1、2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 二次函数的特殊四边形问题（二阶） 学生版考法探究突破考法一平行四边形问题1.求作平行四边形的方法：（1）三定顶点，一动顶点：分别过三个定点作对边的平行线，三条所作直线的交点即为所求动点；（2）两定顶点，两动顶点：已知A，B为两定点，分两种情况讨论：情况一：若AB为平行四边形的边，如图1，平移AB，确定另外两点的位置；情况二：若AB为平行四边形的对角线，如图2，取AB的中点，作过中点的直线确定另外两点的位置.2.求点坐标常用方法：（1）坐标平移法：通过点的平移，求坐标；（2）线段中点坐标公式：在平面直角坐标系中，已知点A（x1，y1），点B（x2
2、，y2），则线段AB的中点坐标为x1x22，y1y22；（3）平行四边形顶点坐标公式：平行四边形ABCD的顶点坐标分别为A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD），则xAxCxBxD，yAyCyByD，即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等.考法二矩形问题3.求作矩形的方法条件：已知A，B为两定点，点C为直线l上一动点，点D为平面内一点.分两种情况讨论：当以AB为矩形的边时，如图1，分别过点A，B作ACAB，BCAB确定点C，再利用矩形对边平行的性质确定点D；当以AB为矩形的对角线时，如图2，以AB为直径构造辅助圆，圆与直线l的交点即为所求的点C，过点
3、A，B分别作BC，AC的平行线确定点D.考法三正方形问题4.求作正方形的方法：当已知线段为边时，分别过两端点作已知线段的垂线，再在两垂线上截取与已知线段相等的线段，即可得正方形；当已知线段为对角线时，以已知线段的中点为圆心，线段的一半为半径画圆，再作线段的垂直平分线，与圆的交点即为所求.【温馨提示】（1）在菱形的基础上满足有一个角是直角或对角线相等即可.（2）在矩形的基础上满足邻边相等或对角线垂直即可.考法四菱形问题5.求作菱形的方法条件：已知A，B为两定点，点C为直线l上一动点，点D为平面内一点.分两种情况讨论：当以AB为菱形的边时，如图1，以点A为圆心，AB长为半径画A交直线l于点C，再分
4、别过点B，C作AC，AB的平行线确定点D；以点B为圆心，AB长为半径画B交直线l于点C，再分别过点A，C作BC，AB的平行线确定点D；当以AB为菱形的对角线时，如图2，作AB的垂直平分线交直线l于点C，再画O确定点D.题型分类过关类型一平行四边形存在性问题1.（2024历城二模节选）如图，抛物线yx2bx与x轴交于点 A ，与直线yx交于点 B（4，4），点C（0，4）在y轴上.点 P 从点 B 出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O 时停止.（1）求抛物线yx2bx的表达式；（2）在图中过点 P 作 PDOA交抛物线于点D ，连接PC，OD，类型二矩形存在性问题2.如图，抛物线yax2xc
5、与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），直线x3与x轴交于点F.（1）求该抛物线的函数表达式；（2）P是抛物线上位于第二象限的一个动点，在线段OF和直线x3上是否分别存在点Q，G，使以C，Q，G，P为顶点的四边形是以CQ为一边的矩形？若存在，求出点Q的坐标；荐不存在，请说明理由.类型三正方形存在性问题3.（2023章丘二模）如图，二次函数y13x2bxc的图象过原点，与x轴的另一个交点为（8，0）.（1）求该二次函数的表达式；（2）在x轴上方作x轴的平行线y1m，交二次函数图象于A，B两点，过A，B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C.当矩形ABCD为正方形时，求m的值
6、.类型四菱形存在性问题4.如图，抛物线 yax2bx（a0）与 x 轴交于A，O 两点，已知该抛物线顶点坐标为 （1，1），点 B 横坐标为1.（1）求抛物线的表达式；（2）若点 M 是平面直角坐标系内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在一点 D，使得以A，B，D，M 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由.达标演练检测1.如图，直线 yx4 交x轴于点 B，交 y 轴于点 C，对称轴为直线x32的抛物线经过 B，C 两点，交 x 轴负半轴于点 A，P 为抛物线上一动点，点 P 的横坐标为 m，过点 P 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 M，作 x 轴的垂线 P
7、N，垂足为点N，直线 MN 交 y 轴于点D.（1）求抛物线的表达式；（2）若0m32，当 m 为何值时，四边形CDNP 是平行四边形？2.如图，二次函数yx26x8的图象与x轴分别交于点A，B（点A在点B的左侧），直线l是对称轴.点P在函数图象上，其横坐标大于4，连接PA，PB，过点P作PMl，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与M相切，切点为T.（1）求点A，B的坐标；（2）四边形ABPM能是一个菱形吗？若能，求出点P的坐标；若不能，说明理由. 2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习 二次函数的特殊四边形问题（二阶）教师版考法探究突破考法一平行四边形问题1.求作平行四边
8、形的方法：（1）三定顶点，一动顶点：分别过三个定点作对边的平行线，三条所作直线的交点即为所求动点；（2）两定顶点，两动顶点：已知A，B为两定点，分两种情况讨论：情况一：若AB为平行四边形的边，如图1，平移AB，确定另外两点的位置；情况二：若AB为平行四边形的对角线，如图2，取AB的中点，作过中点的直线确定另外两点的位置.2.求点坐标常用方法：（1）坐标平移法：通过点的平移，求坐标；（2）线段中点坐标公式：在平面直角坐标系中，已知点A（x1，y1），点B（x2，y2），则线段AB的中点坐标为x1x22，y1y22；（3）平行四边形顶点坐标公式：平行四边形ABCD的顶点坐标分别为A（xA，yA），
9、B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD），则xAxCxBxD，yAyCyByD，即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等.考法二矩形问题3.求作矩形的方法条件：已知A，B为两定点，点C为直线l上一动点，点D为平面内一点.分两种情况讨论：当以AB为矩形的边时，如图1，分别过点A，B作ACAB，BCAB确定点C，再利用矩形对边平行的性质确定点D；当以AB为矩形的对角线时，如图2，以AB为直径构造辅助圆，圆与直线l的交点即为所求的点C，过点A，B分别作BC，AC的平行线确定点D.考法三正方形问题4.求作正方形的方法：当已知线段为边时，分别过两端点作已知线段的垂线，再在两垂线上
10、截取与已知线段相等的线段，即可得正方形；当已知线段为对角线时，以已知线段的中点为圆心，线段的一半为半径画圆，再作线段的垂直平分线，与圆的交点即为所求.【温馨提示】（1）在菱形的基础上满足有一个角是直角或对角线相等即可.（2）在矩形的基础上满足邻边相等或对角线垂直即可.考法四菱形问题5.求作菱形的方法条件：已知A，B为两定点，点C为直线l上一动点，点D为平面内一点.分两种情况讨论：当以AB为菱形的边时，如图1，以点A为圆心，AB长为半径画A交直线l于点C，再分别过点B，C作AC，AB的平行线确定点D；以点B为圆心，AB长为半径画B交直线l于点C，再分别过点A，C作BC，AB的平行线确定点D；当以
11、AB为菱形的对角线时，如图2，作AB的垂直平分线交直线l于点C，再画O确定点D.题型分类过关类型一平行四边形存在性问题1.（2024历城二模节选）如图，抛物线yx2bx与x轴交于点 A ，与直线yx交于点 B（4，4），点C（0，4）在y轴上.点 P 从点 B 出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O 时停止.（1）求抛物线yx2bx的表达式；（2）在图中过点 P 作 PDOA交抛物线于点D ，连接PC，OD，当四边形OCPD是平行四边形时，求BP的长.解：（1）抛物线yx2bx过点B（4，4），164b4，b3，yx23x.（2）OCx轴，PDx轴，PDOC，四边形OCPD是平行四边形；PD
12、OC，C（0，4），PDOC4，点P在yx上，设P（a，a），D（a，a23a），PDa（a23a）a24a4，解得a2，P（2，2）.B（4，4），PB22.类型二矩形存在性问题2.如图，抛物线yax2xc与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），直线x3与x轴交于点F.（1）求该抛物线的函数表达式；（2）P是抛物线上位于第二象限的一个动点，在线段OF和直线x3上是否分别存在点Q，G，使以C，Q，G，P为顶点的四边形是以CQ为一边的矩形？若存在，求出点Q的坐标；荐不存在，请说明理由.解：（1）将A（4，0），C（0，4）的坐标代入yax2xc中，得0=16a+4+c，4=c，
13、解得a12，c=4，抛物线的函数表达式为y12x2x4.（2）存在，设点P的坐标为n,12n2n+4，如图1，过点P作PHy轴于点H.四边形CPGQ是矩形，CPQG，PCQCQG90，GQFOQCCQOQCOOCQPCHPCHHPC90，GQFOCQHPC，QFGPHC90，CPQG，QGFPCH（AAS），FQPHn，OQ3n，FGCH12n2n.GQFOCQ，FQGOCQ，FQOCFGOQ，即n412n2n3+n，解得n0（舍去）或n1，Q（2，0）如图2，过点G作GNy轴于点N，过点P作PMx轴于点M，同理可得NGQM3，OQ3n，OQCQPM，OQCMPQ，OCOQMQMP，即43n3
14、12n2n+4，化简得2n2n250，解得n1+2014（舍去）或n12014，Q112014，0.综上所述，点Q的坐标为（2，0）或112014，0.类型三正方形存在性问题3.（2023章丘二模）如图，二次函数y13x2bxc的图象过原点，与x轴的另一个交点为（8，0）.（1）求该二次函数的表达式；（2）在x轴上方作x轴的平行线y1m，交二次函数图象于A，B两点，过A，B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C.当矩形ABCD为正方形时，求m的值.解：（1）将（0，0），（8，0）代入y13x2bxc，得c=0，643+8bc=0，解得b83，c=0，该二次函数的表达式为y13x283x.
15、（2）当ym 时，13x283xm，解得x14163m，x24163m，点A的坐标为（4163m，m），点B的坐标为（4163m，m），点D的坐标为（4163m，0），点C的坐标为（4163m，0）.矩形ABCD为正方形，4163m（4163m）m，解得m116（舍去），m24.当矩形ABCD为正方形时，m的值为4.类型四菱形存在性问题4.如图，抛物线 yax2bx（a0）与 x 轴交于A，O 两点，已知该抛物线顶点坐标为 （1，1），点 B 横坐标为1.（1）求抛物线的表达式；（2）若点 M 是平面直角坐标系内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在一点 D，使得以A，B，D，M 为顶点的四边形是
16、菱形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）抛物线的顶点坐标为（1，1），b2a1，将顶点坐标（1，1）代入yax2bx，得ab1，联立可得a1，b2，抛物线的表达式为yx22x.（2）存在.令yx22x中y0，得x22x0，解得x12，x20，A（2，0）.将x1代入yx22x中，得y3，B（1，3）.设点D（1，m），当AB为菱形的边时，分两种情况讨论：当ADAB时，AD2AB2（21）23218，即（21）2m2 18，解得m17，D（1，17）或（1，17）.当BDAB时，BD2AB218，即（11）2（3m）218，解得m314， D（1，314）或（1，314
17、）当AB为菱形的对角线时，DA2 DB2，即（21）2m2（11）2（3m）2，解得m2，D（1，2）.综上所述，点D的坐标为（1，17）或（1，17 ）或（1，314）或（1，314）或（1，2）.达标演练检测1.如图，直线 yx4 交x轴于点 B，交 y 轴于点 C，对称轴为直线x32的抛物线经过 B，C 两点，交 x 轴负半轴于点 A，P 为抛物线上一动点，点 P 的横坐标为 m，过点 P 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 M，作 x 轴的垂线 PN，垂足为点N，直线 MN 交 y 轴于点D.（1）求抛物线的表达式；（2）若0m32，当 m 为何值时，四边形CDNP 是平行四边形？解：
18、（1）在直线yx4中，当x0时，y4，当y0时，x4，B（4，0），C（0，4），由题可设抛物线的表达式为yax322k（a0），把B（4，0），C（0，4）的坐标分别代入上式，得a4322k=0，a0322k=4，解得a1，k254，抛物线的表达式为yx322254x23x4.（2）由题可设P（m，m23m4），PNm23m4.当四边形CDNP是平行四边形时，PNCD，ODm23m44m23m，点D的坐标为D（0，m23m），点N的坐标为N（m，0）.设直线MN的表达式为yk1xm23m，把N（m，0）的坐标代入可得，k1mm23m0，解得k13m，直线MN的表达式为y（3m）xm23m.又
19、过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，且抛物线对称轴为直线x32，点M的坐标为（3m，m23m4），（3m）2m23mm23m4，解得m16+213（不符合题意，舍去），m26213，当m6213时，四边形CDNP是平行四边形.2.如图，二次函数yx26x8的图象与x轴分别交于点A，B（点A在点B的左侧），直线l是对称轴.点P在函数图象上，其横坐标大于4，连接PA，PB，过点P作PMl，垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与M相切，切点为T.（1）求点A，B的坐标；（2）四边形ABPM能是一个菱形吗？若能，求出点P的坐标；若不能，说明理由.解：（1）令y0，则x26x80，解得x12，x24，A（2，0），B（4，0）.（2）不能.理由如下：由（1）知抛物线对称轴为x3.假设四边形ABPM是菱形，则ABPMPB2.由ABPM，得m5，m26m83，即P（5，3）.过点P作PDx轴，垂足为D，则PD3，BD1.由勾股定理，得PBPD2BD210，这与PB2相矛盾.四边形ABPM不能是一个菱形.
