问最少需耗多少电力，才能以95%的把握满足该车间生产？解 设同时开动的机器数为X，则Xb(200，0.7)，E(X)=140，D(X)=42设至少需电力为Y kW，则根据题目要求有P15XY=0.95即0.9515YP X由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理可得140140140151515424242YYYXP XP而(1.65)=0.95,所以由140151.6542Y得 Y=2260.
14、4 kW 5.7 根据经验，某一门课程考试中学生的得分的期望值为75分，方差为25。（1）从试卷中任取一份，其成绩超过80分的概率为多少？（2）从试卷中任取一份，其成绩为6585分的概率为多少？解 设学生得分为X，由题意知X近似服从N(75，25)分布。（1）80758018015 111 0.8417 0.1587P XP X （2）85756575658555 22221PX2 0.9772 10.9544 5.8 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查的100个索赔户中因盗窃而向保险公司索赔的户数。（1）写出X的概率分布；（2）求被盗索赔户不少于1
15、4户且不多于30户的概率的近似值。解 （1）由题意知Xb(100，0.2)，故PX=k=Ck100(0.2)k(0.8)100k （k=0，1，2，100）（2）由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理可得14301430E XXE XE XPXPD XD XD X3014302014201616E XE XD XD X2.51.52.51.510.99380.9332 10.9270 5.9 独立地测量一个物理量，每次测量所产生的随机误差都服从(1，1)上的均匀分布。（1）如果将n次测量的算术平均值作为测量结果，求它与真值的绝对误差小于一个小的正数的概率；（2）计算当n=36，=1/6时的概率近似值；（
16、3）要使（1）中的概率不小于0.95，且误差不超过1/6应至少进行多少次测量？解 设该物理量真值为，第i次测量的随机误差为Xi，则XiU(1，1)，且第i次测量结果为+Xi，E(Xi)=0，。13iD X（1）由林德贝格勒维中心极限定理可得11111nnniiiiiiPXPXPnXnnn1000111333niiXnnnnnPnnn 2311133nnnnn（2）当n=36，时，有1636111123 3613666iiPX21.7312 0.9582 10.91645.10 某打靶场根据以往经验，得10分的概率为0.4，得9分的概率为0.3，得8分的概率为0.2，得7分和6分的概率都为0.0
17、5，现射击500次。求：（1）总分多于4500分的概率；（2）总分介于44004500分之间的概率。解 设第k次射击的分数为Xk，则Xk的分布律为所以（1）由林德贝格勒维中心极限定理可得50050011450014500kkkkPXPX 5001500 8.954500500 8.9515001.24755001.2475kkXP 4500500 8.951115001.2475 1 0.84130.1587（2）由林德贝格勒维中心极限定理可得500144004500kkPX5001500 8.954400500 8.954500500 8.955001.24755001.24755001.2475kkXP4500500 8.954400500 8.955001.24755001.2475 131310.84130.9987 10.84
