1、第 7 章参 数 估 计第一节知识梳理第一节知识梳理第二节重点解析第二节重点解析第三节典型例题第三节典型例题第四节习题全解第四节习题全解 第一节第一节 知知 识识 梳梳 理理 第二节第二节 重重 点点 解解 析析1.点估计及其求法1)点估计的概念定义：设总体 X 的分布中含有未知参数，且X1，X2，Xn是来自总体X的一个样本，x1，x2，xn是相应的一个样本值。若构造一个适当的统计量 (X1，X2，Xn)，用其观测值 (x1，x2，xn)作为的近似值，则称 (X1,X2,，Xn)是的一个估计量，并称(x1，x2，xn)是的一个估计值。的估计量与估计值统称估计，并都简记为 。2)矩估计法定义：设
2、总体X的分布中仅含有 l 个未知参数1，2，l，且X1，X2，Xn是来自总体X的一个样本。若X的前l阶原点矩ak=E(Xk)(k=1，2，l)存在，则ak=E(Xk)(k=1，2，l)均为未知参数1，2，l的函数，记ak=E(Xk)=ak(1，2，l)(k=1，2，l)根据矩估计法的基本思想，以样本的前l阶原点矩Ak(k=1，2，l)分别作为总体前l阶原点矩ak(k=1，2，l)的估计量，建立方程组1121212212,lllllaAaAaA 这是一个包含未知参数1，2，l的联立方程组，称为矩方程组。从矩方程组中可以解出1，2，l。如果矩方程组有唯一的一组解111211222122121212
3、,(,),lnlnllllnA AAXXXA AAXXXA AAXXX 3)最大似然估计法（1）离散型总体情形。设离散型总体X的分布律为PX=x=p(x；1，l)，x=x(1)，x(2)，其中1，2，l是未知参数。如果取得样本值 x1，x2，xn，那么出现此样本值的概率为显然上式是未知参数1，2，l的函数，称之为似然函数。11;,niliLp x根据最大似然原理，既然已取得样本值x1，x2，xn，就可认为当时确定总体成分的未知参数1，2，l的取值，应使样本值x1，x2，xn出现的概率L为最大。于是，可选择1，2，l的适当值1，2,l，使11max;,niliLp x（2）连续型总体情形。设连续
4、型总体X的密度函数为f(x;1，l)，其中1，2，l是未知参数。若X1，X2，Xn是来自总体X的一个样本，x1，x2，xn是已取得的一个样本值，则n维随机点(X1，X2，Xn)落在包含定点(x1，x2，xn)的一个n维小立方体：x1t1x1+dx1，x2t2x2+dx2，xntnxn+dxn上的概率11112222d,d,dnnnnP xXxx xXxxxXxx111211;,d;,d ddnniliilniif xxf xx xx其中dx1，dx2，dxn都是固定的量。显然上式是1，2，l的函数。3.区间估计1)置信区间的概念定义：设总体X的分布中含有未知参数，且X1，X2，Xn为总体X的一
5、个样本。若对事先给定的(01)，存在两个统计量和，使得P=1，则称区间(，)是的置信度为1的置信区间，与分别称为置信下限与置信上限，1称为置信度或置信概率2)单个正态总体均值与方差的区间估计（1）当总体方差2已知时，均值的置信度为1的置信区间为2SXtn（2）当总体方差2未知时,均值的置信度为1的置信区间为21SXtnn（3）方差2的置信度为1的置信区间为11,112212222nSnnSn（4）标准差的置信度为1的置信区间为2221211,11nSnSnn3)两个正态总体均值差与方差比的区间估计（1）两个正态总体均值差12的置信区间:当21和22均已知时，12的置信度为1的置信区间为2221
6、212nnuYX 当21=22=2为未知时，12的置信度为1的置信区间为21212112wXYtnnSnn（2）两个正态总体方差比2122的置信区间:方差比2122的置信度为1的置信区间为1,1,1,1212122212122221nnFSSnnFSS4)单侧置信区间定义：设总体X的分布中含有未知参数，且X1，X2，Xn为总体X的一个样本。对事先给定的(0=1，则称随机区间(，+)是的置信度为1的单侧置信区间，称为置信度为1的单侧置信下限；若存在一个统计量，满足P0有11lim1nnPXn【例7.4】已知总体X服从瑞利分布，其密度函数为未知参数0，X1，X2，Xn为取自该总体的样本。求的矩估计
7、量和最大似然估计量，并说明这两个估计量是不是无偏估计量。22e,00,0 xxxf xx解 由已知可算得 2222222000deded2ed2xxxxxxE Xxf xxxxxxx令，则ux22222003112ed2e d222222xuxxuu1222故2E X22E X，因此的矩估计量为212X2232222200ed2ed22xxxxxE Xx又令，则ux222022(2)2uE Xue du 2221222D XEEXD XE XE Xn22222()122E XE XE XnE XE Xnnn41nn当x1，x2，,xn0时，似然函数为21121eniinixinxL取对数211
8、lnlnln2niniiixLxn由对数似然方程212d ln0d2niixLn 又 222211111222nniiiEE XE XE Xnn【例7.5】已知某种材料的抗压强度XN(，2)，现随机地抽取10个试件进行抗压试验，测得数据如下：482，493，457，471，510，446，435，418，394，469（1）求平均抗压强度的点估计值；（2）求平均抗压强度的95%的置信区间；（3）若已知=30，求平均抗压强度的95%的置信区间；（4）求2的点估计值；（5）求2的95%的置信区间；（6）求的点估计值；（7）求的95%的置信区间。解 （1）由已知算得（2）因为故参数的置信度为0.95
9、的置信区间是457.50uX 1/Xut nSn221,1SSXtnXtnnn经计算 x=457.50，s=35.22，n=10,又查自由度为9的分位数表得t0.025(9)=2.262，故置信区间为35.2235.22457.502.262,457.502.2621010 432.30,482.70（3）若已知=30，则平均抗压强度的95%的置信区间为223030,457.501.96,457.501.961010XuXunn438.90,476.09（4）221240.28S（5）因为，所以2的95%的置信区间为2221 1nSn222212211,11nSnSnn其中,S2的观测值为12
10、40.28。又因为 220.02521919.023n 220.97512192.70n所以2222122119 1 240.28 9 1 240.28,1119.0232.70nSnSnn586.79,4134.27（7）由（5）得的95%的置信区间为222212211,586.79,4134.2711nSnSnn=(24.2237，64.2982)第四节第四节 习习 题题 全全 解解7.1 对某种混凝土的抗压强度进行抽样试验，得到样本值如下（单位：kg/cm2）：1939，1697，3030，2424，2020，2909，1815，2020，2310试求总体均值与总体方差2的矩估计值，并求
11、样本方差s2。解 由矩方程组1122aAaA可得22E XXE XA进而得22E XXD XAX即222XAX代入题目所给的样本值可得2240.4442197032.2472221661.278s，7.2 设总体X的密度函数为其中0是未知参数，求的矩估计。1e,0,0,0 xxf xx解 由已知可算得 01dedxE Xxf xxxx7.3 设总体X服从泊松分布，其分布律为试求未知参数(0)的矩估计。e,0,1,2,!xP Xxxx解 由已知可算得00e!xxxE Xx P Xxxx由矩方程a1=A1得E(X)=X，即=X，所以的矩估计为 。X7.4 设总体X服从对数级数分布，其分布律为,1,
12、2,ln 1xpP Xxxxp 其中0p0)的最大似然估计。1e2xf xx 解 设X1，X2，Xn为来自总体X的样本，x1，x2，xn为其观测值，则似然函数为 1111ee22iixxnniniiLf x上式两边取对数,得11lnln 2niiLnx 即21dln1dniiLnx 由d lnL/d=0得11niixn所以的最大似然估计量为11niixn7.6 已知某种白炽灯泡的使用寿命服从正态分布，其分布参数均未知。在某个星期所生产的这种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命（单位：h）为1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948试用最大似然估计法估计这
13、个星期生产的灯泡中能使用1300 h以上的概率。解 总体X的密度为 2221e2xf x设X1，X2，Xn为来自总体X的样本，x1，x2，xn为其观测值，则似然函数为 22221122221111ee22niiinxnnxiiiLf x上式两边取对数，得22211lnln2ln222niinnLx 由对数似然方程得22122241ln10ln1022niiniiLxLnx 解得11niixn2211niixxn，所以与2的最大似然估计量分别为X22C，代入题目所给样本值可得997.1x 22115574.29nCsn，从而得1300997.1130011300115574.29P xP x 1
14、2.431 0.99250.0075 7.7 设有一大批产品，其次品率p(0p1)未知。今从中随意抽取100个，发现有5个次品，试求p的最大似然估计值。解 设总体为X，由题目可知Xb(1，p)，故X的分布律为PX=x=px(1p)1x (x=0，1)由题目所给数据可得到似然函数为L=p5(1p)95上式两边取对数,得 lnL=5 lnp+95 ln(1p)由 解得p的最大似然估计值为dln5950d1Lppp50.05100p 7.8 设总体X服从几何分布，其分布律为PX=x=p(1p)x1 （x=1，2，）求参数p(0p1)的矩估计和最大似然估计。111111 1xxxxxE Xx p Xx
15、x pppxp令1p=q，则112211111111xxxxxxqxpxqqqpq所以211E Xppp似然函数为1111111niiinnxxnnx nnniiiLP Xxpppppp上式两边取对数，得lnlnln 1Lnpnxnp7.9 设总体X服从二项分布b(N，p)，其中N已知而p未知，试求p的矩估计和最大似然估计。解 总体X的分布律为PX=x=CxNpx(1p)Nx （x=0，1，2，N）设X1，X2，Xn为来自总体X的样本，x1，x2，xn为其观测值。由已知可算得001nnNxxxNxxE Xx p Xxx C ppNp似然函数为1111111nniiiiiiiinnnxN xNn
16、xxxxiNNiiiLP XxC ppCpp11inNn nxxnxNiCpp上式两边取对数，得1lnlnlnln 1inxNiLCnxpNnnxp由dln0d1LnxNnnxppp解得 XpN7.10 设总体X具有分布律其中、为非负未知参数。若1，2，1，3，1是X的一个样本值，求：（1）和的矩估计值；（2）和的最大似然估计值。解 （1）由分布律的归一性可知2+2+2=1，即+=1，所以=1,故X的分布律可改写为所以2212 213132E X 解得所以的矩估计量为进而得的矩估计量为(2)根据题目所给样本观测值可得似然函数为显然不能取1或0。所以对数似然函数为 3232721121Llnln
17、27ln3ln 1L由dln730d1Lp进而10.3 7.11 设总体X服从双指数分布，其密度函数为其中0+，0(i=1，2，n)，即minx1，x2，xn所以当=minx1，x2，xn时，可使L达到最大（此时为定值）,故12min,nx xx7.12 设总体X服从均匀分布，其密度函数为已知X的一个样本值为1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1。试求参数、均值以及方差2的矩估计值和最大似然估计值。1,0,0,0,xf xx 解 总体X服从(0，)上的均匀分布，其期望为2E X由矩方程a1=A1得E(X)=X，即2X所以的矩估计量为2X设X1，X2，Xn为来自总体X的样本，x1，x2，
18、xn为其观测值,则似然函数为11110,1,2,nniiniiLfxxin 由于L关于为单调递减函数，且0 xi(i=1，2，n)，即maxx1，x2，xn7.13 设总体X的均值和方差2都存在，X1，X2，Xn为X的一个样本，证明：（1）样本加权平均值是的无偏估计量;（2）在的所有形如X*的无偏估计量中，样本均值X最有效。*110,1nniiiiiXc Xcc证明 （1）因为*11111 nniiiiiinniiiiiniiE XEc XE c Xc E Xcc所以X*是的无偏估计量。（2）方法一:利用许瓦尔兹不等式进行证明。许瓦尔兹不等式的形式为222111nnniiiiiiix yxy因
19、为*2111nnniiiiiiiiiD XDc XD c Xc D X222222222111111nnnnniiiiiiiiiccnccnn 22222111nniiiiccD Xnnn方法二：利用多元条件极值方法进行证明。*221niiD Xc由可知，当21niic达到最小时，达到最小，利用求解多元条件极值的拉格朗日乘数法，作辅助函数*D X211+1nniiiiFcc由1201,2,10iiniiiFcinccc解得121ncccn7.14 设总体X服从正态分布N(，2)，且X1，X2，Xn为X的一个样本，试确定常数c，使得12211niiicXX为2的无偏估计量。解 因为1122211
20、11nniiiiiiEE cXXcEXX1221112niiiiicE XE XE XE X12212nicE XE X E XE X11221122nniicE XE XcD X1221221nicnc7.17 已知铁厂铁水的含碳量（%）在正常情况下服从正态分布，且标准差=0.108。现测得5炉铁水，其含碳量分别为4.28、4.40、4.42、4.35、4.37，试求均值的置信度为0.95的置信区间。解 对于正态分布总体，当总体方差（或标准差）已知时，其均值的1置信度的置信区间为由题目所给样本值可得 x=4.364,而n=5，1=0.95，u/2=u0.025=1.96，=0.108，所以2
21、Xun0.1084.364 1.964.3640.0954.269,4.49557.18 铝的密度测量值是服从正态分布的。若测量16次，算得样本均值 x=2.705，样本标准差s=0.029，试求铝的密度置信度为95%的置信区间。解 对于正态分布总体，当总体方差（或标准差）未知时，其均值的1置信度的置信区间为。21SXtnn由题目所给数据知x=2.705，s=0.029，=0.05，n=16查表可得t0.025(15)=2.131所以置信区间为0.0292.7052.1312.7050.0152.69,2.72167.19 从某厂生产的滚珠中随机抽取10个，测得它们的直径（单位：mm）分别为1
22、4.6，15.0，14.7，15.1，14.9，14.8，15.0，15.1，15.2，14.8设滚珠的直径服从正态分布N(，2)，对以下两种情况分别求出均值的置信度为0.95的置信区间。（1）已知=0.16；（2）未知。解 由题目所给样本值可得 x=14.92，s=0.193，n=10，1=0.95查表可得0.02521.96uu 0.0252192.262tnt（1）当=0.16时，1置信度的置信区间为入题目数据得2Xun0.1614.92 1.09614.821,15.01910（2）当未知时，1置信度的置信区间为 ,代入题目数据得21SXtnn0.19314.922.26214.782
23、,15.058107.21 设某种炮弹的初速度服从正态分布，取10发炮弹做试验，得样本标准差s=12.4 m/s。求这种炮弹初速度的标准差的置信度为0.95的置信区间。解 正态总体标准差的1置信度的置信区间为222212211,11nSnSnn由题目所给数据知s=12.4，n=10，1=0.95查表可得 20.025919.023 20.97592.700，代入题目数据可得的0.95置信度的置信区间为229 12.49 12.4,8.529,22.63919.0232.7007.22 测得一批钢件20个样本的屈服点（单位：t/cm2）分别为4.98，5.11，5.20，5.20，5.11，5.
24、00，5.61，4.88，5.27，5.38 5.46，5.27，5.23，4.96，5.35，5.15，5.35，4.77，5.38，5.54设钢件屈服点服从正态分布，试求其均值和标准差的置信度为0.95的置信区间。解 由于总体方差未知，故的1置信度的置信区间为21SXtnn所以的0.95置信度的置信区间为 x=5.21，s=0.220，n=20，1=0.95的1置信度的置信区间为 t0.025(19)=2.093所以的0.95置信度的置信区间为0.2205.212.0935.107,5.31320的1置信度的置信区间为222212211,11nSnSnn 查表可得20.0251932.85
25、220.975198.907，所以的0.95置信度的置信区间为2219 0.22019 0.220,0.167,0.32132.8528.9077.23 为了估计磷肥对某农作物增产的作用，现选20块条件大致相同的土地进行试验。10块施磷肥，另外10块不施磷肥，获得产量（单位：kg/hm2）如下：施磷肥产量：6200，5700，6500，6000，6300，5800，5700，6000，6000，5800不施磷肥产量：5600，5900，5600，5700，5800，5700，6000，5500，5700，5500设施磷肥和不施磷肥每公顷的产量都具有正态分布，且方差相同，取置信度为0.95，试对
26、施磷肥平均公顷产量和不施磷肥平均公顷产量之差作区间估计。解 12122112wXYtnnSnn根据题目所给数据知所以2211221211221.112wnSnSSnn查表可得t0.025(18)=2.1009所以12的0.95置信度的置信区间为1160005700 1.734 221.11128.54,471.461010 7.24 从某地区随机抽取男、女各100名，以估计男、女平均高度之差。测量并算得男子高度的平均数为 xA=1.71 m，标准差为sA=0.035 m，女子高度的平均数为 xB=1.67 m，标准差为sB=0.038 m。设该地区男、女的高度分别具有正态总体N(A，2)、N(
27、B，2)，试求男、女高度平均数之差AB的95%的置信区间。解 对于总体方差相等但未知的双正态总体，AB的1置信度的置信区间为2112ABABwABXXtnnSnn根据题目所给数据知所以22110.03652AABBwABnSnSSnn查表可得t0.025(198)u0.025=1.96所以AB的0.95置信度的置信区间为111.71 1.671.96 0.0350.0299,0.05011001007.25 用两台机床加工同一种零件，分别从它们加工的零件中抽取6个和9个测其长度（单位：cm），算得样本方差分别为s21=0.245，s22=0.357。设两台机床加工零件的长度都服从正态分布，试求
28、两个总体方差之比21/22的置信区间（取置信度为0.95）。解 两个正态总体方差比的1置信度的置信区间为222212121212122/,1,11,1SSSSFnnFnn由题目所给数据知查表可得0.0255,84.82F0.9750.025115,88,56.76FF，所以2122的0.95置信度的置信区间为0.245/0.357 0.245/0.357,0.142,4.63914.826.767.26 设两位化验员A、B独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法各做10次测定，其测定值的样本方差分别为s2A=0.5419，s2B=0.6065。设两位化验员A、B所测定的测定值总体都是正态总体，两个
29、总体的方差分别为2A、2B，求方差比2A2B的置信度为0.95的置信区间。解 两个正态总体方差比的1置信度的置信区间为2222122/,1,11,1ABABABABSSSSFnnFnn由题目所给数据知查表可得0.0259,94.03F0.9750.025119,99,94.03FF，所以2A2B的0.95置信度的置信区间为0.5419/0.6065 0.5419/0.6065,0.2217,3.600814.034.037.27 从一批某种型号的电子元件中随机抽取6个测其使用寿命（单位：kh），得样本观测值分别为15.6，14.9，16.0，14.8，15.3，15.5。设电子元件的使用寿命服从正态分布N(，2)，求：（1）寿命均值的置信度为95%的单侧置信下限；（2）寿命方差2的置信度为95%的单侧置信上限。解 （1）在正态总体方差未知的情况下，的1置信度的置信下限为1SXtnn由题目所给样本值可得查表可得t0.05(5)=2.015所以的95%置信度的置信下限为0.450615.352.01514.986（2）正态总体方差2的1置信度的置信上限为22111nSn由题目所给样本值可得s2=0.203查表可得5 0.2030.8861.145 20.0551.145所以2的95%置信度的置信上限为
