1、第 6 章数理统计的基本概念第一节知识梳理第一节知识梳理第二节重点解析第二节重点解析第三节典型例题第三节典型例题第四节习题全解第四节习题全解第一节第一节 知知 识识 梳梳 理理第二节第二节 重重 点点 解解 析析1.总体与样本1)总体及其分布定义1：总体又称母体，指一个统计问题所研究的对象的全体。定义2：总体X中的每个数值按一定比率分布的规律称为总体分布。2)样本与抽样定义1：样本又称子样，指按某一方式从统计总体中抽取的部分个体，样本中的每个个体又称为样品。一个样本中所含样品的个数称为样本容量。抽取样本的过程称为抽样。抽取样本的方式称为抽样方法。定义2：设X1，X2，Xn是来自总体X的一个样本
2、，若X1，X2,，Xn相互独立，且每个样品Xi(i=1，2，n)都与总体X 有相同的概率分布，则称X1，X2，Xn为总体X的一个简单随机样本，简称样本。3)经验分布函数定义：设总体X的分布函数F(x)是未知的，且x1,x2，xn为X的一个样本值。对任意实数x，样本值中不超过x的数据的频数记为m(x)，若Fn(x)=m(x)/n，则称Fn(x)为经验分布函数。2.统计量及其分布1)统计量的概念定义：设X1，X2,，Xn是来自总体X的一个样本，且g(X1，X2，Xn)是X1，X2，Xn的一个函数,若g(X1，X2，Xn)中不含任何未知参数，则称g(X1，X2，Xn)为统计量。一些常用的统计量如下：
3、（1）样本均值：niiXnX11（2）样本方差:niiXXnS12211（3）样本标准差:22111niiSSXXn（4）样本k阶原点矩:nikikkXnA1,2 ,1 ,1（5）样本k阶中心矩:11,1,2,nkkiiBXXkn2)三种重要分布定义1：设X1，X2,，Xn是n个相互独立的标准正态随机变量，则它们的平方和2=X21+X22+X2n称做自由度为n的2变量，其概率分布称做自由度为n的2分布，记为22(n)。定义2：设XN(0，1)，Y2(n)，且X和Y相互独立，则称做自由度为n的t变量，其概率分布称做自由度为n的t分布，记为tt(n)。nYXt/定义3：设X2(n1)，Y2(n2)
4、，且X与Y相互独立，则称做自由度为(n1，n2)的F变量，其概率分布称做自由度为(n1，n2)的F分布，记为FF(n1，n2)。其中n1和n2分别称为F(n1，n2)分布的第一自由度和第二自由度。3)分位点定义：设X是一连续型随机变量，其密度函数为f(x)。对于给定的正数(0a=0.1，求a。解 本题涉及样本方差的概率问题，且是已知概率值，求上侧分位数的值。已知，本题中n=10，2=42,故2221 1nsn2222221199416nsnasaP saPP由已知9S2422(9)，且22990.1416saP根据上侧分位数定义，应有查2分布表，得即解得第四节第四节 习习 题题 全全 解解6.
5、1 设总体X服从两点分布b(1，p)，即PX=1=p，PX=0=1p，其中p是未知参数，X1，X2，X5是来自总体X的一个样本。（1）写出X1，X2，X5的联合概率分布；（2）指出X21+X23、maxX1，X2，X5、(Xp)2、A2+2p中哪些是统计量，哪些不是，为什么？解 （1）总体X服从b(1，p)，其分布律可写为PX=x=px(1p)1x （x=0，1）样本X1，X2，X5相互独立，且与总体X具有相同分布，所以X1，X2，X5的联合分布律为51122551,iiP Xx XxXxP Xx5511511511iiiiiixxixxpppp其中：xi=0，1；i=1，2，5。6.2 从一
6、大批40 W的灯泡中随机抽取10只进行寿命试验，得到数据如下（单位：h）：1050，1100，1080，1120，1200，1250，1040，1130，1300，1200求其样本均值 x 与样本方差s2。解 1111050 1100 1080 1120 1200 1250 1040 113010niixXn1300 12001147222221111050 11471100 11471080 114719niisXXn22221120 11471200 11471250 11471040 1147222 1130 11471130 11471200 11477578.8896.3 设X1，X
7、2，Xn是来自总体X的一个样本，若E(X)=，D(X)=2，试证明：（1）；（2）。E X，2D Xn221nE Cn证明 （1）由于X1，X2，Xn相互独立，且与总体X具有相同分布,所以111nnniiiiiEXE XE Xn2111nnniiiiiDXD XD Xn故1111nniiiiE XEXE Xnn221111nniiiiD XDXD Xnnn（2）因为222211112nniiiiiCXXXX XXnn22221111112nnniiiiiiXXXXXXnnn22222iE XE XD XE X2222E XD XE Xn所以222221111nniiiiE CEXXE XE X
8、nn222221nnn6.5 从正态总体N(52，6.32)中随机抽取一个容量为36的样本，求样本均值X落在50.8与53.8之间的概率。解 因为XN(52，6.32/362)，所以53.85250.85250.853.86.3/66.3/6PX1.711.141.711.1410.95640.8729 10.8293 6.6 从总体N(3.4，62)中抽取容量为n的样本，如果要求样本均值落在区间(1.4，5.4)内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应为多大？解 因为XN(3.4，62/n)，所以5.43.41.43.41.45.46/6/PXnn21333nnn由 得而 (1.96)=0
9、.975所以 ，即n34.5744,故n至少应取35。210.953n 0.9753n1.963n6.7 设X1，X2，X10是总体N(0，0.22)的一个样本，求。解 因为XiN(0，0.22)(i=1，2，10)所以又因为X1，X2，X10相互独立,所以10210.1576iiPX20 0,11,2,100.20.2iiXXNi 1022102121 100.20.2iiiiXX故102102122120.15760.15760.20.2 103.94 0.95iiiiXPXPP6.9 已知Xt(n)，求证X2F(1，n)。证明 令UN(0，1)，V=2(n)，且U与V独立,则由t分布定义可知 /UXt nVn所以222/1/UUXVnVn因为U22(1)，且U2与V独立,所以22/1 1,/UXFnVn
