1、第 8 章假 设 检 验第一节知识梳理第一节知识梳理第二节重点解析第二节重点解析第三节典型例题第三节典型例题第四节习题全解第四节习题全解第一节第一节 知知 识识 梳梳 理理第二节第二节 重重 点点 解解 析析1.假设检验的基本方法（1）根据实际问题的要求，提出原假设H0与备择假设H1。当H1为双侧备择假设时，H1也可以不写出。（2）选取适当的检验统计量W，并在原假设H0成立的前提下，确定出统计量W的概率分布。（3）根据具体情况，选取适当的显著性水平及样本容量n。（4）利用W的分布求出W相应于和n的临界值及H0的拒绝域。（5）由样本观察值计算出W的观测值，并与临界值作比较，决定拒绝原假设H0还是
2、接受原假设H0。2.参数假设检验1)单个正态总体均值的双侧检验设总体XN(，2)，均值未知，X1，X2，Xn是X的一个样本，要求检验假设H0：=0，0为已知常数，取显著性水平为。（1）对于2已知的情形，构造检验统计量0 0,1XUNn使022/XP Uuun若02/xun则拒绝原假设H0，即认为总体均值与常数0有显著差异；若02/xun则接受原假设H0，即认为总体均值与常数0无显著差异。（2）对于2未知的情形，构造检验统计量0 1/Xtt nSn使02211/XP ttnPtnSn若021/xtnsn则拒绝原假设H0，即认为总体均值与常数0有显著差异；021/xtnsn则接受原假设H0，即认为
3、总体均值与常数0无显著差异。2）单个正态总体方差的双侧检验设总体XN(，2)，和2未知，X1，X2，Xn是X的一个样本，要求检验假设H0：2=20，20为已知常数，取显著性水平为。构造检验统计量22221 1nSn使2222122112PnPn若2212211nsn222211nsn或 则拒绝原假设H0，即认为总体方差2与常数20有显著差异；若2221222111nsnn则接受原假设H0，即认为总体方差2与常数20无显著差异。3）两个正态总体均值的双侧检验设总体XN(1，2)，YN(2，2)，且二者相互独立，X 与 Y 分别是这两个样本的样本均值，S21与S22分别是这两个样本的样本方差。设两
4、个正态总体的均值1、2及方差2均未知，现要检验假设H0：1=2(12=0)，取显著性水平为。构造检验统计量1212 211wXYtt nnSnn其中22112212112wnSnSSnn使212212122211wXYP ttnnPtnnSnn若21212211wxytnnsnn则拒绝原假设H0，即认为两个正态总体的均值1与2有显著差异；21212211wxytnnsnn则接受原假设H0，即认为两个正态总体的均值1与2无显著差异。4)两个正态总体方差比的双侧检验构造检验统计量211222 1,1SFF nnS使2211121221222221,11,12SSPFnnPFnnSS若2112122
5、21,1sFnns或21212221,1sFnns则拒绝原假设H0，即认为两个正态总体的方差有显著差异；若211212212221,11,1sFnnFnns3.分布假设检验1)假设总体分布为已知的检验设总体X的分布函数F(x)已知，X1，X2，Xn是X的一个样本，要求检验假设H0：F(x)=F0(x)，这里F0(x)是一已知的分布函数，其中不含任何未知参数。对于给定显著性水平，使P22(l1)，按212kklkkpnmpn算出2的观测值。2)假设总体分布为未知的检验设总体X的分布函数F(x)未知，X1，X2，Xn是X的一个样本，要求检验假设H0：F(x)=F0(x;1，2，m)，这里函数F0(
6、x;1，2，m)的表示式已知，而参数1，2，m未知。对于给定的显著性水平及充分大的样本容量n(n50)，使221Plm按212kklkkpnmpn算出的观测值。2第三节第三节 典典 型型 例例 题题【例8.1】某厂生产一批产品，共80件，须经检验合格才能出厂。按规定，次品率不能超过1%。今在其中任意抽取2件，发现有次品，问这批产品能否允许出厂？解 从直观上看，似乎是不能出厂。假设产品的次品率为p，问题化为如何根据抽样的结果来判断“p0.01”是否成立。要检验的假设是“p0.01”，如果假设成立，80件中最多有一件是次品，现任取2件，先看 “无次品”的概率,即280280279280,80,80
7、1CCPCC当件中无次品时无次品当件中有 件次品时因此27928079 780.97580 79CPC无次品于是1 0 9750.025P 出现次品.这表明，如果“p0.01”，那么任取2件产品，出现次品的机会是很小的，平均在100次抽样中，实际上是不大可能出现次品的，这是个小概率事件。然而，现在抽取2件，却发现了次品，这是“不合理”的。其原因就在于这个假设“p0.01”不合适。因此认为假设“p0.01”是不能接受的，故这批产品不能出厂。【例8.2】设X1，X2,Xn是来自正态总体N(，2)的简单随机样本，其中参数，2未知，记试构造检验假设H0：=0的t检验统计量T。11niiXXn221ni
8、iQXX，解 由t分布随机变量的构成的典型模式出发来构造统计量T。在H0成立的条件下，有0 0,1/XNn已知2221 1nSn也就是222 1Qn且相互独立，故221/11/Xn nXQTt nnQn故1Xn nTQ【例8.3】某校毕业班历年语文毕业成绩接近N(78.5，7.62)，今年毕业40名学生，平均分数76.4分，有人说这届学生的语文水平和历届学生相比不相上下，这个说法能接受吗（显著性水平=0.05）？解 本题所述是要把今年语文的平均分数与历年平均分数相比，因此这是一个均值的检验问题，且已知方差2=7.62，所以是U检验的问题。待检验的假设为H0：=0=78.5，H1：0选检验统计量
9、U，在H0成立的条件下，有0 0,1/XUNn给定=0.05，于是原假设的拒绝域为0/2/2/XRUuun查标准正态分布表，得 u0.025=1.96计算U的绝对值，即76.478.51.757.6/40U因为1.751.96，未落入拒绝域,所以可认为这届学生的语文水平和历届学生相比不相上下。【例8.4】某砖厂制成两批机制红砖，抽样检查测量砖的抗折强度（千克），得到结果如下:第一批：n1=10，x=27.3，s1=6.4第二批：n2=8，y=30.5，s2=3.8已知砖的抗折强度服从正态分布，在显著性水平为0.05的条件下试检验：（1）两批红砖的抗折强度的方差是否有显著差异？（2）两批红砖的抗
10、折强度的数学期望是否有显著差异？解 （1）待检验的假设为22012:H22112:H，用F检验法，当H0为真时，统计量为211222 1,1SFF nnS原假设的拒绝域为/2121/2121,1 1,1FFnnFFnn由n1=10，n2=8，s21=40.96，s22=14.44得40.962.83714.44F 0.0259,74.82F0.9750.02519,70.2837,9FF，所以接受H0，认为抗折强度的方差没有显著差异。（2）待检验的假设为H0：1=2，H1：12用t检验法，当H0为真时，统计量为1212 211wXYtt nnSnn其中221122212112wnSnSSnn原
11、假设的拒绝域为|t|t/2(n1+n22)查表可得 t0.025(10+82)=t0.025(16)=2.1199而29 40.967 14.4429.357516wS，s=5.418由于1227.330.51.2452.11995.418 0.47411wXYtSnn所以接受H0，认为抗折强度的期望无显著差异。第四节第四节 习习 题题 全全 解解8.1 某灯泡厂生产一种节能灯泡，其使用寿命（单位：h）长期以来服从正态分布N(1600，1502)。现从一批灯泡中随意抽取25只，测得它们的平均寿命为1636 h。假定灯泡寿命的标准差稳定不变，问这批灯泡的平均寿命是否等于1600 h（取显著性水平
12、=0.05）？解 待检验的假设为H0：=0=1600，H1：0由于总体方差2=1502已知，故使用U检验法，检验统计量为0/XUn当H0为真时，UN(0，1)，所以H0的拒绝域为22,uu 由题目所给数据可知x=1636，n=25，=0.05查表可得u0.025=1.96所以检验统计量的观测值为01636 16001.2/150/25xn因为00.025/xun所以根据U检验法，应该接受H0,即认为这批灯泡的平均寿命等于1600 h。8.2 正常人的脉搏平均为72次/分，检查10例四乙基铅中毒患者，测得他们的脉搏（次/分）分别为54，67，68，78，70，66，67，70，65，69已知脉搏
13、服从正态分布，在显著性水平0.05下，问四乙基铅中毒患者与正常人的脉搏有无显著差异？解 待检验的假设为H0：=0=72，H1：0由于总体方差2未知，故使用t检验法，检验统计量为0/XtSn当H0为真时，tt(n1)，所以H0的拒绝域为22,11,tntn 由题目所给样本值可得 x=67.4，s=5.929，n=10，=0.05查表可得t0.025(9)=2.2622，所以检验统计量的观测值为067.4722.453/5.929/10 xSn 因为 00.0259/xtSn8.3 某食品厂生产一种食品罐头，每罐食品的标准质量为500 g。今从刚生产的一批罐头中随机抽取10罐，称得其质量（单位：g
14、）分别为495，510，505，498，503，492，502，512，497，506假定罐头质量服从正态分布，问这批罐头的平均质量是否符合标准（取=0.05）？解 待检验的假设为H0：=0=500，H1：0由于总体方差2未知，故使用 t 检验法，检验统计量为0/XtSn当H0为真时，tt(n1),所以H0的拒绝域为22,11,tntn 由题目所给数据可知 x=502，s=6.498，n=10，=0.05查表可得t0.025(9)=2.262，所以检验统计量的观测值为05025000.973/6.498/10 xSn因为 00.0259/xtSn所以根据t检验法，应该接受H0,即认为这批罐头的
15、平均质量是符合标准的。8.4 如果一个矩形的宽度与长度的比值为0.618，则称此矩形为黄金矩形，并称这个比值为黄金比例。某工艺厂生产一种镜框，从中抽取20个，测其宽与长的比值为0.693，0.749，0.645，0.670，0.662，0.672，0.615，0.606，0.690，0.6280.668，0.611，0.606，0.609，0.601，0.553，0.570，0.844，0.576，0.933设镜框宽与长的比值服从正态分布，在显著性水平=0.05下，问这种镜框宽长比例的均值与黄金比例是否有显著差异？解 待检验的假设为H0：=0=0.618，H1：0由于总体方差2未知，故使用t检
16、验法，检验统计量为0/XtSn，当H0为真时，tt(n1),所以H0的拒绝域为22,11,tntn 由题目所给数据可知x=0.660 05，s=0.0925，n=20，=0.05查表可得t0.025(19)=2.093，所以检验统计量的观测值为00.66050.6182.0548/0.0925/10 xSn因为00.02519/xtSn所以根据t检验法，应该接受H0,即认为这种镜框宽长比例的均值与黄金比例无显著差异。8.5 已知一细纱车间纺出某种细纱的支数服从正态分布，其标准差为1.2，从某天纺出的细纱中随机抽出16缕进行支数测量，算得样本标准差为2.1，在显著性水平=0.05下，问这天细纱支
17、数的均匀度较平常有无显著差异？解 待检验的假设为H0：2=20=1.22，H1：220利用2检验法，检验统计量为22201nS当H0为真时，22(n1),所以H0的拒绝域为221220,11,nn由题目所给数据可知s=2.1，n=16，=0.05,查表可得20.0251527.48820.975156.262，所以检验统计量的观测值为22220115 2.145.93751.2nS因为220.02520115nS所以根据2检验法，应该拒绝H0,即认为这天细纱支数的均匀度较平常有显著差异。8.6 从某电工器材厂生产的一批保险丝中抽取10根，测试其熔化时间，得到数据如下：42，65，75，78，7
18、1，59，57，68，55，54设保险丝的熔化时间服从正态分布，问这批保险丝熔化时间的标准差是否等于12？取显著性水平=0.01。解 待检验的假设为H0：=0=12，H1：0利用2检验法，检验统计量为22201nS当H0为真时，22(n1),所以H0的拒绝域为221220,11,nn由题目所给数据可知s=11.037，n=10，=0.01，查表可得 20.005923.589 20.99591.735，所以检验统计量的观测值为2222019 11.0377.61312nS因为 2220.9950.00520199nS所以根据2检验法，应该接受H0,即认为这批保险丝熔化时间的标准差等于12。8.
19、7 测定某一食品中的水分，由它的10个测定值算出，样本均值 x=0.452%，样本标准差s=0.037%。设测定值整体服从正态分布N(，2)，试在显著性水平=0.05下，分别检验假设：（1）H0：=0.5%；（2）H0：=0.04%。解 （1）待检验的假设为H0：=0.5%=0，H1：0.5%由于总体方差2未知，故使用t检验法，检验统计量为0/XtSn当H0为真时，tt(n1),所以H0的拒绝域为22,11,tntn 由题目所给数据可知x=0.452%，s=0.037%，n=10，=0.05查表可得 t0.025(9)=2.262所以检验统计量的观测值为00.452%0.5%4.102/0.0
20、37%/10 xSn 因为 00.0259/xtSn所以根据t检验法，应该拒绝H0。（2）待检验的假设为H0：=0.04%=0，H1：0利用2检验法，检验统计量为22201nS当H0为真时，22(n1),所以H0的拒绝域为221220,11,nn由题目所给数据可知s=0.037%，n=10，=0.05，查表可得 20.025919.023 20.97592.7，所以检验统计量的观测值为22220190.037%7.7010.04%nS因为 2220.9750.02520199nS所以根据2检验法，应该接受H0。8.8 甲、乙两台车床加工同一规格的零件，从加工的零件中各抽取若干件，测量其尺寸（单
21、位：cm）为甲：20.5，19.8，19.7，20.4，20.1，20.0，19.0，19.9乙：19.7，20.8，20.5，19.8，19.4，20.6，19.2假设两台车床加工的零件尺寸都服从正态分布，且方差相同。问两台车床加工零件的平均尺寸有无显著差异(取=0.05)？解 设甲、乙两台车床加工的零件尺寸总体分别为XN(1，21)，YN(2，22)待检验的假设为H0：1=2，H1：12由于题目中假设两个总体方差相同但未知，故使用 t 检验法，检验统计量为1211wXYtSnn其中22112212112wnSnSSnn当H0为真时，tt(n1+n22),所以H0的拒绝域为121222,22
22、,tnntnn 由题目所给数据可知查表可得 t0.025(13)=2.160所以检验统计量的观测值为221219.925200.267117 0.4566 0.630111387wxySnn 因为0.025121311wxytSnn所以根据t检验法，应该接受H0,即认为两台车床加工零件的平均尺寸无显著差异。8.9 在十块田地上同时试种A、B两种谷物，根据公顷产量（单位：kg）算得 xA=3097，yB=2179，sA=2670，sB=2110。问这两种谷物的平均公顷产量有无显著差异（取=0.05）？假定两种谷物的公顷产量都服从正态分布，且方差相等。在两个正态总体方差相同的假设下，使用 t 检验
23、法，检验统计量为11ABwABXYtSnn其中22112AABBwABnSnSSnn所以检验统计量的观测值为22309721790.853119 26709 211011181010ABwABxySnn 因为0.0251811ABwABxytSnn8.11 按两种不同配方生产橡胶，测得伸长率（%）如下：配方：540，533，525，520，544，531，536，529，534配方：565，577，580，575，556，542，560，532，570，561设橡胶伸长率服从正态分布，检验按两种配方生产的橡胶的伸长率的方差是否相同（取=0.05）？解 设配方、的伸长率总体分别为XN(1，21)
24、，YN(2，22)待检验的假设为H0：21=22，H1：2122利用F检验法，检验统计量为2122SFS当H0为真时，FF(n11，n21)，所以H0的拒绝域为12121220,1,11,1,FnnFnn由题目所给数据可知查表可得0.0257,65.70F0.9750.025117,60.1956,75.12FF，所以检验统计量的观测值为21220.2160.6950.397SS，因为210.9750.025227,67,6SFFS，所以根据F检验法，应该拒绝H0,即认为两种配方的伸长率方差有显著差异。8.12 对两批同类电子元件的电阻进行测试，各抽取6件，测试的结果（单位：）如下：A批：0.
25、140，0.138，0.143，0.144，0.141，0.137B批：0.135，0.140，0.142，0.136，0.138，0.141设这两批元件的电阻分别服从正态分布N(1，21)与N(2，22)，试在=0.05下检验下列假设：（1）H0：21=22；（2）H0：1=2。解 （1）待检验的假设为利用F检验法，检验统计量为当H0为真时，FF(n11，n21),所以H0的拒绝域为22012:H22112:H，2122SFS（2）待检验的假设为H0：1=2，H1：12在（1）的基础上，利用 t 检验法，检验统计量为1211wXYtSnn其中22112212112wnSnSSnn当H0为真时
26、，tt(n1+n22),所以H0的拒绝域为121222,22,tnntnn 所以检验统计量的观测值为120.14050.13871.1246115 0.000007505 0.00000787111066wxySnn 因为0.025121011wxytSnn所以根据 t 检验法，应该接受H0。8.14 一台机床加工轴的平均椭圆度是0.095 mm，机床调整后取20根轴测量其椭圆度，算得样本均值 x=0.081 mm，样本标准差s=0.025 mm。问调整后机床加工轴的平均椭圆度有无显著降低？这里假定机床加工轴的椭圆度服从正态分布，取其显著性水平=0.05。解 待检验的假设为H0：0=0.095
27、，H1：0.022利用2检验法，检验统计量为22201nS当H0为真时，P22(n1)，所以H0的拒绝域为 2(n1)，+)8.17 在一个陀螺的圆周上均匀地刻上区间0，10)上的诸数，旋转这个陀螺，当它停止时，其边周与地板的接触点是一随机变量。旋转100次，触地点落在0，10)的10个等分区间上的频数如下：问这个陀螺是否匀称（取=0.05）？解 设陀螺停止时，其边周与地板接触点为总体X，此问题化为检验如下假设:H0：X服从U0，10)分布H1：X不服从U0，10)分布根据2拟合优度检验法，检验统计量为22211llkkkkkkkkmnpmnppnnp当原假设H0成立时，2的极限分布为2(l1
28、)，H0的拒绝域为2(l1)，+)由题目所给数据可知n=100当H0成立时，11,10kkkkkxxpP Xxx下面列表计算2的值和分组数l等。由上表可得分组数l=10，2217lkkkkmnpnp查表可得 20.05916.919由于 220.059故接受原假设H0，即认为陀螺是匀称的。8.18 在检验某一产品质量时，每次抽取10个产品来检验。共取100次，得到每10个产品中次品数X的频率分布如下：在显著性水平=0.05下，问生产过程中出现次品的概率p是否稳定不变，即次品数X是否服从二项分布b(10，p)？解 此问题化为检验如下假设：H0：X服从b(10，p)分布；H1：X不服从b(10，p
29、)分布首先求出参数p的最大似然估计值为100111000.1101010iiix mxp估计的参数个数为 m=1根据2拟合优度检验法，检验统计量为22211llkkkkkkkkmnpmnppnnp当原假设H0成立时，2的极限分布为2(lm1)，H0的拒绝域为2(lm1)，+)由题目所给数据可知n=100当H0成立时，1010101010.10.9iiiiiixxxxxxkpC ppC下面列表计算2的值、分组数l等。由上表可得分组数l=4，查表可得由于故接受原假设H0，即认为次品数X服从二项分布b(10，p)。8.19 在某段公路上，观察每15 s内通过的汽车数量。独立观察200次，得到数据如下
30、：问该路段上每15 s内通过的车辆数是否服从泊松分布（取=0.05）？解 设该路段上每15 s内通过的车辆数为总体X，此问题化为检验如下假设：H0：X服从泊松分布；H1：X不服从泊松分布首先求出泊松分布的参数的最大似然估计值为7011.8200iiixx m估计的参数个数为m=1根据2拟合优度检验法，检验统计量为22211llkkkkkkkkmnpmnppnnp 当原假设H0成立时，2的极限分布为2(lm1)，H0的拒绝域为2(lm1)，+)由题目所给数据可知n=200 当H0成立时，1.81.8ee!iixxkiipxx下面列表计算2的值、分组数l等。由上表可得分组数l=6，查表可得由于故接
31、受原假设H0，即认为该路段上每15 s内通过的车辆数服从泊松分布。8.20 从某纱厂生产的一批棉纱中抽取300条进行拉力强度试验，得到数据如下：检验该批棉纱的拉力强度是否服从正态分布（取=0.05）？解 设该批棉纱的拉力强度为总体X，此问题化为检验如下假设:H0：X服从正态分布；H1：X不服从正态分布首先求出正态分布的参数和2的最大似然估计值，以拉力强度区间的中点为观测值yi，得到13111.41300iiixy m13222110.0892300iiicyxm估计的参数个数为m=2根据2拟合优度检验法，检验统计量为22211llkkkkkkkkmnpmnppnnp当原假设H0成立时，2的极限分布为2(lm1)，H0的拒绝域为2(lm1)，+)由题目所给数据可知n=300当H0成立时，111.411.410.08920.0892kkkkkxxxxp下面列表计算2的值、分组数l等。由上表可得分组数l=9，查表可得由于故接受原假设H0，即认为该批棉纱的拉力强度服从正态分布。
