1、2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 二次函数的线段问题（二阶）学生版考法探究突破考法一单线段最值1.（1）设函数表达式上动点坐标：设动点的横坐标，代入函数表达式得到动点的纵坐标.（2）表示竖直方向的线段长：结合函数图象，用上方点的纵坐标减去下方点的纵坐标可得线段长.（3）表示水平方向的线段长：结合函数图象，用右侧点的横坐标减去左侧点的横坐标可得线段长.（4）表示不与坐标轴平行的线段长（斜线段）：第一步：以所求线段长为一边构造直角三角形；第二步：找与其相似的直角三角形（一般情况下，二次函数与坐标轴交点构成的直角三角形与其相似）；第三步：利用三角函数或相似列等量关系求解.考法二线段和
2、（差）最值（将军饮马）2.两定点一动点（动点在直线上）（1）两定点A，B位于直线l异侧：如图1，连接AB，与直线l的交点即为P，此时PAPB的最小值为AB的长；如图2，作点B关于直线l的对称点B，作直线AB，与直线l的交点即为P，此时PAPB的最大值为线段AB的长.（2）两定点A，B位于直线l同侧：如图3，作点B关于直线l的对称点B，连接AB，与直线l的交点即为P，此时PAPB的最小值为AB的长；如图4，连接AB并延长，与直线l的交点即为P，此时PAPB的最大值为线段AB的长.3.一定点两动点（动点分别在两条直线上）（1）如图1，点P是定点，点A，B分别是直线l1，l2上的动点，作点P关于直线
3、l1的对称点P，作PBl2于点B，交直线l1于点A，此时PAAB的最小值为线段PB的长.（2）如图2，点P是定点，点A，B分别是直线l1，l2上的动点，分别作点P关于两直线的对称点P和P，连接PP，与两直线交点即为点A，B，此时PAB周长的最小值为线段PP的长.4.两定点两动点（动点分别在两条直线上）（1）如图1，点P，Q是定点，点M，N分别是直线l1，l2上的动点，分别作点Q，P关于直线l1，l2的对称点Q和P，连接QP，与两直线交点即为点M，N，此时四边形PQMN周长的最小值为线段QPQP的长.（2）如图2，点A，B分别是直线l1，l2上的定点，点M，N分别是直线l1，l2上的动点，作点A
4、关于直线l2的对称点A，作点B关于直线l1的对称点B，连接AB交直线l2于点M，交直线l1于点N，此时AMMNNB的最小值为线段AB的长.题型分类过关类型一单线段最值1.（2024商河二模节选）如图，点A的坐标为（4，0），抛物线M1：yax2bx（a0）过点A，点B为第四象限内抛物线上一点，其纵坐标为6，tanOAB2.（1）求抛物线M1的表达式；（2）点C为直线AB下方的抛物线上一动点，过点C作CDx轴交直线AB于点D，设点C的横坐标为h，当CD取最大值时，求h的值.2.（2023长清一模节选）抛物线 L：yx2bxc 经过点A（0，3），与它的对称轴直线x1交于点B.（1）求抛物线L的表
5、达式；（2）E在直线AN上方的抛物线上，过点E作EHAN，垂足为H，求EH的最大值.类型二线段和差最值（含周长最值）3.（2024槐荫二模节选）如图，平面直角坐标系xOy中，二次函数yax22xc的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A（3，0），OAOC，P是第一象限内二次函数图象上一动点，过点P作PGAB于点G，交AC于点H.（1）求二次函数的表达式.（2）求PHHC的最大值.4.（2024平阴一模节选）已知抛物线yax2bx4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），与y轴相交于点C.（1）求抛物线的表达式；（2）如图，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当PAC的周长最小时，求PAP
6、C的值.5.（2023槐荫一模节选）抛物线yx2bxc与x轴交于点A（3，0），B（1，0），与y轴交于点C.（1）求抛物线表达式；（2）如图，连接AC，点P在线段AC上，作直线PQx轴，与抛物线交于点Q.以线段PQ为边构造矩形PQMN，边MN在y轴上.当矩形PQMN周长最大时，求点P坐标.类型三线段比值6.（2023商河二模节选）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc（a0）与x轴交于A（2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC2OA.（1）试求抛物线的表达式；（2）直线ykx1（k0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记mPMDM，试求m的最大值及此时
7、点P的坐标.达标演练检测1.如图，抛物线 yax2bx4 与 x 轴交于 A（1，0），B（点 A在点 B 左侧）两点，与y轴交于点 C，OBOC.（1）求 a，b 的值；（2）点 P 是第一象限抛物线上一动点，过点 P 分别作 PDx 轴，交抛物线于点 D，作 PEy 轴，交x轴于点 E，连接 ED 交直线 BC 于点 F，当 DFEF 时，求点 P 的坐标.2.（2023历城二模节选）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx2与x轴交于点A（4，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，BC.（1）求该抛物线的表达式；（2）如图2，点M为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作
8、y轴的平行线，交AC于点N，过点M作x轴的平行线，交直线AC于点Q，求MNQ周长的最大值.3.如图，抛物线y12x2x4 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，其对称轴与 x 轴交于点 E，点 P 是抛物线上一动点，设点 P 的横坐标为 m，连接 BC.（1）求直线 BC 的函数表达式.（2）若点F是直线 BC 上一点，求AFEF的最小值及此时点 F 的坐标.（3）过点 P 作直线 lBC 交对称轴于点 G，是否存在点 P，使得直线 BC 垂直平分线段 PG？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点
9、复习 二次函数的线段问题（二阶）教师版考法探究突破考法一单线段最值1.（1）设函数表达式上动点坐标：设动点的横坐标，代入函数表达式得到动点的纵坐标.（2）表示竖直方向的线段长：结合函数图象，用上方点的纵坐标减去下方点的纵坐标可得线段长.（3）表示水平方向的线段长：结合函数图象，用右侧点的横坐标减去左侧点的横坐标可得线段长.（4）表示不与坐标轴平行的线段长（斜线段）：第一步：以所求线段长为一边构造直角三角形；第二步：找与其相似的直角三角形（一般情况下，二次函数与坐标轴交点构成的直角三角形与其相似）；第三步：利用三角函数或相似列等量关系求解.考法二线段和（差）最值（将军饮马）2.两定点一动点（动点
10、在直线上）（1）两定点A，B位于直线l异侧：如图1，连接AB，与直线l的交点即为P，此时PAPB的最小值为AB的长；如图2，作点B关于直线l的对称点B，作直线AB，与直线l的交点即为P，此时PAPB的最大值为线段AB的长.（2）两定点A，B位于直线l同侧：如图3，作点B关于直线l的对称点B，连接AB，与直线l的交点即为P，此时PAPB的最小值为AB的长；如图4，连接AB并延长，与直线l的交点即为P，此时PAPB的最大值为线段AB的长.3.一定点两动点（动点分别在两条直线上）（1）如图1，点P是定点，点A，B分别是直线l1，l2上的动点，作点P关于直线l1的对称点P，作PBl2于点B，交直线l1
11、于点A，此时PAAB的最小值为线段PB的长.（2）如图2，点P是定点，点A，B分别是直线l1，l2上的动点，分别作点P关于两直线的对称点P和P，连接PP，与两直线交点即为点A，B，此时PAB周长的最小值为线段PP的长.4.两定点两动点（动点分别在两条直线上）（1）如图1，点P，Q是定点，点M，N分别是直线l1，l2上的动点，分别作点Q，P关于直线l1，l2的对称点Q和P，连接QP，与两直线交点即为点M，N，此时四边形PQMN周长的最小值为线段QPQP的长.（2）如图2，点A，B分别是直线l1，l2上的定点，点M，N分别是直线l1，l2上的动点，作点A关于直线l2的对称点A，作点B关于直线l1的
12、对称点B，连接AB交直线l2于点M，交直线l1于点N，此时AMMNNB的最小值为线段AB的长.题型分类过关类型一单线段最值1.（2024商河二模节选）如图，点A的坐标为（4，0），抛物线M1：yax2bx（a0）过点A，点B为第四象限内抛物线上一点，其纵坐标为6，tanOAB2.（1）求抛物线M1的表达式；（2）点C为直线AB下方的抛物线上一动点，过点C作CDx轴交直线AB于点D，设点C的横坐标为h，当CD取最大值时，求h的值.解：（1）设AB交y轴于点M.点A坐标为（4，0），OA4.tanOABOMOA2，OM2OA8，点M的坐标为（0，8）.设AB的表达式为ykxb，4kb=0，b8，解
13、得k=2，b8，AB的表达式为y2x8.点B的纵坐标为6，把y6代入y2x8得x1，点B的坐标为（1，6）.M1：yax2bx（a0）过点A，B，ab6，16a+4b=0，解得a=2，b8，抛物线M1的表达式为y2x28x.（2）点C在抛物线y2x28x上，点C的横坐标为h，C（h，2h28h）.CDx轴，点D的纵坐标为2h28h.把y2h28h代入y2x8，得xh24h4，点D（h24h4，2h28h），CDh（h24h4）h25h452294.点C为直线AB下方的抛物线上一动点，1h4，当h52时，CD的最大值为94.2.（2023长清一模节选）抛物线 L：yx2bxc 经过点A（0，3）
14、，与它的对称轴直线x1交于点B.（1）求抛物线L的表达式；（2）E在直线AN上方的抛物线上，过点E作EHAN，垂足为H，求EH的最大值.解：（1）由题意，得c=3，b2(1）=1，解得b=2，c=3，则抛物线L的表达式为yx22x3.（2）过点E作ETy轴交AN于点T，由抛物线的表达式知，点N（3，0），则ONOA3，则OAN45.由点A，N的坐标得，直线AN的表达式为yx3.ETy轴，HTEOAN45，又EHAN，EH22ET.设点E（x，x22x3），则点T（x，x3），则ET（x22x3）（x3）（x32）29494，即ET的最大值为94，故EH的最大值为928.类型二线段和差最值（含周
15、长最值）3.（2024槐荫二模节选）如图，平面直角坐标系xOy中，二次函数yax22xc的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A（3，0），OAOC，P是第一象限内二次函数图象上一动点，过点P作PGAB于点G，交AC于点H.（1）求二次函数的表达式.（2）求PHHC的最大值.解：（1）A（3，0），OA3.OAOC，OC3，C（0，3）.把A（3，0），C（0，3）代入yax22xc，得9a+6+c=0，c=3，解得a1，c=3，二次函数表达式为yx22x3.（2）如图，过点C作CTPG于点T.设直线AC的表达式为ykxb，把A（3，0），C（0，3）代入得3kb=0，b=3，解得k1，b=
16、3，直线AC的表达式为yx3.设点P（m，m22m3）（0x3），则点H（m，m3），PHm22m3（m3）m23m.OAOC，COA90，OCA45.PGAB，PGy轴，CPy轴，TCH45，CTH为等腰直角三角形，CH2m，PHCHm23m2mm2（32）mm3+22211+624.10，PHCH的最大值为11+624.4.（2024平阴一模节选）已知抛物线yax2bx4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），与y轴相交于点C.（1）求抛物线的表达式；（2）如图，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当PAC的周长最小时，求PAPC的值.解：（1）抛物线yax2bx4与x轴相交于点A（1，
17、0），B（4，0），ab+4=0，16a+4b+4=0，解得a=1，b5，抛物线的表达式为yx25x4.（2）yx25x4，当x0时，y4，C（0，4），抛物线的对称轴为直线x52.PAC的周长等于PAPCAC，AC为定长，当PAPC的值最小时，PAC的周长最小.A，B关于对称轴对称，PAPCPBPCBC，当P，B，C三点共线时，PAPC的值最小，为BC的长，此时点P为直线BC与对称轴的交点.设直线BC的表达式为ymxn，则4mn=0，n=4，解得m1，n=4，yx4.当x52时，y52432，P52，32.A（1，0），C（0，4），PA5212322322，PC5224322522，PAP
18、C35.5.（2023槐荫一模节选）抛物线yx2bxc与x轴交于点A（3，0），B（1，0），与y轴交于点C.（1）求抛物线表达式；（2）如图，连接AC，点P在线段AC上，作直线PQx轴，与抛物线交于点Q.以线段PQ为边构造矩形PQMN，边MN在y轴上.当矩形PQMN周长最大时，求点P坐标.解：（1）将点A（3，0），B（1，0）代入yx2bxc，得0=9+3bc，0=1bc，解得b=2，c=3，抛物线表达式为yx22x3.（2）抛物线表达式为yx22x3，点C的坐标为（0，3）.设直线AC的表达式为ykxb.将A（3，0），C（0，3）代入直线表达式，得0=3kb，3=b，解得k1，b=3，
19、直线AC的表达式为yx3.设P（a，a3），则Q（a，a22a3），则矩形PQMN的周长为2（PQPN）2（a23aa）2（a24a）2（a2）28，当a2时，矩形PQMN的周长取最大值，P（2，1）.类型三线段比值6.（2023商河二模节选）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc（a0）与x轴交于A（2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC2OA.（1）试求抛物线的表达式；（2）直线ykx1（k0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记mPMDM，试求m的最大值及此时点P的坐标.解：（1）因为抛物线yax2bxc经过A（2，0），B（4，0）两点，设ya（
20、x2）（x4）.OC2OA，OA2，OC2OA4，C（0，4），代入抛物线的表达式得到a12，y12（x2）（x4）或y12x2x4或y12（x1）292.（2）如图，作PEx轴于点E，交直线BC于点F.CDPE，CMDFMP，mPMDMPFCD.直线ykx1（k0）与y轴交于点D，则D（0，1），BC的表达式为yx4.设P（n，12n2n4），则F（n，n4），PF12n2n4（n4）12（n2）22，mPFCD16（n2）223.160，当n2时，m有最大值，最大值为23，此时P（2，4）.达标演练检测1.如图，抛物线 yax2bx4 与 x 轴交于 A（1，0），B（点 A在点 B 左侧
21、）两点，与y轴交于点 C，OBOC.（1）求 a，b 的值；解：令x0，得y4，点C（0，4）.OBOC，点B（4，0）.将点A（1，0），B（4，0）的坐标代入yax2bx4中，得ab+4=0，16a+4b+4=0，解得a1，b=3.（2）点 P 是第一象限抛物线上一动点，过点 P 分别作 PDx 轴，交抛物线于点 D，作 PEy 轴，交x轴于点 E，连接 ED 交直线 BC 于点 F，当 DFEF 时，求点 P 的坐标.解：由（1）可知抛物线的表达式为yx23x4，yx23x4x322254，抛物线的对称轴为直线x32.设点P（m，m23m4），则点D（3m，m23m4），点E（m，0），
22、DFEF，点F是DE的中点，点F的坐标为3mm2，m2+3m+42，即32，m2+3m+42.设直线BC的表达式为ykxn（k0），将点B（4，0），C（0，4）代入ykxn中，得4kn=0，n=4，解得k1，n=4，直线BC的表达式为yx4.点F在直线BC上，当x32时，y52，m2+3m+4252，解得m352或m3+52，此时m23m45，点P的坐标为352，5或3+52，5.2.（2023历城二模节选）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx2与x轴交于点A（4，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，BC.（1）求该抛物线的表达式；（2）如图2，点M为直线AC上方的抛物
23、线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交AC于点N，过点M作x轴的平行线，交直线AC于点Q，求MNQ周长的最大值.解：（1）将A（4，0）和B（1，0）代入yax2bx2，得16a4b+2=0，ab+2=0，解得a12，b32，抛物线的表达式为y12x232x2.（2）由（1）中抛物线的表达式可知，点C的坐标为（0，2）.A（4，0），C（0，2），直线AC的表达式为y12x2，AC(40）2（02）225.设Mm,12m232m+2，则Nm，12m+2，MN12m232m212m+212m22m.MQx轴，MNy轴，MQNCAO，NMQAOC90，QMNAOC，MNOCMQOANQCA，即MN
24、2MQ4NQ25，MQ2MN，NQ5MN，CMNQMNMQNQMN2MN5MN（35）MN（35）（12m22m）3+52（m2）2625.3+520，当m2 时，MNQ的周长最大，最大值为625.3.如图，抛物线y12x2x4 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，其对称轴与 x 轴交于点 E，点 P 是抛物线上一动点，设点 P 的横坐标为 m，连接 BC.（1）求直线 BC 的函数表达式.（2）若点F是直线 BC 上一点，求AFEF的最小值及此时点 F 的坐标.（3）过点 P 作直线 lBC 交对称轴于点 G，是否存在点 P，使得直线 BC 垂直平
25、分线段 PG？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）令y0，得012x2x4，解得x12，x24，A（2，0），B（4，0）.令x0，得y4，C（0，4）.设直线BC的函数表达式为ykxb，将B，C两点的坐标分别代入，得0=4kb，4=b，解得k1，b=4，直线BC的函数表达式为yx4.（2）如图1，作点A关于直线BC的对称点A，连接AA交BC于点M，过点A作ADx轴于点D，则AFAF，点M是AA的中点.当A，F，E三点共线时，AFFEAFFE的值最小，抛物线的对称轴为直线x1，E（1，0）.将x1代入yx4得y3，M（1，3）.MEAD，MEADAEADAMAA12.A
26、D2ME6，AD2AE6，ODADAO4，A（4，6），AE（41）26235，AFEF的最小值为35.设直线AE的函数表达式为ykxb（k0），将点A，E的坐标分别代入，得4kb=6，kb=0，解得k=2，b2，直线AE的函数表达式为y2x2.点F为直线BC和直线AE的交点，联立yx+4，y=2x2，解得x=2，y=2，AFEF的最小值为35，此时点F的坐标为（2，2）.（3）存在，如图2，连接BP，BG，过点P作PIx轴，过点B作BIPI于点I，设直线l与BC交于点N.直线BC为线段PG的垂直平分线，BGBP，NBPNBG，OBC45，PIx轴，BIPI，NBI90OBC45，NBGGBENBPPBI，GBEPBI.GEBI90，BGBP，GBEPBI（AAS），BEBI，B（4，0），E（1，0），BIBE3，点P的坐标为（m，3）.点P在抛物线上，312m2m4，解得m113，m213，点P的坐标为（13，3）或（13，3）.
