1、 2020 年秋高三第一学月考试 文科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后， 再选涂其它答案标号。 回答非选择题时， 将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3 考 试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1设UAB， 1,2,3,4,5A ，B 10 以内的素数，则)(BACU A2,4,7 B C4,7 D1
2、,4,7 2已知a是实数， 1 ai i 是纯虚数，则 a等于 A 2 B1 C 2 D1 3已知 3 log2a ， 0.2 log0.3b ， 11 tan 3 c ，则a，b，c的大小关系是 Acba Bbac Ccab Dbca 4已知数列 n a是正项等比数列，满足 987132 82,221aaaaaa，则数列 n a的通项公 式 n a A 1 2n B 1 3 n C 1 3n D 1 2 n 5若实数 , x y满足约束条件 02 022 3 y yx xy ，则3zxy的最小值是 A6 B4 C12 7 D14 6已知函数 2 2cosf xxx，若 fx是 f x的导函数
3、，则函数 fx的图象大致是 A B C D 7鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的 十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经 90 榫卯起来. 若正四棱柱的高为 6，底面正方形的边长为 1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略 不计），则该球形容器表面积的最小值为 A41 B42 C43 D44 8已知ABC，则“sincosAB ”是“ABC是直角三角形”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 9 函数( ) 2sin()0,| 2 f xx 的最小正周期
4、为， 若其图象向右平移 6 个单位后得 到函数为奇函数，则函数 ( )f x的图象 A关于点,0 3 对称 B在 2 2 -,上单调递增 C关于直线 3 x 对称 D在 6 x 处取最大值 10已知a、b、c是在同一平面内的单位向量，若a与b的夹角为60 ，则 2abac的最 大值是 A 1 2 B2 C 3 2 D 5 2 11 已知椭圆 C： 22 2 1 3 xy a 的右焦点为 F， O为坐标原点， C上有且只有一个点 P 满足OF FP， 则 C 的方程为 A 22 1 123 xy B 22 1 83 xy C 22 1 63 xy D 22 1 43 xy 12.函数 1 ( )
5、e ax f xx x 在0,上有两个零点，则实数a的取值范围是 A. 2 , e B. 2 0, e C.1,e D. 1 2 , e e 第II卷 非选择题（90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 x轴的非负半轴重合，若点 P（2，1）在角 的终 边上，则 sin2_ 14已知 3 cos 125 ，则 2 sin 2 3 _ 15已知双曲线的顶点在坐标轴，中心在原点，渐近线经过点,2P mm (0)m ，则双曲线的离心 率为_ . 16已知三校锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PA 平面ABC，ABC 是边长为
6、2的正 三角形，D、E、F分别是AB、BC、CP的中点， 且 3 cos 4 DFE， 则球O的表面积为_. 三解答题：共三解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分 17（12 分）在ABC中，已知内角 , ,A B C所对的边分别为, ,a b c，向量 ( 3, 2sin )mB，向 量(cos ,cos2 )nBB，且 /mn，角
7、B为锐角. （1）求角B的大小； （2）若2b，求ABC面积的最大值. 18（12 分）某度假酒店为了解会员对酒店的满意度，从中抽取 50 名会员进行调查，把会员对酒 店的“住宿满意度”与“餐饮满意度”都分为五个评分标准：1 分（很不满意）；2 分（不满意）； 3 分（一般）；4 分（满意）；5 分（很满意）.其统计结果如下表（住宿满意度为x，餐饮满意度为 y）. （1）求“住宿满意度”分数的平均数； （2）求“住宿满意度”为 3 分时的 5 个“餐饮满意度”人数的方差； （3）为提高对酒店的满意度，现从23x且12y剟的会员中随机抽取 2 人征求意见，求至少有 1 人的“住宿满意度”为 2
8、的概率. 19 （12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为菱形，PAD为正三角形， 平面PAD 平面ABCD，E、F分别是AD、CD的中点. （1）证明： BD 平面PEF； （2）若M是PB棱上一点，三棱锥MPAD与三棱锥PDEF 的体积相等，求 PM MB 的值. 20（12 分）已知曲线E上的点到(1 0)F ，的距离比它到直线:4l x 的距离少 3. （1）求曲线E的方程； （2）过点F且斜率为k的直线 0 l交曲线E于P，Q两点，交圆 22 :(1)1Fxy于A，B两点， P，A在x轴上方，过点P，Q分别作曲线E的切线 1 l， 2 l， 12 llM，求 PAM
9、与 QBM 的 面积的积的取值范围. 21（12 分）已知函数 x f xaeexa ae，其中 e 为自然对数的底数. （1）若函数 f x的极小值为1，求a的值； （2）若1a ，证明：当0 x时， 2ln10f xxxx成立. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 3 cos 2 1 sin 2 x y （为参数），以坐标原点 O为极 点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系 （1）设射线 l的极坐标方程为 2 3 ，若射线
10、l与曲线 C交于 A，B两点，求 AB 的长； （2）设 M，N是曲线 C上的两点，若MON 2 ，求OMN的面积的最大值 23选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知函数 |1|3|f xxx. （1）解不等式： 6f x ； （2）若 a，b，c 均为正数，且 minabcf x ，证明： 22249 111 3 abc. 2020 年秋高三第一学月考试年秋高三第一学月考试 文文科数学参考答案科数学参考答案 1D 2D 3A 4D 5B 6A 7A 8D. 9A 10D 11D 12B 13 4 5 14 7 25 15 5或 5 2 16 28 3 17（1）解法一：由 /mn得3co
11、s22sincosB=BB ，即sin23cos2BB 所以tan2 3B ，B为锐角， 2(0,)B ， 2 2 3 B ，即 3 B 解法二：由 /mn得3cos22sincosB=BB ， 即sin23cos2BB 所以sin2 3cos20B+B= 即2sin 20 3 B+= ， 2 3 B+=k ，即 62 k B=+ B为锐角，所以 3 B . （2）解法一：,2 3 Bb ，由余弦定理 222 cos 2 acb B ac ， 得 22 40acac 又 22 2acac代入上式得4ac，当且仅当2ac时取等号成立. 1133 sin3 2224 ABC SacBacac ，故
12、ABC的面积最大值为3. 解法二：,2 3 Bb ，由正弦定理2 sin b R B ，得 4 2 3 R 所以 4 2 3 aR sinAsinA ，- 442 2sinsinsin 333 cRCCA - 由 14 32 sin 233 SacBsinA sinA 2 33 2 363 =sinA 因为 7 2 666 A ，则当2 62 A= 即= 3 A 时， max 2 33 3 33 S ，故ABC的面积最大值为3. 18.解：（1） 5 1 9 2 15 3 15 46 5 3.16 50 （2）当“住宿满意度”为 3 分时的 5 个“餐饮满意度”人数的平均数为1 2534 3
13、5 ， 其方差为 22222 1 323533 343 2 5 （3）符合条件的所有会员共 6 人，其中“住宿满意度”为 2 的 3 人分别记为, ,a b c ，“住宿满意 度”为 3 的 3 人分别记为, ,d e f .从这 6 人中抽取 2 人有如下情况， ,a ba ca da ea fb cb db eb fc dc ec fd ed fe f ，共 15 种情况.所以至少有 1 人的“住宿满意度”为 2 的概率 124 155 P . 19（1）（1）连接AC，PAPD且E是AD的中点，.PEAD 又平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PE 平面PAD， PE平
14、面ABCD. 又 BD平面ABCD，.BDPE 又ABCD为菱形，且E、F分别为棱AD、CD的中点，/EF AC， BDAC，BDEF，又BDPE，PEEFE，BD平面PEF； （2）如图，连接MA、MD，设 PM MB ，则 1 PM PB ， 11 MPADB PADP ABD VVV ， 又 11 44 P DEFP ACDP ABD VVV ， MPADP DEF VV ， 1 14 ，解得 1 3 ，即 1 3 PM MB . 20（1）因为曲线E上的点到(1 0)F ，的距离比它到直线:4l x 的距离少 3， 所以曲线E上的点到(1 0)F，的距离和它到直线:1l x 的距离相等
15、， 故曲线E是(1 0)F，为焦点，:1l x 为准线的抛物线，故 2 :4E yx. （2）由题设知：0k ，则 0: (1)lyk x，设 11 ()P xy， 22 ()Q xy， P，A在x轴上方， 1 0 x， 2 0 x ， 1 0y ， 2 0y ， 0 l与 2 :4E yx联立，得 2 4 40yy k ，则 2 16 160 k ， 12 12 4 4 yy k y y ， 由 2 :4E yx，得 0y 时， 2yx，则 1 y x ；0y 时，2yx ，则 1 y x ， 1 1 1 12 x x y yx ， 2 2 2 12 x x y yx ， 故 2 1 11
16、1 2 :() 4 y lyyx y ， 2 2 22 2 2 :() 4 y lyyx y ， 1 l， 2 l联立消y，得 22 12 12 12 22 ()() 44 yy xyxy yy ，解得 12 1 4 y y x ， 将1x代入 1 l， 2 l方程， 2 1 1 1 2 ( 1) 4 y yy y ， 2 2 2 2 2 ( 1) 4 y yy y ， 两式相加得 22 12 12 12 22 2( 1)( 1) 44 yy yyy yy ，解得 1212 12 44 2 444 yyyy kk y y yk ， 2 ( 1,)M k ， 2 ( 1,)M k 到 0: 0l
17、kxyk的距离 2 21 | k d k ， 2 1 1 | | 1 4 y PAPFx ， 2 2 2 | | 1 4 y QBQFx ， 11 | 22 PAMQBM SSPA dQB d 2 22 2222 12 2 111211 | |()( 4) 46464| kk PAQB dy yd kk 2 1 11 k ， PAM与 QBM 的面积的积的取值范围是(1,). 21（1）函数 f x的定义域是 R， x fxaee 0a 时， 0fx对xR恒成立， f x在 R 上单调递减，函数无极值， 0ae时，令 0fx ，解得：ln e x a ，令 0fx，解得：ln e x a ，
18、f x在,ln e a 上单调递减，在ln, e a 上单调递增，ln e x a 时， f x取极小值-1， ln lnln1 e a ee faeea aa ，即ln10eaa ， 令 ln1 0m xexxxe ，则 ex m x x 0 xe， 0m x ， m x在0,e上单调递增， 10m，1a ； （2）1a ， 1 x f xeex 2ln1021ln1 x f xxxxee xxx ， 令 2 210 x g xee xxx 22 x gxexe ， 令 22 x h xexe ，0 x， 2 x h xe， 令 0h x ，解得：ln2x ，令 0h x ，解得：ln2x，
19、 故 h x在0,ln2上单调递减，在ln2,上单调递增， ln2x 时， h x取得极小值，又 030he ， 10h，存在 0 0,ln2x 使得 0 0h x， g x在 0 0,x上单调递增，在 0,1 x上单调递减，在1,上单调递增， 010gg， min0g x， 0 x时， 2 210 x ee xx ，即 2 21 x ee xx ， 令 ln1 ,0t xxxx， 则 1 10 1 tx x 对于0 x恒成立， t x在0,上单调递增， 00t xt，即当0 x时，ln1xx， 0 x时， 2 ln1xxx， 2 21ln1 x ee xxxx 故0 x时， 2ln10f x
20、xxx成立. 22解：（1）曲线 C的参数方程为 3 cos 2 1 sin 2 x y （为参数），转换为直角坐标方程为 22 31 ()()1 22 xy，其为过原点的圆整理得 22 30 xyxy，其为过坐标原点的圆， 根据 222 cos sin x y xy 转换为极坐标方程为 2 3 cossin0，整理得 2sin 3 ， 射线 l的极坐标方程为 2 3 与曲线 C相交于 A 和 B两点， 由于射线 l： 2 3 过坐标原点，故其中有一个交点为坐标原点， 所以 2sin 3 2 3 ，得 2 2sin3 33 AB ； （2）设 M 1, ，N 2, 2 ，由于直线 OC 的斜率
21、为 1 0 3 2 33 0 2 ， 又圆 C过原点，故过原点与圆 C相切的切线的斜率为 k 3 ， 从而 33 323 ，得 5 36 ， 12 11 2sin2sin 22323 OMN S 2 2sincossin 2 333 ， 当 2 sin 21 3 ，即 7 12 时， OMN S的最大值为 1 23（1）函数 22,3 134,31 22,1 xx f xxxx xx . 当3x时，226x ，解得4x，故43x . 当31x 时，46，恒成立.当1x 时，226x，解得2x， 故12x，所以不等式的解集为2 |4xx . （2）由（1）知： min4f x，所以：4abc ， 所以 1117abc， 所以 2 11149abc ， 所以 222 11121121121149abcabacbc 222 3111abc . 当且仅当 4 3 abc时，等号成立. 所以 22249 111 3 abc.
